例 1.6

设有 Fibonacci 数列: $F_1=1,F_2=2,\cdots ,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ,求证:

$$F_n=\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ -1& 1& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& -1& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & -1& 1\end{array}\right|$$

解

显然 $F_1=1,F_2=2$ . 将 $F_n$ 按第一列展开,再将 -1 的余子式展开,即得

$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$$