例 1.4

计算行列式:

$$\left|\mathbf{A}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\mathrm{C}}_2^1& \cdots & {\mathrm{C}}_n^1\\ 1& {\mathrm{C}}_3^2& \cdots & {\mathrm{C}}_{n+1}^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\mathrm{C}}_n^{n-1}& \cdots & {\mathrm{C}}_{2n-2}^{n-1}\end{array}\right|.$$

解

从最后一行起将 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的每一行减去前面一行便可将行列式降一阶,降阶后每一列减去前面一列. 再对降了一阶的行列式作同样处理, 不断作下去可得到 $\left|\mathbf{A}\right|=1$ .