例 1.8

设 $∣ A ∣ = ∣ a_{ij} ∣$ 是一个 $n$ 阶行列式, $A_{ij}$ 是它的第 $(i, j)$ 元素的代数余子式, 求证:

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} y_{1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} y_{2} \dots \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} y_{n} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} 1 = ∣ A ∣ - i = 1 \sum n j = 1 \sum n A_{ij} x_{i} y_{j} .

证明

将上述行列式按最后一列展开, 展开式的第一项为

(- 1)^{n + 2} x_{1} a_{21} ⋮ a_{n 1} y_{1} a_{22} ⋮ a_{n 2} y_{2} \dots \dots \dots a_{2 n} ⋮ a_{nn} y_{n} .

再将上面行列式按最后一行展开, 得到

(- 1)^{n + 2} x_{1} (- 1)^{n - 1} (y_{1} A_{11} + y_{2} A_{12} + \dots + y_{n} A_{1 n}) = - j = 1 \sum n x_{1} y_{j} A_{1 j} .

同理,原行列式展开式的第 $i (1 \leq i \leq n)$ 项为

- j = 1 \sum n x_{i} y_{j} A_{ij}

而最后一项为 $∣ A ∣$ ,因此原行列式的值为

∣ A ∣ - i = 1 \sum n j = 1 \sum n A_{ij} x_{i} y_{j}