1.3 基础训练

1.3.1 训练题

1.3.1.1 单选题

若行列式 $112235 5 - 2 x = 0$ ,则 $x = ()$ .

(A) 2 (B) $- 2$ (C) 3 (D) -3

在关于 $x$ 的多项式 $f (x) = 21 - 1 - 1 x 207 - 5 3 - 2 - 2 34 - 3 - 2$ 中,一次项的系数是 $()$ .

(A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) -2

$n$ 阶行列式 $00 ⋮ 01 00 ⋮ 10 \dots \dots \dots \dots 01 ⋮ 00 10 ⋮ 00$ 的值为 $()$ .

(A) $(- 1)^{n^{2}}$ (B) $(- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)}$ (C) $(- 1)^{\frac{1}{2} n (n + 1)}$ (D) 1

行列式 $0 b 00 a c 00 00 d 0 00 e f$ 的值等于 $()$ .

(A) abcdef (B) $- ab df$ (C) $ab df$ (D) $c df$

若 $∣ A ∣$ 是 $n$ 阶行列式, $∣ B ∣$ 是 $m$ 阶行列式,它们的值都不为零,记

A O O B = ∣ C ∣, O B A O = ∣ D ∣,

则 $∣ C ∣ : ∣ D ∣$ 的值是 $()$ .

(A) 1 (B) -1 (C) $(- 1)^{n}$ (D) $(- 1)^{mn}$

如一个 $n (n > 1)$ 阶行列式中元素或为 +1 或为 -1,则其值必为 ( ).

(A) 1 (B) -1 (C) 奇数 (D) 偶数

行列式 $8421279316416411252551 = ()$ .

(A) 12 (B) -12 (C) 16 (D) -16

行列式 $a_{1} 0 a_{2} 0 0 c_{1} 0 c_{2} b_{1} 0 b_{2} 0 0 d_{1} 0 d_{2} = ()$ .

(A) $a_{1} c_{1} b_{2} d_{2} - a_{2} b_{1} c_{2} d_{1}$ (B) $(a_{2} b_{2} - a_{1} b_{1}) (c_{2} d_{2} - c_{1} d_{1})$

如行列式 $a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = d$ ,则 $3 a_{31} 2 a_{21} - a_{11} 3 a_{32} 2 a_{22} - a_{12} 3 a_{33} 2 a_{23} - a_{13} = ()$ .

(A) $- 6 d$ (B) $6 d$ (C) $4 d$ (D) $- 4 d$

当 $()$ 时,下列线性方程组有唯一解:

⎩ ⎨ ⎧ b x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 1 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4 4 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = - 2

(A) $b \neq = 1$ (B) $b \neq = 2$ (C) $b \neq = 3$ (D) $b \neq = - 1$

下列论断错误的是 ( ).

(A) 行列式 $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式等于其余子式乘以 $(- 1)^{i + j}$

(B) 将行列式 $∣ A ∣$ 的第一行元素都乘以 2,第二行元素都乘以 $\frac{1}{2}$ ,行列式值不变

(D) 将行列式的第一行和第二行对换, 再将第一列和第二列对换, 其值不变

下列论断正确的是 ( ).

(A) 将 $n (n > 1)$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的每个元素都乘以 2,所得行列式的值是原行列式值的 2 倍

(B) 某线性方程组的系数行列式 $∣ A ∣$ 的值等于零,则方程组的解全为零

(D) 若上三角行列式主对角线上方的所有元素等于零, 则行列式的值为零

设 $f (x) = 112 11 x^{2} + 1 2 x^{2} - 2 1$ ,则 $f (x) = 0$ 的根为 $()$ .

(A) $1, 1, 2, 2$ (B) $- 1, - 1, 2, 2$ (C) $1, - 1, 2, - 2$ (D) $- 1, - 1, - 2, - 2$

设 $f (x) = x - 2 2 x - 2 3 x - 3 4 x x - 1 2 x - 1 3 x - 2 4 x - 3 x - 2 2 x - 2 4 x - 5 5 x - 7 x - 3 2 x - 3 3 x - 5 4 x - 3$ ,则 $f (x) = 0$ 的根为 $()$ .

(A) $0, 1, 2, 3$ (B) $0, 1, 2$ (C) $0, 1, 1$ (D) 0,1

$n$ 阶行列式 $210 ⋮ 00 121 ⋮ 00 012 ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 21 000 ⋮ 12$ 的值为 $()$ .

(A) $n$ (B) $n + 1$ (C) $n - 1$ (D) $n (n + 1)$

1.3.1.2 填空题

行列式 $a_{1} b_{1} a_{2} b_{1} a_{3} b_{1} a_{4} b_{1} a_{1} b_{2} a_{2} b_{2} a_{3} b_{2} a_{4} b_{2} a_{1} b_{3} a_{2} b_{3} a_{3} b_{3} a_{4} b_{3} a_{1} b_{4} a_{2} b_{4} a_{3} b_{4} a_{4} b_{4}$ 的值为 $()$ .
行列式 $111 x + 1 - 1 - 1 x - 1 - 1 1 x + 1 11 x - 1 - 1 - 1 - 1$ 的值为 $()$ .
行列式 $x_{1}^{3} x_{2}^{3} x_{3}^{3} x_{4}^{3} x_{1}^{2} y_{1} x_{2}^{2} y_{2} x_{3}^{2} y_{3} x_{4}^{2} y_{4} x_{1} y_{1}^{2} x_{2} y_{2}^{2} x_{3} y_{3}^{2} x_{4} y_{4}^{2} y_{1}^{3} y_{2}^{3} y_{3}^{3} y_{4}^{3}$ 的值为 $()$ .
已知 $n$ 阶行列式 $∣ A ∣ = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}$ 的值为 $c, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 为常数,则行列

式 $∣ B ∣ = a_{11} b_{1}^{2} a_{21} b_{2} b_{1} ⋮ a_{n 1} b_{n} b_{1} a_{12} b_{1} b_{2} a_{22} b_{2}^{2} ⋮ a_{n 2} b_{n} b_{2} \dots \dots \dots a_{1 n} b_{1} b_{n} a_{2 n} b_{2} b_{n} ⋮ a_{nn} b_{n}^{2}$ 的值为 $()$ .

行列式 $103199301100200300204395600$ 的值为 $()$ .
设 $∣ A ∣ = a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3} = 2, ∣ B ∣ = a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} d_{1} d_{2} d_{3} = 3$ ,则 $a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} 2 c_{1} - d_{1} 2 c_{2} - d_{2} 2 c_{3} - d_{3} = ()$ .
设行列式

∣ A ∣ = 212 21 x 32 y

其代数余子式 $A_{11} + A_{12} + A_{13} = 1$ ,则 $∣ A ∣ = ()$ .

设行列式

∣ A ∣ = 1112 112 - 3 1 - 2 04 20 - 1 3

则 $∣ A ∣$ 的第四行元素的代数余子式之和 $A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44} = ()$ . 9. 设 $α_{1}, α_{2}, α_{3}, β$ 依次是行列式 $∣ A ∣$ 的第一、第二、第三、第四列, $α_{1}, α_{3}, γ, α_{2}$ 依次是行列式 $∣ B ∣$ 的第一、第二、第三、第四列. 又已知 $∣ A ∣ = a, ∣ B ∣ = b$ ,则行列式 $∣ α_{2}, α_{3}, α_{1}, (β + γ) ∣$ 的值为 $()$ .

$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若将 $∣ A ∣$ 的第一列移到最后一列,其余各列依次保持原来次序向左移动, 则得到的行列式的值为 ( ).
$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若将 $∣ A ∣$ 的所有元素改变符号,则得到的行列式的值为 $()$ .
$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若将 $∣ A ∣$ 的每个第 $(i, j)$ 元素 $a_{ij}$ 换到第 $(n - i + 1, n - j + 1)$ 元素的位置上, 则得到的行列式的值为 ( ).
$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若将 $∣ A ∣$ 的每个元素 $a_{ij}$ 换成 $(- 1)^{i + j} a_{ij}$ ,则得到的行列式的值为 $()$ .
$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若将 $∣ A ∣$ 的每个元素 $a_{ij}$ 换成 $b^{i - j} a_{ij} (b \neq = 0)$ ,则得到的行列式的值为 $()$ .
$n$ 阶行列式 $∣ A ∣$ 的值为 $c$ ,若从第二列开始每一列加上它前面的一列,同时对第一列加上 $∣ A ∣$ 的第 $n$ 列,则得到的行列式的值为 ( ).

1.3.1.3 解答题

求下列行列式的值:

0 ⋮ 01 0 ⋮ 20 \dots \dots \dots n ⋮ 00 .

已知五阶行列式 $∣ A ∣ = 2, ∣ B ∣ = 3$ ,求十阶行列式 $O B A O$ 的值.
若 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}$ 互不相同,求解方程:

111 ⋮ 1 x a_{1} a_{2} ⋮ a_{n - 1} x^{2} a_{1}^{2} a_{2}^{2} ⋮ a_{n - 1}^{2} \dots \dots \dots \dots x^{n - 1} a_{1}^{n - 1} a_{2}^{n - 1} ⋮ a_{n - 1}^{n - 1} = 0.

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 互不相同,求证下列线性方程组有唯一组解:

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 1, a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b, a_{1}^{2} x_{1} + a_{2}^{2} x_{2} + \dots + a_{n}^{2} x_{n} = b^{2}, \dots\dots\dots\dots a_{1}^{n - 1} x_{1} + a_{2}^{n - 1} x_{2} + \dots + a_{n}^{n - 1} x_{n} = b^{n - 1} .

计算下列行列式的值:

1 x_{1} + 1 x_{1}^{2} + x_{1} ⋮ x_{1}^{n - 1} + x_{1}^{n - 2} 1 x_{2} + 1 x_{2}^{2} + x_{2} ⋮ x_{2}^{n - 1} + x_{2}^{n - 2} 1 x_{3} + 1 x_{3}^{2} + x_{3} ⋮ x_{3}^{n - 1} + x_{3}^{n - 2} \dots \dots \dots \dots 1 x_{n} + 1 x_{n}^{2} + x_{n} ⋮ x_{n}^{n - 1} + x_{n}^{n - 2} .

求解方程:

111 ⋮ 1 1 1 - x 1 ⋮ 1 11 2 - x ⋮ 1 \dots \dots \dots \dots 111 ⋮ (n - 1) - x = 0.

求证: 对 $n \geq 2$ 的上三角行列式 $∣ A ∣$ ,若 $i < j$ ,则 $A_{ij} = M_{ij} = 0$ .
若 $∣ A ∣$ 是 $n$ 阶行列式,其第 $(i, j)$ 元素为 $a_{ij}$ . 如果 $∣ A ∣$ 的元素适合 $a_{ij} = - a_{ji}$ ,则称 $∣ A ∣$ 是反对称行列式. 求证: 奇数阶反对称行列式的值等于零.
求证: 若下列 $n$ 阶行列式中 $a \neq = b$ ,则

a + b 10 ⋮ 0 ab a + b 1 ⋮ 0 0 ab a + b ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 1 000 ⋮ a + b = \frac{a ^{n + 1} - b ^{n + 1}}{a - b} .

求 $n (n > 1)$ 阶行列式的值:

a 00 ⋮ 0 b b a 0 ⋮ 00 0 b a ⋮ 00 00 b ⋮ 00 \dots \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ a 0 000 ⋮ b a .

求下列行列式的值:

a_{0} a_{0} a_{0} ⋮ a_{0} a_{1} x a_{1} ⋮ a_{1} a_{2} a_{2} x ⋮ a_{2} \dots \dots \dots \dots a_{n} a_{n} a_{n} ⋮ x .

求下列 $n$ 阶行列式的值:

x - a ⋮ - a a x ⋮ - a \dots \dots \dots a a ⋮ x .

设 $∣ A ∣$ 是 $n$ 阶行列式, $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素 $a_{ij} = max {i, j}$ ,试求 $∣ A ∣$ 的值.
设 $∣ A ∣$ 是 $n$ 阶行列式, $∣ A ∣$ 的第 $(i, j)$ 元素 $a_{ij} = ∣ i - j ∣$ ,试求 $∣ A ∣$ 的值.
求下列 $n$ 阶行列式的值:

∣ A ∣ = 11 ⋮ 1 x_{1} (x_{1} - a) x_{2} (x_{2} - a) ⋮ x_{n} (x_{n} - a) x_{1}^{2} (x_{1} - a) x_{2}^{2} (x_{2} - a) ⋮ x_{n}^{2} (x_{n} - a) \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} (x_{1} - a) x_{2}^{n - 1} (x_{2} - a) ⋮ x_{n}^{n - 1} (x_{n} - a) .

1.3.2 训练题答案

1.3.2.1 单选题

本题可将行列式展开得到一个一次方程, 再解方程. 但这样比较繁. 注意到前两行之和为 $2, 5, 3$ ,若 $x = 3$ ,则行列式的值就等于零. 因此选 (C).
对这类题目一般没有必要将行列式的值求出来. 我们注意到如按第一行展开, 只有一项含有未知数 $x$ ,因此只需求出元素 $x$ 的代数余子式即可. 它等于

(- 1)^{1 + 2} 1 - 1 - 1 3 - 2 - 2 4 - 3 - 2 = - 1

因此选择 $(C)$ .

根据行列式的组合定义, 展开式中只有一项非零, 即为

(- 1)^{N (n, n - 1, \dots, 2, 1)} a_{n, 1} a_{n - 1, 2} \dots a_{2, n - 1} a_{1 n} = (- 1)^{(n - 1) + (n - 2) + \dots + 1} = (- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)} .

因此选择 (B).

这是个分块行列式,左上角一块的值为 $- ab$ ,右下角一块的值为 $df$ ,故行列式的值等于 $- ab df$ ,应选 (B).
对第二个行列式需要用行列式的性质加以变形, 使之成为和第一个行列式形状相似的行列式. 将 $∣ A ∣$ 的第一列依次和 $∣ B ∣$ 的第 $m$ 列,第 $m - 1$ 列, $\dots$ ,第一列对换,共换了 $m$ 次; 再将 $∣ A ∣$ 的第二列依次和 $∣ B ∣$ 的第 $m$ 列,第 $m - 1$ 列, $\dots$ ,第一列对换,又换了 $m$ 次; $\dots$ . 综上所述,经过 $mn$ 次对换可将第二个行列式变为第一个行列式. 因此 $∣ D ∣ = (- 1)^{mn} ∣ C ∣$ ,于是 $∣ C ∣ : ∣ D ∣ = (- 1)^{mn}$ . 选择 (D).
必是偶数, 选择 (D). 因为将该行列式的任意一行加到另一行上去得到的行列式有一行元素全是偶数 (注意: 零也是偶数), 由性质知道, 可将因子 2 提出, 剩下的行列式的元素都是整数, 其值也是整数, 乘以 2 后必是偶数.
这是个 Vander Monde 行列式, 计算得其值为 12, 选 (A).
本题可以按行 (或列) 展开法做, 但是下列做法比较容易. 将行列式的第二、第三行对换, 再将得到的行列式的第二、第三列对换, 将得到一个分块行列式:

a_{1} a_{2} 00 b_{1} b_{2} 00 00 c_{1} c_{2} 00 d_{1} d_{2},

其值容易算出,等于 $(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) (c_{1} d_{2} - c_{2} d_{1})$ ,选 (D).

本题应用行列式性质来做. 将原行列式的第一, 第三行对换, 行列式的值变号. 再将所得行列式的第一行乘以 3 , 第二行乘以 2 , 第三行乘以 -1 , 根据行列式性质可知, 最后行列式的值为原行列式值的 6 倍. 故选 (B).
当方程组的系数行列式不等于零时, 方程组有唯一解. 因此

b 24 1 - 1 1 224 \neq = 0

解得 $b \neq = 2$ . 选择 (B).

行列式转置后的值等于原行列式的值. 应选择 (C).
显然应选择 (C).
本题可先把行列式计算出来再解方程,但下列方法更好. 注意到若第 $(3, 2)$ 元素 $x^{2} + 1$ 等于 2,则行列式的第一、第二列相同,行列式的值等于零,故 $x^{2} = 1$ ,即 $x = \pm 1$ . 同理,若第 (2,3) 元素 $x^{2} - 2$ 等于 2,则行列式的第一、第二行相同,行列式的值等于零,故 $x^{2} = 4$ ,即 $x = \pm 2$ . 应选 $(C)$ .
将原行列式的第一列乘以 $(- 1)$ 分别加到其他 3 列得:

f (x) = x - 2 2 x - 2 3 x - 3 4 x 111 - 3 00 x - 2 x - 7 - 1 - 1 - 2 - 3 = x - 2 2 x - 2 3 x - 3 4 x 111 - 3 00 x - 2 x - 7 00 - 1 - 6

= x - 2 2 x - 2 11 \cdot x - 2 x - 7 - 1 - 6 = 5 x (x - 1) .

所以 $f (x)$ 有两个根 $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ ,选择 (D).

用递推法可求得行列式的值为 $n + 1$ ,故选择 (B).

1.3.2.2 填空题

行列式的第一、第二行元素成比例, 因此行列式的值为零.
$x^{4}$ (可参考例 1.12).
$1 \leq i < j \leq n \prod (x_{i} y_{j} - x_{j} y_{i})$ (可参考例 1.27).
观察 $∣ A ∣, ∣ B ∣$ 的异同就可以发现,如将 $∣ B ∣$ 的各行依次提出公因子 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ,再将 $∣ B ∣$ 的各列依次提出公因子 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ,余下的行列式就是 $∣ A ∣$ ,因此 $∣ B ∣ = b_{1}^{2} b_{2}^{2} \dots b_{n}^{2} c$ .
第二列乘以 -1 加到第一列上, 第二列乘以 -2 加到第三列上, 再将 100 从第二列提出即可计算出行列式的值为 2000 .
第二行乘以 -1 加到第一行,行列式的值不变,再按第一行进行展开,即得 $∣ A ∣ =$ $A_{11} + A_{12} + A_{13} = 1.$
计算下列行列式:

∣ B ∣ = 11111121 1 - 2 01 20 - 1 1 = - 3

注意到这个行列式和 $∣ A ∣$ 前 3 行相同,因此第四行元素的代数余子式也相同,故 $A_{41} + A_{42} +$ $A_{43} + A_{44} = - 3.$

因为 $∣ α_{1} α_{2} α_{3} β ∣ = a$ ,故 $∣ α_{2} α_{1} α_{3} β ∣ = - a, ∣ α_{2} α_{3} α_{1} β ∣ = a$ . 同理 $∣ α_{2} α_{3} α_{1} γ ∣ = b$ , 故 $∣ α_{2} α_{3} α_{1} (β + γ) ∣ = a + b$ .
$(- 1)^{n - 1} c$ .
$(- 1)^{n} c$ .
这个过程相当于将 $∣ A ∣$ 的关于 “中轴” 对称的两列都对换,然后将对称的两行也对换. 因此行列式的值不变,为 $c$ .
相当于将 $∣ A ∣$ 的每个第 $i$ 行乘以 $(- 1)^{i}$ ,每个第 $j$ 列乘以 $(- 1)^{j}$ . 因此行列式的值不变,仍为 $c$ .
相当于将 $∣ A ∣$ 的每个第 $i$ 行乘以 $b^{i}$ ,每个第 $j$ 列乘以 $b^{- j}$ . 因此行列式的值不变,仍为 $c$ .
将得到的行列式按列拆分为行列式的和,可知: 若 $n$ 为奇数,则得到的行列式的值为 $2 c$ ; 若 $n$ 为偶数,则行列式的值为零.

1.3.2.3 解答题

$(- 1)^{\frac{1}{2} n (n - 1)} n!$ .
-6 .
方程的根为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}$ .
该方程组的系数行列式是一个 Vander Monde 行列式,因为 $a_{i}$ 各不相同,故此行列式不等于零, 从而方程组有唯一组解.
依次将第 $i$ 行乘以 -1 加到第 $i + 1$ 行上 $(i = 1, 2, \dots, n - 1)$ ,就得到一个 Vander Monde 行列式,因此答案是: $1 \leq i < j \leq n \prod n (x_{j} - x_{i})$ .
方程的根为 $0, 1, 2, \dots, n - 2$ .
$M_{ij}$ 是一个上三角行列式且主对角线上至少有一个 0,因此 $M_{ij} = 0$ ,从而 $A_{ij} = 0$ .
根据行列式性质, $∣ A^{'} ∣$ 和 $∣ A ∣$ 的值相同. 而 $∣ A^{'} ∣$ 和 $∣ A ∣$ 的每个元素正好差一个负号,每一行提出 -1,得到 $(- 1)^{n} ∣ A ∣ = ∣ A ∣$ . 再因为 $n$ 是奇数,可得 $∣ A ∣ = 0$ .
利用例 1.23.
按第一列展开即得行列式的值为 $a^{n} + (- 1)^{n + 1} b^{n}$ .
从第二行起,每一行减去第一行得到一个上三角行列式,因此答案为 $a_{0} (x - a_{1}) \dots (x - a_{n})$ .
利用例 1.25 或例 1.33 的结论或方法可得行列式的值为 $\frac{1}{2} ((x - a)^{n} + (x + a)^{n})$ .
写出行列式为

123 ⋮ n 223 ⋮ n 333 ⋮ n \dots \dots \dots \dots n n n ⋮ n

依次将第 $i$ 行乘以 -1 加到第 $i - 1$ 行上去 $(i = 2, \dots, n)$ ,就可以得到一个下三角行列式,求得值为 $(- 1)^{n - 1} n$ .

写出行列式为

012 ⋮ n - 1 101 ⋮ n - 2 210 ⋮ n - 3 \dots \dots \dots \dots n - 1 n - 2 n - 3 ⋮ 0 .

从最后一列起每一列减去前一列, 再将得到的行列式的最后一行加到前面的每一行上去, 就可以得到一个下三角行列式,求得值为 $(- 1)^{n - 1} (n - 1) 2^{n - 2}$ .

将原行列式升阶为如下行列式:

∣ B ∣ = 11 ⋮ 11 x_{1} - a x_{2} - a ⋮ x_{n} - a y - a x_{1} (x_{1} - a) x_{2} (x_{2} - a) ⋮ x_{n} (x_{n} - a) y (y - a) x_{1}^{2} (x_{1} - a) x_{2}^{2} (x_{2} - a) ⋮ x_{n}^{2} (x_{n} - a) y^{2} (y - a) \dots \dots \dots \dots x_{1}^{n - 1} (x_{1} - a) x_{2}^{n - 1} (x_{2} - a) ⋮ x_{n}^{n - 1} (x_{n} - a) y^{n - 1} (y - a) .

利用例 1.28 可求出 $∣ B ∣$ 的值. 另一方面,将 $∣ B ∣$ 按最后一行展开成为关于 $y$ 的多项式. 若 $a = 0$ , 比较 $y$ 前面的系数可得 $∣ A ∣ = 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) (i = 1 \sum n x_{1} \dots x_{i - 1} x_{i + 1} \dots x_{n})$ ; 若 $a \neq = 0$ ,比较常数项可得 $∣ A ∣ = \frac{1}{a} 1 \leq i < j \leq n \prod (x_{j} - x_{i}) (i = 1 \prod n x_{i} - i = 1 \prod n (x_{i} - a))$ .

Youliang Zhong