例 1.1

计算 $n$ 阶行列式:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \cdots & n\\ -1& 0& 3& \cdots & n\\ -1& -2& 0& \cdots & n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ -1& -2& -3& \cdots & 0\end{array}\right|.$$

解

将第一行依次加到其他行上便得到一个上三角行列式且主对角线上元素依次为 $1,2,\cdots ,n$ . 因此 $\left|\mathbf{A}\right|=n$ !.

下面是所谓的爪型行列式, 它也可以化为三角行列式来计算.