例 1.7

设 $n\left(n>2\right)$ 阶行列式 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的所有元素或为 1 或为 -1,求证: $\left|\mathbf{A}\right|$ 的绝对值小于等于 $\left(n-1\right)!\left(n-1\right)$ .

证明

用归纳法. 当 $n=3$ 时,将 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的第一列中元素等于 -1 的行乘以 -1, $\left|\mathbf{A}\right|$ 的绝对值不变,因此不妨设 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的第一列元素全是 1 . 用同样方法将 $\left|\mathbf{A}\right|$ 的第一行除 $\left(1,1\right)$ 元素外的元素全变成 -1 . 将第一列加到第二、第三列上,得

$$\mathrm{abs}\left(\left|\mathbf{A}\right|\right)=\mathrm{abs}\left(\left|\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 1& a& b\\ 1& c& d\end{array}\right|\right)$$

其中 abs 表示绝对值. 由于 $a,b,c,d$ 为 0 或 2,故 $\mathrm{abs}\left(\left|\mathbf{A}\right|\right)\le 4=\left(3-1\right)!\left(3-1\right)$ .

假定结论对 $n-1$ 正确. 将 $\left|\mathbf{A}\right|$ 按第一行展开:

$$\left|\mathbf{A}\right|=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+\cdots +a_{1n}{A}_{1n}.$$

因为 $a_{1i}=\pm 1$ ,故

$$\mathrm{abs}\left(\left|\mathbf{A}\right|\right)\le \mathrm{abs}\left(A_{11}\right)+\mathrm{abs}\left(A_{12}\right)+\cdots +\mathrm{abs}\left(A_{1n}\right)$$ $$\le n\left(n-2\right)!\left(n-2\right)\le \left(n-1\right)!\left(n-1\right).$$

注 事实上,本题的结论还可加强为: $\left|\mathbf{A}\right|$ 的绝对值小于等于 $\frac{2}{3}n!$ .