10 双线性型

§ 10.1 基本概念

10.1.1 对 偶 空 间

1. 对偶空间

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,由 $V$ 到 $\mathbb{F}$ 上的全体线性映射 (即线性函数) 组成的线性空间称为 $V$ 的对偶空间,记为 $V^{\ast }$ .

2. 对偶基

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间, ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 是 $V$ 的一组基, $V$ 上的线性函数 $f_i$ 定义为 $f_i\left(e_i\right)=1,f_i\left(e_j\right)=0\left(j\ne i\right)$ ,则 $f_1,f_2,\cdots ,f_n$ 是对偶空间 $V^{\ast }$ 的一组基,称为 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 的对偶基. 特别地, $\dim V^{\ast }=\dim V$ .

3. 记号 $⟨$ ,

定义 $⟨\mathbf{f},\mathbf{x}⟩=\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)$ ,其中 $\mathbf{f}\in V^{\ast },\mathbf{x}\in V$ ,则 $⟨\mathbf{f},-⟩=\mathbf{f}$ 是 $V$ 上的线性函数, $⟨-,\mathbf{x}⟩$ 是 $V^{\ast }$ 上的线性函数. 定义线性映射 $\eta :V\to {\left(V^{\ast }\right)}^{\ast }=V^{\ast \ast },\eta \left(\mathbf{x}\right)=⟨-,\mathbf{x}⟩$ .

4. 定理

线性映射 $\eta :V\to V^{\ast \ast }$ 是线性同构. 如果把 $V$ 与 $V^{\ast \ast }$ 在这个同构下等同起来, 则 $V$ 可以看成是 $V^{\ast }$ 的对偶空间,从而 $V$ 与 $V^{\ast }$ 互为对偶.

5. 定理

设 $V,U$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, $\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射,则存在唯一的 $U^{\ast }$ 到 $V^{\ast }$ 的线性映射 ${\phi }^{\ast }$ ,使得对任意的 $x\in V,f\in U^{\ast }$ 满足等式:

$$⟨{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{f}\right),\mathbf{x}⟩=⟨\mathbf{f},\phi \left(\mathbf{x}\right)⟩.\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

线性映射 ${\phi }^{\ast }$ 称为 $\phi$ 的对偶映射. 对偶映射具有下列性质:

(1) 若 $V=U,\phi =\mathbf{I}$ 是恒等变换,则 ${\mathbf{I}}^{\ast }=\mathbf{I}$ ;

(2) ${\left(\psi \phi \right)}^{\ast }={\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }$

(3) $\phi$ 是单映射的充要条件是 ${\phi }^{\ast }$ 是满映射;

(4) $\phi$ 是满映射的充要条件是 ${\phi }^{\ast }$ 是单映射;

(5) $\phi$ 是同构的充要条件是 ${\phi }^{\ast }$ 是同构.

10.1.2 双 线 性 型

1. 双线性型

设 $U,V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间, $U\times V$ 是它们的积集合,若存在 $U\times V$ 到 $\mathbb{F}$ 的映射 $g$ 适合下列条件:

(1) 对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in U,\mathbf{z}\in V,\lambda \in \mathbb{F}$ ,

$$g\left(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z}\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right)+g\left(\mathbf{y},\mathbf{z}\right),g\left(\lambda \mathbf{x},\mathbf{z}\right)=\lambda g\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right);$$

(2) 对任意的 $\mathbf{x}\in U,\mathbf{z},\mathbf{w}\in V,\lambda \in \mathbb{F}$ ,

$$g\left(\mathbf{x},\mathbf{z}+\mathbf{w}\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right)+g\left(\mathbf{x},\mathbf{w}\right),g\left(\mathbf{x},\lambda \mathbf{z}\right)=\lambda g\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right),$$

则称 $g$ 是 $U$ 和 $V$ 上的双线性函数或双线性型.

当 $U,V$ 是有限维空间时,任一 $U\times V$ 上的双线性型均可用矩阵来表示. 记 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 是 $U$ 的基, ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 $V$ 的基,令 $a_{ij}=g\left({\alpha }_i,{\beta }_j\right)$ ,则

$$\mathbf{G}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

称为 $g$ 在给定基下的表示矩阵. 若 $\mathbf{x}=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m,\mathbf{y}=y_1{\beta }_1+$ $y_2{\beta }_2+\cdots +y_n{\beta }_n$ ,则

$$g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_m\right)\mathbf{G}{\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)}^{\prime }.$$

矩阵 $\mathbf{G}$ 的秩称为双线性型 $g$ 的秩,记为 $\mathrm{r}\left(g\right)$ .

2. 定理

设 $g$ 是有限维线性空间 $U,V$ 上的双线性型,则总存在 $U,V$ 的基,使 $g$ 在这两组基下的表示矩阵为对角矩阵.

3. 根子空间

设 $g$ 是线性空间 $U,V$ 上的双线性型,令

$$L=\{\mathbf{x}\in U\mid g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=0\text{,对一切 }\mathbf{y}\in V\},$$ $$R=\{\mathbf{y}\in V\mid g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=0\text{,对一切 }\mathbf{x}\in U\},$$

则 $L$ 称为 $g$ 的左根子空间, $R$ 称为 $g$ 的右根子空间.

若 $g$ 的左、右根子空间都等于零,则称 $g$ 是非退化的双线性型.

4. 定理

设 $g$ 是线性空间 $U,V$ 上的双线性型,则 $g$ 非退化的充要条件是

$$\dim U=\dim V=\mathrm{r}\left(g\right).$$

等价地, $g$ 非退化的充要条件是它的表示矩阵为可逆矩阵.

5. 定理

设 $g_1,g_2$ 是线性空间 $U,V$ 上的两个非退化双线性型,则存在 $U$ 上的可逆线性变换 $\phi$ 及 $V$ 上的可逆线性变换 $\psi$ ,使对一切 $x\in U,y\in V$ ,有

$$g_2\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\mathbf{y}\right)=g_1\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right);g_2\left(\mathbf{x},\psi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g_1\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right).$$

10.1.3 纯 量 积

1. 纯量积

设 $g$ 是线性空间 $U=V$ 上的双线性型,称 $g$ 是 $V$ 上的一个纯量积 (或数量积).

2. 对称型和交错型

设 $g$ 是线性空间 $V$ 上的纯量积,若对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ ,都有

$$g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=g\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)$$

则称 $g$ 是 $V$ 上的对称型; 若对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ ,都有

$$g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=-g\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)$$

则称 $g$ 是 $V$ 上的交错型 (或反对称型).

3. 正交

设 $g$ 是线性空间 $V$ 上的纯量积, $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ ,若 $g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=0$ ,则称 $\mathbf{x}$ 左正交 (或左垂直) 于 $\mathbf{y}$ ,称 $\mathbf{y}$ 右正交 (或右垂直) 于 $\mathbf{x}$ ,记为 $\mathbf{x}\perp \mathbf{y}$ .

4. 定理

$g$ 是线性空间 $V$ 上的纯量积,若对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ 都有 $\mathbf{x}\perp \mathbf{y}$ 当且仅当 $\mathbf{y}\perp \mathbf{x}$ , 则 $g$ 必是对称型或交错型.

5. 定理

$g_1,g_2$ 是线性空间 $V$ 上的非退化纯量积,则存在 $V$ 上唯一的线性变换 $\phi$ ,使对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ ,都有

$$g_2\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\mathbf{y}\right)=g_1\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$$

10.1.4 交错型与辛空间

1. 辛空间

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,若在 $V$ 上定义了一个非退化的交错型,则称 $V$ 为辛空间.

2. 定理

设 $g$ 是 $V$ 上的交错型,则存在 $V$ 的一组基,使 $g$ 在这组基下的表示矩阵为分块对角矩阵:

$$\mathrm{diag}\{\mathbf{S},\cdots ,\mathbf{S},0,\cdots ,0\}$$

其中 $S$ 为下列形状的二阶矩阵:

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

这组基称为辛基.

3. 辛变换

设 $V$ 是辛空间, $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换,且 $g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\phi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$ 对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ 成立,则称 $\phi$ 是 $V$ 上的辛变换.

4. 定理

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的辛空间,则

(1) $V$ 上的线性变换 $\phi$ 是辛变换的充要条件是 $\phi$ 将辛基变到辛基;

(2) 两个辛变换之积仍是辛变换;

(3) 恒等变换是辛变换;

(4) 辛变换的逆变换是辛变换.

10.1.5 对称型和正交空间

1. 正交空间

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,若在 $V$ 上定义了一个非退化的对称型,则称 $V$ 为 (正则) 正交空间.

2. 正交基

设 $g$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 上的对称型,则必存在 $V$ 的一组基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ , 使 $g$ 在这组基下的表示矩阵为对角矩阵:

$$\mathrm{diag}\left\{b_1,\cdots ,b_r,0,\cdots ,0\right\}$$

这样的基称为 $V$ 的正交基.

3. 迷向向量

若 $\mathbf{x}$ 是正交空间 $V$ 中的非零向量,如果 $g\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)=0$ ,则称 $\mathbf{x}$ 是迷向向量. 含有迷向向量的子空间称为迷向子空间.

4. 正交变换

设 $V$ 是正交空间, $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换且对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ ,有

$$g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\phi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$$

则称 $\phi$ 是 $V$ 上的正交变换.

5. 定理

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的正交空间,则

(1) 两个正交变换之积是正交变换;

(2) 恒等变换是正交变换;

(3) 正交变换的逆变换是正交变换.

$\S 10.2$ 例题解析

10.2.1 线性函数与对偶空间

线性空间的对偶空间是一个重要的概念, 它在后续的专业课程以及物理学等领域中都有着广泛的应用. 由于通常的高等代数课程只是教授数域上的有限维线性空间理论, 对无限维线性空间的情形涉及不多, 比如一般并不给出无限维线性空间中基的定义及其存在性证明 (这需要集合论中的选择公理或 Zorn 引理), 故本章的大部分例题除非特意指明, 一般都在有限维线性空间的范畴内进行讨论. 例如, 教材 [1] 中给了 $\S \mathrm{10.1.1}$ 定理 3 的 (3) 和 (4) 在有限维线性空间情形的两种证明,但只要建立了无限维线性空间中基的概念及其存在性, 同样可证明 (3) 和 (4) 对无限维线性空间也成立. 然而,只有当 $V$ 是有限维线性空间时,才能由对偶基的存在性推出 $\dim V^{\ast }=\dim V$ 成立; 当 $V$ 是无限维线性空间时,上述等式将不再成立,并且 $\S \mathrm{10.1.1}$ 定理 4 中的 $\eta :V\to V^{\ast \ast }$ 也不再是线性同构. 由于这些结论的证明涉及到集合论和抽象代数的一些理论, 故这里不准备阐述, 有兴趣的读者可参考 [7].

例 10.1 若 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 (不必假定 $V$ 是有限维空间), $f,g$ 是其上的非零线性函数,求证: $f$ 和 $g$ 线性相关的充要条件是 $\mathrm{Ker}f=\mathrm{Ker}g$ .

证明 若 $f=kg$ ,显然 $f$ 和 $g$ 的核相同,故只要证明充分性. 由于 $f\ne 0$ ,故存在 $\alpha \in V$ ,使得 $f\left(\alpha \right)\ne 0$ . 对任一 $v\in V$ ,可设 $f\left(v\right)=af\left(\alpha \right)$ ,从而 $f\left(v-a\alpha \right)=0$ , 即 $v-a\alpha \in \mathrm{Ker}f$ ,于是 $v\in L\left(\alpha \right)+\mathrm{Ker}f$ ,因此 $V=L\left(\alpha \right)+\mathrm{Ker}f$ . 设 $g\left(\alpha \right)=cf\left(\alpha \right)$ , 则对任一 $\mathbf{v}\in V$ ,不妨设 $\mathbf{v}=a\alpha +\mathbf{w}$ ,其中 $\mathbf{w}\in \mathrm{Ker}\mathbf{f}=\mathrm{Ker}\mathbf{g}$ ,有

$$\mathbf{g}\left(\mathbf{v}\right)=\mathbf{g}\left(a\alpha +\mathbf{w}\right)=\mathbf{g}\left(a\alpha \right)=a\mathbf{g}\left(\alpha \right)=ac\mathbf{f}\left(\alpha \right)=c\mathbf{f}\left(a\alpha \right)=c\mathbf{f}\left(a\alpha +\mathbf{w}\right)=c\mathbf{f}\left(\mathbf{v}\right),$$

于是 $g=cf$ ,即 $f$ 和 $g$ 线性相关.

例 10.2 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间, $U$ 是其非零真子空间,求证: 必存在有限个 $V$ 上的线性函数 ${\mathbf{f}}_i\left(i=1,\cdots ,r\right)$ ,使 $U=\bigcap _{i=1}^r\mathrm{Ker}{\mathbf{f}}_i$ .

证明 设 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_s$ 是 $U$ 的一组基,将它扩张为 $V$ 的一组基 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_s,{\mathbf{v}}_{s+1}$ , $\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ . 定义 ${\mathbf{f}}_i\left(i=s+1,\cdots ,n\right)$ 为: ${\mathbf{f}}_i\left({\mathbf{v}}_i\right)=1,{\mathbf{f}}_i\left({\mathbf{v}}_j\right)=0\left(j\ne i\right)$ ,则 $U$ 等于诸 $\mathrm{Ker}{\mathbf{f}}_i$ 之交.

例 10.3 设 $U,V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 (不必假定是有限维的), $U^{\ast },V^{\ast }$ 分别是它们的对偶空间. 求证:

$$U^{\ast }\oplus V^{\ast }\cong {\left(U\oplus V\right)}^{\ast }.$$

证明 设 ${\mathbf{f}}_1\in U^{\ast },{\mathbf{f}}_2\in V^{\ast }$ ,定义 $\mathbf{f}$ 为 $U\oplus V$ 上的线性函数:

$$\mathbf{f}\left(\mathbf{x}+\mathbf{y}\right)={\mathbf{f}}_1\left(\mathbf{x}\right)+{\mathbf{f}}_2\left(\mathbf{y}\right),\mathbf{x}\in U,\mathbf{y}\in V.$$

令 $\phi \left(f_1+f_2\right)=f$ ,则不难验证 $\phi$ 是 $U^{\ast }\oplus V^{\ast }\to {\left(U\oplus V\right)}^{\ast }$ 的线性映射. 另一方面,假定 $\mathbf{f}$ 是 $U\oplus V$ 上的线性函数,令 ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2$ 分别是 $\mathbf{f}$ 在 $U,V$ 上的限制,定义 $\psi$ 是 ${\left(U\oplus V\right)}^{\ast }\to U^{\ast }\oplus V^{\ast }$ 的线性映射: $\psi \left(f\right)=f_1+f_2$ . 容易验证 $\psi \phi$ 和 $\phi \psi$ 分别是 $U^{\ast }\oplus V^{\ast }$ 和 ${\left(U\oplus V\right)}^{\ast }$ 上的恒等映射,所以必是同构映射.

例 10.4 设 $V_1$ 是线性空间 $V$ 的子空间,记

$$V_1^{\perp }=\left\{\mathbf{f}\in V^{\ast }\mid ⟨\mathbf{f},V_1⟩=0\right\}.$$

求证: $V_1^{\perp }$ 是 $V^{\ast }$ 的子空间,且若 $V_2$ 是 $V$ 的另外一个子空间,则

$$V_1^{\perp }\cap V_2^{\perp }={\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }$$

证明 容易验证 $V_1^{\perp }$ 是子空间. 若 $U,W$ 是 $V$ 的子空间且 $U\subseteq W$ ,显然有 $W^{\perp }\subseteq U^{\perp }$ . 因此 ${\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }\subseteq V_1^{\perp },{\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }\subseteq V_2^{\perp }$ ,从而 ${\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }\subseteq V_1^{\perp }\cap V_2^{\perp }$ . 反之,若 $\mathbf{f}\in V_1^{\perp }\cap V_2^{\perp }$ ,则对任意的 ${\mathbf{v}}_1\in V_1,{\mathbf{v}}_2\in V_2,⟨\mathbf{f},{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2⟩=\mathbf{f}\left({\mathbf{v}}_1\right)+\mathbf{f}\left({\mathbf{v}}_2\right)=0$ . 因此 $\mathbf{f}\in {\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }$ ,即有 $V_1^{\perp }\cap V_2^{\perp }\subseteq {\left(V_1+V_2\right)}^{\perp }$ . 这就证明了后一个结论.

例 10.5 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的有限维线性空间, $V_1$ 是 $V$ 的子空间,求证:

$$\dim V=\dim V_1+\dim V_1^{\perp }$$

证明 取 $V_1$ 的一组基 ${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r$ ,并扩张为 $V$ 的一组基 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ ,再取其对偶基 ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,\cdots ,{\mathbf{f}}_n$ . 由对偶基的定义可知, ${\mathbf{f}}_j\left({\mathbf{e}}_i\right)=0$ 对任意的 $1\le i\le r$ , $r+1\le j\le n$ 成立,从而 ${\mathbf{f}}_j\left(V_1\right)=0$ ,即 ${\mathbf{f}}_j\in V_1^{\perp },j=r+1,\cdots ,n$ . 另一方面,任取 $\mathbf{f}\in V_1^{\perp }$ ,设 $\mathbf{f}=a_1{\mathbf{f}}_1+a_2{\mathbf{f}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{f}}_n$ ,依次作用上 ${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_r$ ,可得 $a_1=\cdots =a_r=0$ ,故 $\mathbf{f}$ 是 ${\mathbf{f}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{f}}_n$ 的线性组合. 因此 ${\mathbf{f}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{f}}_n$ 是 $V_1^{\perp }$ 的一组基,特别地, $\dim V_1^{\perp }=n-r$ ,故结论成立.

例 10.6 设 $V_1,V_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间,将 $V$ 看成是 $V^{\ast }$ 的对偶空间. 求证:

$${\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }=V_1,{\left(V_1\cap V_2\right)}^{\perp }=V_1^{\perp }+V_2^{\perp }.$$

证明 显然 $V_1\subseteq {\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }$ . 由例 10.5 可知 $\dim V_1^{\perp }=n-\dim V_1$ ,故 $\dim {\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }=$ $n-\dim V_1^{\perp }=\dim V_1$ ,于是 ${\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }=V_1$ . 由例 10.4 和第一个结论可知,

$${\left(V_1^{\perp }+V_2^{\perp }\right)}^{\perp }={\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }\cap {\left(V_2^{\perp }\right)}^{\perp }=V_1\cap V_2$$

再次由第一个结论可得 ${\left(V_1\cap V_2\right)}^{\perp }={\left({\left(V_1^{\perp }+V_2^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }=V_1^{\perp }+V_2^{\perp }$ .

例 10.7 设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, ${\phi }^{\ast }$ 是其对偶变换,求证:

$$\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }={\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$$

证法 1 假定 $f\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$ ,则存在 $g\in V^{\ast },f={\phi }^{\ast }\left(g\right)$ . 对 $\mathrm{Ker}\phi$ 中任一向量 $x$ , 有

$$⟨\mathbf{f},\mathbf{x}⟩=⟨{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{g}\right),\mathbf{x}⟩=⟨\mathbf{g},\phi \left(\mathbf{x}\right)⟩=0.$$

因此 $\mathbf{f}\in {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ ,从而 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\subseteq {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ .

另一方面,设 $\dim \mathrm{Ker}\phi =k$ ,则由例 10.5 可得 $\dim {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }=n-k$ . 设 $\phi$ 在 $V$ 的一组基 $\left\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 下的表示矩阵为 $\mathbf{A}$ ,则 ${\phi }^{\ast }$ 在 $V^{\ast }$ 的对偶基 $\left\{{\mathbf{f}}_1,\cdots ,{\mathbf{f}}_n\right\}$ 下的表示矩阵为 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ . 于是 $\dim \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=\mathrm{r}\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)=\mathrm{r}\left(\mathbf{A}\right)=\dim \mathrm{Im}\phi =n-k$ ,从而可得 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }={\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ .

证法 2 由例 10.6 可知,我们只要证明 $\mathrm{Ker}\phi ={\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }$ 即可. 若 $x\in \mathrm{Ker}\phi$ , 则对任意的 ${\phi }^{\ast }\left(f\right)\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$ ,有 $⟨{\phi }^{\ast }\left(f\right),x⟩=⟨f,\phi \left(x\right)⟩=0$ ,因此 $x\in {\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }$ , 即 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq {\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }$ . 另一方面,任取 $x\in {\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }$ ,则对任意的 ${\phi }^{\ast }\left(f\right)\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$ , 有 $0=⟨{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{f}\right),\mathbf{x}⟩=⟨\mathbf{f},\phi \left(\mathbf{x}\right)⟩=0$ . 由 $\mathbf{f}$ 的任意性可知 $\phi \left(\mathbf{x}\right)=0$ ,即 $\mathbf{x}\in \mathrm{Ker}\phi$ ,从而 ${\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }\subseteq \mathrm{Ker}\phi$ ,于是结论得证.

注 例 10.7 证法 2 的好处是,证明 $\mathrm{Ker}\phi ={\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }$ 的过程不涉及维数的有限性, 从而这一结论在无限维线性空间的情形依然成立 (此时需要无限维线性空间基的存在性). 然而 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }={\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ 这一结论一般不能推广到无限维线性空间的情形, 但在一些特殊情况下可以推广, 我们来看下面的例题.

例 10.8 设 $\phi$ 是线性空间 $V$ (不要求是有限维) 上的线性变换且 ${\phi }^2=\phi ,{\phi }^{\ast }$ 是 $\phi$ 的对偶变换,求证:

$$\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }={\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$$

证明 与例 10.7 完全一样的证明可得 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\subseteq {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ . 另一方面,任取 $f\in$ ${\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ ,我们只要证明 $f={\phi }^{\ast }\left(f\right)$ 成立,就能得到 $f\in \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$ ,从而 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=$ ${\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }$ 成立. 事实上,对任意的 $v\in V$ ,由于 ${\phi }^2=\phi$ ,故 $v-\phi \left(v\right)\in \mathrm{Ker}\phi$ ,于是 $f\left(v-\phi \left(v\right)\right)=0$ ,从而 $f\left(v\right)=f\left(\phi \left(v\right)\right)={\phi }^{\ast }\left(f\right)\left(v\right)$ 对任意的 $v\in V$ 成立,因此 $f={\phi }^{\ast }\left(f\right)$ .

例 10.9 设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, $V_1$ 是 $V$ 的子空间,求证: $V_1$ 是 $\phi$ 的不变子空间的充要条件是 $V_1^{\perp }$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间.

证明 若 $V_1$ 是 $\phi$ 的不变子空间,则对任意的 $v\in V_1$ ,有 $\phi \left(v\right)\in V_1$ ,从而对任意的 $f\in V_1^{\perp }$ ,有 $⟨{\phi }^{\ast }\left(f\right),v⟩=⟨f,\phi \left(v\right)⟩=0$ ,即 ${\phi }^{\ast }\left(f\right)\in V_1^{\perp }$ ,于是 $V_1^{\perp }$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间. 反之,若 $V_1^{\perp }$ 是 ${\phi }^{\ast }$ 的不变子空间,则对任意的 $f\in V_1^{\perp }$ ,有 ${\phi }^{\ast }\left(f\right)\in V_1^{\perp }$ , 从而对任意的 $v\in V_1$ ,有 $⟨f,\phi \left(v\right)⟩=⟨{\phi }^{\ast }\left(f\right),v⟩=0$ ,即 $\phi \left(v\right)\in {\left(V_1^{\perp }\right)}^{\perp }=V_1$ ,于是 $V_1$ 是 $\phi$ 的不变子空间.

注 设 $V$ 是线性空间 (不要求是有限维), $V_1$ 是 $V$ 的子空间,若承认无限维线性空间基的存在性,则可证明对任一 $\mathbf{v}\notin V_1$ ,存在 $\mathbf{f}\in V_1^{\perp }$ ,使得 $\mathbf{f}\left(\mathbf{v}\right)\ne 0$ . 如果有了这一结论, 则例 10.9 的结论对无限维线性空间也成立.

例 10.10 设 $V,U$ 是 $\mathbb{K}$ 上的有限维线性空间, $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射. 求证: 若将 $V$ 与 $V^{\ast },U$ 与 $U^{\ast }$ 看成是互为对偶的空间,则 ${\left({\phi }^{\ast }\right)}^{\ast }=\phi$ .

证明 对任意的 $\mathbf{x}\in V=V^{\ast \ast },\mathbf{f}\in U^{\ast }$ ,我们有

$$⟨\mathbf{f},\phi \left(\mathbf{x}\right)⟩=⟨{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{f}\right),\mathbf{x}⟩=⟨\mathbf{f},{\phi }^{\ast \ast }\left(\mathbf{x}\right)⟩.$$

因此 $\phi \left(\mathbf{x}\right)={\phi }^{\ast \ast }\left(\mathbf{x}\right)$ ,即 $\phi ={\phi }^{\ast \ast }$ .

例 10.11 设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间,对任一固定的 $\mathbf{u}\in V,\left(\mathbf{u},-\right)$ 是 $V$ 上的线性函数,作映射 $\mathbf{u}\mapsto \left(\mathbf{u},-\right)$ ,证明: 这是一个 $V\to V^{\ast }$ 的同构. 若将 $\mathbf{u}$ 与 $\left(\mathbf{u},-\right)$ 等同起来, 则

$$⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)$$

$\left(10.2\right)$

$V$ 可以看成是自身的对偶空间. 证明: $V$ 上的线性变换 $\phi$ 的对偶就是 $\phi$ 的伴随.

证明 容易验证 $\left(\mathbf{u},-\right)$ 是线性函数. 现设 $\eta :V\to V^{\ast },\eta \left(\mathbf{u}\right)=\left(\mathbf{u},-\right)$ ,则 $\eta$ 是线性映射. 假定对任意的 $\mathbf{v}\in V,\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=0$ ,显然 $\mathbf{u}=0$ ,因此 $\eta$ 是单映射. 又因为 $\dim V^{\ast }=n$ ,故由维数公式可知 $\eta$ 是同构. (10.2) 式显然成立,因此若记 $\bar{\phi }$ 是 $\phi$ 的对偶, 则

$$⟨\mathbf{u},\overline{\phi }\left(\mathbf{v}\right)⟩=⟨\phi \left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}⟩=\left(\phi \left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right)=\left(\mathbf{u},{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{v}\right)\right).$$

后一个结论成立.

10.2.2 双线性型与纯量积

例 10.12 设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型,若 $\left\{{\mathbf{u}}_i\right\},\left\{{\mathbf{v}}_i\right\}\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 分别是 $U,V$ 的基,使 $g\left({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)={\delta }_{ij}$ ,其中 ${\delta }_{ij}=0$ 若 $i\ne j;{\delta }_{ij}=1$ 若 $i=j$ ,则称 $\left\{{\mathbf{u}}_i\right\},\left\{{\mathbf{v}}_i\right\}$ 是关于 $g$ 的对偶基. 假定 $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换, ${\phi }^{\ast }$ 是 $\phi$ 关于 $g$ 的对偶映射. 如果 $\phi$ 在基 $\left\{v_i\right\}$ 下的表示矩阵为 $\mathbf{A}$ ,求证: ${\phi }^{\ast }$ 在基 $\left\{u_i\right\}$ 下的表示矩阵是 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ .

证明 设 ${\phi }^{\ast }$ 在基 $\left\{u_i\right\}$ 下的表示矩阵为 $\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ ,则

$${\phi }^{\ast }\left({\mathbf{u}}_i\right)=b_{1i}{\mathbf{u}}_1+b_{2i}{\mathbf{u}}_2+\cdots +b_{ni}{\mathbf{u}}_n.$$

假定 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,我们有

$$\phi \left({\mathbf{v}}_j\right)=a_{1j}{\mathbf{v}}_1+a_{2j}{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_{nj}{\mathbf{v}}_n$$

所以

$$b_{ji}=g\left({\phi }^{\ast }\left({\mathbf{u}}_i\right),{\mathbf{v}}_j\right)=g\left({\mathbf{u}}_i,\phi \left({\mathbf{v}}_j\right)\right)=a_{ij}.$$

此即 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{\prime }$ .

例 10.13 设 $g$ 是 $U,V$ 上的非零双线性型,证明: 必存在 $U,V$ 的子空间 $U_0,V_0$ , 使 $g$ 在 $U_0,V_0$ 上的限制是非退化的双线性型,且

$$\dim U_0=\dim V_0=\dim U-\dim L$$

其中 $L$ 是 $g$ 的左根子空间.

证明 设 $g$ 在 $U$ 的基 $\left\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\right\}$ 和 $V$ 的基 $\left\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n\right\}$ 下的表示矩阵为标准型, 即

$$A=\left(\begin{array}{ll}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

令 $U_0$ 是由基向量 ${\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_r$ 生成的子空间, $V_0$ 是由基向量 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_r$ 生成的子空间. 显然,将 $g$ 限制在 $U_0,V_0$ 上是非退化的双线性型,且 $\dim U_0=\dim V_0=r$ . 又 $g$ 的左根子空间就是由 ${\mathbf{u}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{u}}_m$ 生成的子空间,因此 $\dim L=m-r$ ,即有 $\dim U_0=\dim U-\dim L$ .

例 10.14 设 $g$ 是 $U,V$ 上的非退化双线性型, $\phi ,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换,求证:

(1) ${\left(k\phi +l\psi \right)}^{\ast }=k{\phi }^{\ast }+l{\psi }^{\ast }$ ,其中 $k,l$ 是常数;

(2) ${\left(\psi \phi \right)}^{\ast }={\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }$

(3) 若 $\phi$ 是 $V$ 的自同构,则 ${\phi }^{\ast }$ 是 $U$ 的自同构,此时 ${\left({\phi }^{\ast }\right)}^{-1}={\left({\phi }^{-1}\right)}^{\ast }$ ;

(4) ${\left({\phi }^{\ast }\right)}^{\ast }=\phi$ .

证明 (1) 对任意的 $u\in U,v\in V$ ,由对偶映射的定义可得

$$g\left(\mathbf{u},\left(k\phi +l\psi \right)\left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left(\mathbf{u},k\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)+g\left(\mathbf{u},l\psi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left(k{\phi }^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right)+g\left(l{\psi }^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right)$$ $$=g\left({\left(k\phi +l\psi \right)}^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right)$$

再由对偶映射的唯一性即得 ${\left(k\phi +l\psi \right)}^{\ast }=k{\phi }^{\ast }+l{\psi }^{\ast }$ .

(2) 对任意的 $\mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V$ ,由对偶映射的定义可得

$$g\left(\mathbf{u},\psi \phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left({\psi }^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left({\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right),$$

再由对偶映射的唯一性即得 ${\left(\psi \phi \right)}^{\ast }={\phi }^{\ast }{\psi }^{\ast }$ .

(3) 若 $\phi$ 是 $V$ 的自同构,则 ${\phi }^{-1}\phi =\phi {\phi }^{-1}=I_V$ . 两边同取对偶,由 (2) 可得

$${\phi }^{\ast }{\left({\phi }^{-1}\right)}^{\ast }={\left({\phi }^{-1}\right)}^{\ast }{\phi }^{\ast }={\mathbf{I}}_V^{\ast }={\mathbf{I}}_U,$$

故 ${\phi }^{\ast }$ 是 $U$ 的自同构,并且 ${\left({\phi }^{\ast }\right)}^{-1}={\left({\phi }^{-1}\right)}^{\ast }$ .

(4) 对任意的 $\mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V$ ,由对偶映射的定义可得

$$g\left(\mathbf{u},\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left({\phi }^{\ast }\left(\mathbf{u}\right),\mathbf{v}\right)=g\left(\mathbf{u},{\left({\phi }^{\ast }\right)}^{\ast }\left(\mathbf{v}\right)\right),$$

再由对偶映射的唯一性即得 ${\left({\phi }^{\ast }\right)}^{\ast }=\phi$ .

例 10.15 设 $g,h$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上秩相同的纯量积,求证: 必存在 $V$ 上的可逆线性变换 $\phi ,\psi$ ,使 $h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\psi \left(\mathbf{y}\right)\right)$ 对一切 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 成立.

证明 我们用矩阵方法来证明结论. 设 $g,h$ 在 $V$ 的某一组基下的表示矩阵分别为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ ,向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 的坐标向量 (用列向量表示) 分别为 $\alpha ,\beta$ ,则

$$g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)={\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\beta ,h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)={\alpha }^{\prime }\mathbf{B}\beta .$$

又假定线性变换 $\phi$ 和 $\psi$ 在同一组基下的表示矩阵分别为 $\mathbf{C},\mathbf{D}$ (待定),则

$$g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\psi \left(\mathbf{y}\right)\right)={\left(\mathbf{C}\alpha \right)}^{\prime }\mathbf{A}\left(\mathbf{D}\beta \right)={\alpha }^{\prime }{\mathbf{C}}^{\prime }\mathbf{AD}\beta .$$

因为 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 秩相同,故确实存在可逆矩阵 $\mathbf{C},\mathbf{D}$ ,使 ${\mathbf{C}}^{\prime }\mathbf{AD}=\mathbf{B}$ ,于是结论得证.

例 10.16 设 $W=U\oplus V,g,h$ 分别是 $U$ 及 $V$ 上的纯量积. 现定义 $W$ 上的纯量积 $q$ 如下:

$$q\left(\left(\mathbf{x}+\mathbf{y}\right),\left(\mathbf{u}+\mathbf{v}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{u}\right)+h\left(\mathbf{y},\mathbf{v}\right),$$

其中 $\mathbf{x},\mathbf{u}\in U,\mathbf{y},\mathbf{v}\in V$ ,求证:

(1) 若 $g,h$ 非退化,则 $q$ 也非退化;

(2) 若 $g,h$ 是对称型 (交错型),则 $q$ 也是对称型 (交错型);

(3) 若 $\left\{{\mathbf{u}}_i\right\},\left\{{\mathbf{v}}_i\right\}$ 分别是 $U$ 和 $V$ 的基且 $g,h$ 在这两组基下的表示矩阵分别为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ ,则 $q$ 在 $W$ 的基 $\left\{{\mathbf{u}}_i\right\}\cup \left\{{\mathbf{v}}_i\right\}$ 下的表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right)$$

证明 (1) 是 (3) 的推论,因为矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 可逆,故 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ 也可逆. (2) 的验证很容易, 现只需证明 (3). 因为

$$q\left({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)=q\left({\mathbf{u}}_i+0,0+{\mathbf{v}}_j\right)=g\left({\mathbf{u}}_i,0\right)+h\left(0,{\mathbf{v}}_j\right)=0,$$

所以 $q$ 的表示矩阵是分块对角矩阵. 又

$$q\left({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{u}}_j\right)=g\left({\mathbf{u}}_i,{\mathbf{u}}_j\right),q\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)=h\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\right),$$

因此结论成立.

10.2.3 反对称矩阵的合同

例 10.17 证明下面两个矩阵在有理数域上合同:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}0& 2& -1& 3\\ -2& 0& 4& -2\\ 1& -4& 0& 1\\ -3& 2& -1& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right),$$

并求出 $\mathbf{C}$ ,使 $\mathbf{B}={\mathbf{C}}^{\prime }\mathbf{AC}$ .

证明 经过计算可知 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵,从而这两个反对称矩阵的秩相等,因此它们必合同. $C$ 可用对称初等变换法来求 (类似对称矩阵的求法). 我们通过初等变换将 $\left(\mathbf{A},\mathbf{I}\right)$ 中的 $\mathbf{A}$ 变为 $\mathbf{B}$ (注意在对 $\mathbf{A}$ 进行初等行变换后接着做同样的初等列变换),这时 $\mathbf{I}$ 就变成 ${\mathbf{C}}^{\prime }$ ,转置即可得到 $\mathbf{C}$ .

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\left(\mathbf{A},\mathbf{I}\right)$ 的第二行,再乘以第二列得到

$$\left(\mathbf{A},\mathbf{I}\right)\to \left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& -1& 3& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 1& -2& 0& 1& 1& 0& 0& 1\\ -3& 1& -1& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

将第二行加到第三行上, 再将第二列加到第三列上得到

$$\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 3& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& 0& 0& 1& 1& 1& 0\\ -3& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

将第二行乘以 -3 后加到第四行, 再将第二列乘以 -3 后加到第四列得到

$$\left(\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 2& -1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& 0& 6& 1& \frac{1}{2}& 1& 0\\ 0& 1& -6& 0& 1& -\frac{3}{2}& 1& 0\\ 0& 1& -6& 0& 0& -\frac{3}{2}& 0& 1\end{array}\right).$$

将第一行分别乘以 $2,-1$ 后加到第三行及第四行上,再将第一列分别乘以 $2,-1$ 后加到第三列及第四列上得到

$$\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& \\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 2& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 0& 1& 2& 1& 0& \\ 0& 0& -6& 0& 1& -1& -\frac{3}{2}& 0& 1\end{array}\right).$$

将第四行乘以 $\frac{1}{6}$ ,再将第四列乘以 $\frac{1}{6}$ 后得到

$$\left(\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& \frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{12}& \frac{1}{6}& 0& \\ 0& 0& -1& 0& -1& -\frac{3}{2}& 0& 1& \end{array}\right).$$

因此

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{1}{3}& -1\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{12}& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& \frac{1}{6}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).\square$$

10.2.4 对称型与交错型

例 10.18 设 $V$ 是辛空间, $\phi$ 是 $V$ 上的辛变换,称 $\phi$ 在 $V$ 一组辛基下的表示矩阵为辛矩阵. 令

$$A=\mathrm{diag}\{S,\cdots ,S\}$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

求证: $n$ 阶方阵 $\mathbf{T}$ 是辛矩阵的充要条件是 ${\mathbf{T}}^{\prime }\mathbf{AT}=\mathbf{A}$ .

证明 设 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是辛空间 $V$ 的一组辛基且 $\mathbf{A}$ 恰是定义了辛空间的交错型 $g$ 在这组基下的表示矩阵. 令 ${\mathbf{e}}_i$ 是基向量 ${\mathbf{v}}_i$ 的坐标向量 (列向量),则

$$g\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)={\mathbf{e}}_i^{\prime }\mathbf{A}{\mathbf{e}}_j$$

假定 $\phi$ 是辛变换, $g\left(\phi \left({\mathbf{v}}_i\right),\phi \left({\mathbf{v}}_j\right)\right)=g\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)$ ,因此

$${\mathbf{e}}_i^{\prime }{\mathbf{T}}^{\prime }\mathbf{AT}{\mathbf{e}}_j=g\left(\phi \left({\mathbf{v}}_i\right),\phi \left({\mathbf{v}}_j\right)\right)=g\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{v}}_j\right)={\mathbf{e}}_i^{\prime }\mathbf{A}{\mathbf{e}}_j.$$

于是 ${\mathbf{T}}^{\prime }\mathbf{AT}=\mathbf{A}$ . 反之亦不难倒推回去,因此结论成立.

例 10.19 设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的非退化对称型, $\phi$ 是 $V$ 上的正交变换, 求证: $\det \phi =\pm 1$ .

证明 因为 $\phi$ 是正交变换,所以 $g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\phi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$ . 选定一组正交基, $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{T}$ . 又设 $\mathbf{A}$ 是 $g$ 的表示矩阵,则类似上例, ${\mathbf{T}}^{\prime }\mathbf{AT}=\mathbf{A}$ . 两边求行列式并注意到 $\mathbf{A}$ 的行列式非零,便有 $\left|\mathbf{T}\right|=\pm 1$ .

例 10.20 设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的非退化对称型, $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换, 求证: $\phi$ 是正交变换的充要条件是 ${\phi }^{\ast }\phi =I$ .

证明 若 $\phi$ 是正交变换,则对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V,g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\phi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)$ ,从而可得

$$g\left(\mathbf{x},{\phi }^{\ast }\phi \left(\mathbf{y}\right)\right)=g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right).$$

因为 $g$ 非退化,所以 ${\phi }^{\ast }\phi =I$ . 充分性只要反过来推回去即可.

例 10.21 设 $V$ 是双曲平面, $\phi$ 是 $V$ 上的正交变换且 $\det \phi =-1$ ,求证: $\phi$ 是镜像变换.

证明 设 $g$ 是定义了 $V$ 的双线性型,又 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 是 $V$ 的一组基,使

$$g\left(\mathbf{u},\mathbf{u}\right)=g\left(\mathbf{v},\mathbf{v}\right)=0,g\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=g\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)=1.$$

假定

$$\phi \left(\mathbf{u}\right)=a_{11}\mathbf{u}+a_{21}\mathbf{v},\phi \left(\mathbf{v}\right)=a_{12}\mathbf{u}+a_{22}\mathbf{v},$$

则从 $g\left(\phi \left(\mathbf{u}\right),\phi \left(\mathbf{u}\right)\right)=g\left(\mathbf{u},\mathbf{u}\right)=0$ 可推出 $a_{11}=0$ 或 $a_{21}=0$ . 从 $g\left(\phi \left(\mathbf{v}\right),\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=$ $g\left(\mathbf{v},\mathbf{v}\right)=0$ 可推出 $a_{22}=0$ 或 $a_{12}=0$ . 但 $\phi$ 是可逆变换,故只有下列可能性: 或者 $a_{12}=a_{21}=0$ ,或者 $a_{11}=a_{22}=0$ . 假定为前者,由 $g\left(\phi \left(\mathbf{u}\right),\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=1$ 可推出 $a_{11}{a}_{22}=1$ ,这和 $\det \phi =-1$ 矛盾. 因此必有 $a_{11}=a_{22}=0$ . 这时再由 $g\left(\phi \left(\mathbf{u}\right),\phi \left(\mathbf{v}\right)\right)=g\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=1$ 可推出 $a_{12}{a}_{21}=1$ . 因为 $\phi$ 是正交变换,故 $a_{12}=1$ , $a_{21}=1$ 或 $a_{12}=-1,a_{21}=-1$ . 若 $a_{12}=a_{21}=1$ ,令 $\beta =\frac{1}{2}\left(\mathbf{u}-\mathbf{v}\right)$ ,不难验证 $\phi =S_{\beta }$ 是镜像变换. 同理,当 $a_{12}=a_{21}=-1$ 时,令 $\beta =u+v$ ,则 $\phi =S_{\beta }$ 也是镜像变换.

例 10.22 设 $g$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的非退化对称型, $g$ 的正惯性指数为 $p$ , 负惯性指数为 $q$ . 假定 $M$ 是 $V$ 的极大全迷向子空间,求证: $\dim M=\min \{p,q\}$ .

证明 设 $\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 是 $V$ 的一组基,且 $g$ 在这组基下的表示矩阵为

$$\mathrm{diag}\{1,\cdots ,1,-1,\cdots ,-1\}$$

其中有 $p$ 个 $1,q$ 个 -1,不妨假定 $p\le q(p>q$ 类似可证). 令

$${\mathbf{v}}_1={\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_{p+1},{\mathbf{v}}_2={\mathbf{e}}_2+{\mathbf{e}}_{p+2},\cdots ,{\mathbf{v}}_p={\mathbf{e}}_p+{\mathbf{e}}_{2p};$$ $${\mathbf{u}}_1={\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_{p+1},{\mathbf{u}}_2={\mathbf{e}}_2-{\mathbf{e}}_{p+2},\cdots ,{\mathbf{u}}_p={\mathbf{e}}_p-{\mathbf{e}}_{2p}.$$

显然, $\left\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_p,{\mathbf{u}}_1,\cdots ,{\mathbf{u}}_p,{\mathbf{e}}_{2p+1},\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 是 $V$ 的一组基. 由基向量 $\left\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_p\right\}$ 生成的子空间 $M$ ,其维数等于 $p$ ,且不难验证这是个全迷向子空间.

现假定 $W$ 是维数大于 $p$ 的全迷向子空间,令 $U$ 是由基向量 $\left\{{\mathbf{e}}_{p+1},\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 生成的子空间. 因为 $U$ 的维数为 $n-p,W$ 的维数大于 $p$ ,故 $U\cap W\ne 0$ . 假定 $\beta \in U\cap W$ 且 $\beta \ne 0$ ,可设 $\beta =b_{p+1}{\mathbf{e}}_{p+1}+b_{p+2}{\mathbf{e}}_{p+2}+\cdots +b_n{\mathbf{e}}_n$ ,则

$$g\left(\beta ,\beta \right)=-b_{p+1}^2-b_{p+2}^2-\cdots -b_n^2<0.$$

这和 $\beta$ 是迷向向量矛盾,因此 $V$ 中全迷向子空间的维数最多为 $p$ . $\square$

例 10.23 若 $V=U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_r$ ,且 $U_i\perp U_j$ 对一切 $i\ne j$ 成立,则称 $V$ 是 $U_i$ 的正交直和,记为 $V=U_1\perp U_2\perp \cdots \perp U_r$ . 现假定

$$V=U_1\perp U_2\perp \cdots \perp U_r=V_1\perp V_2\perp \cdots \perp V_r.$$

如果存在保距同构 ${\phi }_i:U_i\to V_i\left(i=1,\cdots ,r\right)$ ,求证: 存在 $V$ 上的正交变换 $\phi$ ,使之在每个 $U_i$ 上的限制就是 ${\phi }_i$ .

证明 令 $\phi \left({\mathbf{u}}_1+{\mathbf{u}}_2+\cdots +{\mathbf{u}}_r\right)={\phi }_1\left({\mathbf{u}}_1\right)+{\phi }_2\left({\mathbf{u}}_2\right)+\cdots +{\phi }_r\left({\mathbf{u}}_r\right)$ ,其中每个 ${\mathbf{u}}_i\in U_i$ . 不难验证 $\phi$ 就是所需之正交变换.

例 10.24 设 $g$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的非退化对称型, $\phi$ 是 $V$ 上的正交变换. $V_1=\{\mathbf{x}\in V\mid \phi \left(\mathbf{x}\right)=\mathbf{x}\}$ ,求证: $V_1$ 是子空间且 $\dim V=\dim V_1+\dim \left(\mathbf{I}-\phi \right)V$ .

证明 显然 $V_1=\mathrm{Ker}\left(\mathbf{I}-\phi \right)$ ,由维数公式即可得到结论.

例 10.25 设 $g$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称型或交错型, $U$ 是 $V$ 的子空间,求证: $U\cap U^{\perp }=0$ 的充要条件是 $g$ 限制在 $U$ 上是一个非退化的纯量积,这时有直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$ .

证明 设 $U\cap U^{\perp }=0$ ,若 $g$ 限制在 $U$ 上退化,则存在 $U$ 中非零向量 $\mathbf{u}$ ,使得 $g\left(\mathbf{u},U\right)=0$ ,从而 $\mathbf{u}\in U\cap U^{\perp }$ ,推出矛盾. 反之,设 $g$ 限制在 $U$ 上非退化,任取 $\mathbf{u}\in U\cap U^{\perp }$ ,则 $g\left(\mathbf{u},U\right)=0$ ,从而 $\mathbf{u}=0$ ,这表明 $U\cap U^{\perp }=0$ .

对于第二个结论,我们先证明若 $g$ 限制在 $U$ 上非退化,则 $\dim U+\dim U^{\perp }=n$ . 对任意的 $v\in V,g\left(v,-\right)$ 限制在 $U$ 上是 $U$ 上的线性函数. 作线性映射 $\phi :V\to U^{\ast }$ , $\phi \left(\mathbf{v}\right)=g\left(\mathbf{v},-\right)$ ,则 $\mathrm{Ker}\phi =U^{\perp }$ . 因为 $g$ 限制在 $U$ 上非退化,故 $\mathbf{u}\to g\left(\mathbf{u},-\right)$ 是 $U$ 到 $U^{\ast }$ 的同构,于是对任意的 $f\in U^{\ast }$ ,存在 $u\in U$ ,使 $f=g\left(u,-\right)$ ,从而 $\phi$ 是映上的. 由 $\dim U^{\ast }=\dim U$ 以及线性映射的维数公式即知 $\dim U+\dim U^{\perp }=n$ . 又因为 $U\cap U^{\perp }=0$ ,所以 $V=U\oplus U^{\perp }$ .

例 10.26 设 $h$ 是三维线性空间 $V$ 上的非零交错型,求证: 存在 $V$ 上的线性函数 $\mathbf{f},\mathbf{g}$ ,使对任意的 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ ,有 $h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=f\left(\mathbf{x}\right)g\left(\mathbf{y}\right)-f\left(\mathbf{y}\right)g\left(\mathbf{x}\right)$ .

证明 设 $h$ 在 $V$ 的基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ 下的表示矩阵为标准型 $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ,令

$$f\left(\mathbf{x}\right)=h\left(-,{\mathbf{v}}_2\right),g\left(\mathbf{x}\right)=h\left({\mathbf{v}}_1,-\right),$$

不难验证 $\mathbf{f},\mathbf{g}$ 即为要求之线性函数.

例 10.27 设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧氏空间, $g$ 是 $V$ 上的一个对称型. 我们称满足 $g\left(\mathbf{u},\mathbf{u}\right)=0$ 的非零向量 $\mathbf{u}$ 为迷向向量. 求证: $V$ 存在一组由迷向向量组成的标准正交基的充要条件是 $g$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的表示矩阵的迹等于零.

证明 我们把问题的提法改变一下. 设 $\mathbf{A}$ 是 $g$ 在任意一组标准正交基下的表示矩阵,则 $\mathbf{A}$ 是实对称矩阵. 因此我们的问题等价于这样一个矩阵问题: 实对称矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 正交相似于主对角元素全是零的对称矩阵的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的迹等于零. 由此可见必要性是显然的,我们只需证明充分性. 我们对 $n$ 用归纳法. 当 $n=1$ 时结论显然,事实上这时 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ . 假定对 $n-1$ 阶矩阵结论已成立,现对 $n$ 阶矩阵来证明结论. 下面分两种情况进行讨论.

若 $\mathbf{A}$ 的主对角元素中有一个为零,由于主对角元素的对换是正交相似变换,故不妨设 $a_{11}=0$ ,于是 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& {\alpha }^{\prime }\\ \alpha & {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)$ . 注意到 ${\mathbf{A}}_1$ 是 $n-1$ 阶实对称矩阵且 $\mathrm{tr}{\mathbf{A}}_1=0$ , 由归纳假设可知,存在 $n-1$ 阶正交矩阵 $\mathbf{R}$ ,使得 ${\mathbf{R}}^{\prime }{\mathbf{A}}_1\mathbf{R}$ 的主对角元素全为零. 令 $\mathbf{P}=\mathrm{diag}\{1,\mathbf{R}\}$ ,则 $\mathbf{P}$ 是 $n$ 阶正交矩阵,且 ${\mathbf{P}}^{\prime }\mathbf{AP}$ 的主对角元素全为零.

若 $\mathbf{A}$ 的主对角元素全部非零,我们的目标是通过正交相似变换将 $\mathbf{A}$ 化为第 $\left(1,1\right)$ 元素为零的实对称矩阵,再由第一种情况的讨论即可得到结论. 首先设 $\mathbf{P}$ 为正交矩阵,使得 ${\mathbf{P}}^{\prime }\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ ,由假设 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}\mathbf{A}=0$ . 若存在某个 ${\lambda }_i=0$ ,则结论得证,故不妨设 ${\lambda }_i$ 全部非零. 因为主对角元素的对换是正交相似变换,故不妨进一步假设 ${\lambda }_1>0,{\lambda }_2<0$ . 设 $\mathbf{P}=\left({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right)$ , 则 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基,且满足 $\mathbf{A}{\mathbf{e}}_i={\lambda }_i{\mathbf{e}}_i$ . 设 $t,s$ 为实参数,满足如下条件:

$${\left({\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_2\right)}^{\prime }\mathbf{A}\left({\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_2\right)={\lambda }_1+t^2{\lambda }_2=0,{\left({\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_2\right)}^{\prime }\left({\mathbf{e}}_1+s{\mathbf{e}}_2\right)=1+st=0,$$

则容易算出 $t=\sqrt{-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}},s=-\sqrt{-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}}$ . 令 ${\tilde{\mathbf{e}}}_1=\frac{{\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_2}{\Vert \begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1+t{\mathbf{e}}_2\end{array}\Vert },{\tilde{\mathbf{e}}}_2=\frac{{\mathbf{e}}_1+s{\mathbf{e}}_2}{\Vert \begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1+s{\mathbf{e}}_2\end{array}\Vert }$ , 则 ${\tilde{\mathbf{e}}}_1,{\tilde{\mathbf{e}}}_2,{\mathbf{e}}_3,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准正交基. 令 $\mathbf{Q}=\left({\tilde{\mathbf{e}}}_1,{\tilde{\mathbf{e}}}_2,{\mathbf{e}}_3,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right)$ ,则 $\mathbf{Q}$ 是正交矩阵,且由上述条件容易验证 ${\mathbf{Q}}^{\prime }\mathbf{AQ}$ 是一个第 $\left(1,1\right)$ 元素为零的实对称矩阵,从而结论得证.

例 10.28 设 $V$ 是四维实空间且在 $V$ 上定义了一个对称型 $g$ ,在基 $\{e_1,e_2,e_3$ , $e_4\}$ 下其表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

空间 $V$ 称为 Minkowski 空间. $V$ 中适合 $g\left(\alpha ,\alpha \right)>0$ 的向量 $\alpha$ 称为空间向量; 适合 $g\left(\alpha ,\alpha \right)<0$ 的向量称为时间向量; 适合 $g\left(\alpha ,\alpha \right)=0$ 的非零向量称为光向量. 试证明:

(1) $V$ 中任意两个时间向量不可能互相正交;

(2) $V$ 中任意一个时间向量不可能正交于一个光向量;

(3) $V$ 中两个光向量正交的充要条件是它们线性相关.

证明 (1) 设 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 是两个时间向量且

$$\mathbf{x}=a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+a_3{\mathbf{e}}_3+a_4{\mathbf{e}}_4,\mathbf{y}=b_1{\mathbf{e}}_1+b_2{\mathbf{e}}_2+b_3{\mathbf{e}}_3+b_4{\mathbf{e}}_4.$$

若它们正交,则 $g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=0$ 且 $g\left(\mathbf{x},\mathbf{x}\right)<0,g\left(\mathbf{y},\mathbf{y}\right)<0$ . 于是

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2<a_4^2,b_1^2+b_2^2+b_3^2<b_4^2,a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=a_4{b}_4.$$

由 Cauchy 不等式, 有

$$a_4^2{b}_4^2={\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\right)}^2\le \left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right),$$

导出矛盾.

(2) 设 $\mathbf{u}=c_1{\mathbf{e}}_1+c_2{\mathbf{e}}_2+c_3{\mathbf{e}}_3+c_4{\mathbf{e}}_4$ 是光向量,则 $g\left(\mathbf{u},\mathbf{u}\right)=0$ ,即 $c_1^2+c_2^2+c_3^2=c_4^2$ . 若 $\mathbf{x}\perp \mathbf{u}$ ,则 $a_1{c}_1+a_2{c}_2+a_3{c}_3=a_4{c}_4$ . 同 (1) 用 Cauchy 不等式可证这是不可能的.

(3) 设 $\mathbf{v}=d_1{\mathbf{e}}_1+d_2{\mathbf{e}}_2+d_3{\mathbf{e}}_3+d_4{\mathbf{e}}_4$ 也是光向量,若它和 $\mathbf{u}$ 正交,则 $c_1{d}_1+$ $c_2{d}_2+c_3{d}_3=c_4{d}_4$ . 又 $d_1^2+d_2^2+d_3^2=d_4^2$ ,运用 Cauchy 不等式等号成立的条件即知 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 线性相关.

$\S 10.3$ 基础训练

10.3.1 训 练 题

一、单选题

1. 设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V\to U$ 的线性映射, ${\phi }^{\ast }$ 是其对偶映射,则 ( ).

(A) 若 $\phi$ 是单映射,则 ${\phi }^{\ast }$ 也是单映射 (B) 若 $\phi$ 是满映射,则 ${\phi }^{\ast }$ 也是满映射

(C) 若 $\phi$ 是单映射,则 ${\phi }^{\ast }$ 也是满映射 (D) 若 ${\phi }^{\ast }$ 是单映射,则 $\phi$ 也是单映射

2. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的三维空间, $V^{\ast }$ 是其对偶空间. $v_1,v_2,v_3$ 是 $V$ 的一组基, $v_1^{\ast },v_2^{\ast },v_3^{\ast }$ 是对偶基,则 $V$ 中基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3$ 的对偶基是 $\left(\right)$ .

(A) ${\mathbf{v}}_1^{\ast },{\mathbf{v}}_1^{\ast }+{\mathbf{v}}_2^{\ast },{\mathbf{v}}_1^{\ast }+{\mathbf{v}}_2^{\ast }+{\mathbf{v}}_3^{\ast }$ (B) ${\mathbf{v}}_1^{\ast }-{\mathbf{v}}_2^{\ast },{\mathbf{v}}_2^{\ast }-{\mathbf{v}}_3^{\ast },{\mathbf{v}}_3^{\ast }$

(C) ${\mathbf{v}}_1^{\ast },{\mathbf{v}}_1^{\ast }-{\mathbf{v}}_2^{\ast },{\mathbf{v}}_2^{\ast }-{\mathbf{v}}_3^{\ast }$ (D) ${\mathbf{v}}_1^{\ast }-{\mathbf{v}}_2^{\ast },{\mathbf{v}}_1^{\ast }-{\mathbf{v}}_3^{\ast },{\mathbf{v}}_2^{\ast }+{\mathbf{v}}_3^{\ast }$

3. 设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换, ${\phi }^{\ast }$ 是其对偶变换. 若 $V_1$ 是 $V$ 的子空间, 记 $V_1^{\perp }=\left\{\mathbf{f}\in V^{\ast }\mid \mathbf{f}\left(V_1\right)=0\right\}$ ,则下列结论正确的是 ( ).

(A) $\dim {\left(\mathrm{Ker}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }=\dim \mathrm{Ker}\phi$ (B) $\dim {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }=\dim \mathrm{Im}\phi$

(C) $\dim {\left(\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }\right)}^{\perp }=\dim \mathrm{Im}\phi$ (D) $\dim \mathrm{Im}{\phi }^{\ast }=\dim {\left(\mathrm{Im}\phi \right)}^{\perp }$

4. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的三维行向量空间,则下列函数是 $V\times V\to \mathbb{F}$ 的双线性函数的是 ( ).

(假定 $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,x_3\right),\mathbf{y}=\left(y_1,y_2,y_3\right)$ )

(A) $f\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=x_1^2+x_1{y}_1+2x_1{y}_2$

(B) $f\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=x_1{y}_1+x_2{y}_3+2x_1-3y_3$

(C) $f\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=x_1{x}_2+x_2{y}_3+2x_3{y}_3$

(D) $f\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=2x_1{y}_2+x_2{y}_1-5x_3{y}_2+2x_3{y}_3$

5. 线性空间 $V\times V\to \mathbb{F}$ 的双线性型 $g$ 在 $V$ 的不同基下的表示矩阵 ( ).

(A) 必相似 (B) 必合同 (C) 必正交相似 (D) 必相等

6. 设 $g$ 是 $U\times V\to \mathbb{F}$ 的双线性型, $U^{\ast }$ 是 $U$ 的对偶空间,作 $V\to U^{\ast }$ 的映射 $\phi :\phi \left(v\right)=$ $g\left(-,\mathbf{v}\right)$ ,则 $\left(\right)$ .

(A) $\mathrm{Ker}\phi$ 为 $g$ 的右根子空间 (B) $\mathrm{Ker}\phi$ 为 $g$ 的左根子空间

(C) $\mathrm{Im}\phi$ 为 $g$ 的右根子空间 (D) $\mathrm{Im}\phi$ 为 $g$ 的左根子空间

7. 下列纯量积非退化的是 ( ).

(A) $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的四维行向量空间, $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right),\mathbf{y}=\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right),g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=x_1{y}_2+$ $2x_1{y}_3-3x_3{y}_3$

(B) $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的四维行向量空间, $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right),\mathbf{y}=\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right),g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=x_1{y}_1+$ $2x_1{y}_3-2x_2{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_2+4x_3{y}_3$

(C) $V$ 是 $n$ 维实列向量空间, $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶幂等矩阵, $\mathbf{A}\ne I_n,g\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ay}$

(D) $V$ 是 $n$ 阶矩阵组成的线性空间, $g\left(\mathbf{A},\mathbf{B}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)$

8. 设 $g,h$ 是 $V$ 上两个非退化的纯量积, ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是 $V$ 的基,若 $g$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{A},h$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{B}$ . 假定 $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换且使 $h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\mathbf{y}\right)$ , 则 $\phi$ 在上述基下的表示矩阵为 $\left(\right)$ .

(A) $AB$ (B) ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}$ (C) $A^{\prime }B$ (D) ${\left(A^{-1}\right)}^{\prime }{B}^{\prime }$

9. 数域 $\mathbb{F}$ 上两个 $n$ 阶反对称矩阵合同的充要条件是 ( ).

(A) 它们相抵 (B) 它们相似

(C) 作为复矩阵它们酉相似 (D) 它们的特征值相同

10. $U,V$ 分别是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 维和 $n$ 维线性空间,则由 $U\times V\to \mathbb{F}$ 全体双线性型组成的线性空间的维数是 ( ).

(A) $m$ (B) $n$ (C) $m+n$ (D) $mn$

二、填空题

1. 若 $\dim V=n$ ,则 $\dim V^{\ast }=\left(\right)$ .

2. 设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射,它在 $V$ 和 $U$ 的一对基下的表示矩阵为 $\mathbf{A}$ ,则 $\phi$ 的对偶映射 ${\phi }^{\ast }$ 在对偶基下的表示矩阵是 $\left(\right)$ .

3. 设 $V$ 和 $U$ 分别是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维和 $m$ 维线性空间, $\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射. 已知 $\dim \mathrm{Im}\phi =r$ ,则 $\dim \mathrm{Ker}{\phi }^{\ast }=\left(\right)$ .

4. 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维向量空间, $V^{\ast }$ 是 $V$ 的对偶空间. 设 $\left\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\},\left\{{\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }\right\}$ 是 $V$ 的两组基且从 $\left\{e_1,\cdots ,e_n\right\}$ 到 $\left\{e_1^{\prime },\cdots ,e_n^{\prime }\right\}$ 的过渡矩阵是 $P$ . 又假定 $\left\{f_1,\cdots ,f_n\right\}$ 和 $\left\{{\mathbf{f}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{f}}_n^{\prime }\right\}$ 分别是 $\left\{{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 和 $\left\{{\mathbf{e}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }\right\}$ 的对偶基,则从 $\left\{{\mathbf{f}}_1,\cdots ,{\mathbf{f}}_n\right\}$ 到 $\left\{{\mathbf{f}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{f}}_n^{\prime }\right\}$ 的过渡矩阵是 ( ).

5. 设 $g$ 是 $V\times U\to \mathbb{F}$ 的双线性型, $g^{\ast }$ 是 $U^{\ast }\times V^{\ast }\to \mathbb{F}$ 的双线性型. 假定 $g$ 在 $V$ 的基 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 及 $U$ 的基 $u_1,u_2,\cdots ,u_m$ 下的表示矩阵为 $A,g^{\ast }$ 在 $V^{\ast }$ 中相应的对偶基 $v_1^{\ast },v_2^{\ast },\cdots ,v_n^{\ast }$ 及 $U^{\ast }$ 的对偶基 $u_1^{\ast },u_2^{\ast },\cdots ,u_m^{\ast }$ 下的表示矩阵为 $B$ . 问 $A$ 和 $B$ 满足什么条件必有 $g\left({\mathbf{v}}_i,{\mathbf{u}}_j\right)=g^{\ast }\left({\mathbf{u}}_j^{\ast },{\mathbf{v}}_i^{\ast }\right)$ ?

6. 设 $U$ 和 $V$ 分别是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 维和 $n$ 维线性空间, $g$ 是 $U\times V\to \mathbb{F}$ 的双线性型. 假定 $g$ 在一对基下的表示矩阵为 $\mathbf{A}$ 且 $\mathbf{A}$ 的秩为 $r$ ,则 $g$ 的左根子空间的维数是 $\left(\right),g$ 的右根子空间维数为 $\left(\right)$ .

7. 设 $g$ 是线性空间 $V$ 上的纯量积, $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换. ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 是 $V$ 的一组基,若 $g$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{A},\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{B}$ ,则双线性型 $h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=g\left(\phi \left(\mathbf{x}\right),\mathbf{y}\right)$ 在这组基下的表示矩阵为 $\left(\right)$ .

8. 设 $V$ 是由实数域上次数小于 3 的多项式全体组成的线性空间,定义双线性型

$$g\left(f_1\left(x\right),f_2\left(x\right)\right)={\int }_0^1{f}_1\left(x\right)f_2\left(x\right)\mathrm{d}x.$$

写出 $g$ 在基 $1,x,x^2$ 下的表示矩阵.

9. 将 $V$ 上的纯量积 $g$ 表示为一个对称型和一个交错型之和.

10. 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间,则 $V$ 上所有交错型组成的线性空间的维数为 $\left(\right)$ .

10.3.2 训练题答案

一、单选题

1. $\phi$ 是单映射的充要条件是 ${\phi }^{\ast }$ 是满映射,故选择 (C).

2. 计算后可知应选择 (B).

3. 设 $\phi$ 的秩为 $r$ ,则 $\dim \mathrm{Ker}\phi =n-r$ ,故 $\dim {\left(\mathrm{Ker}\phi \right)}^{\perp }=r=\dim \mathrm{Im}\phi$ . 因此选择 (B).

4. 显然应选择 (D).

5. 应选择 (B).

6. 应选择 (A).

7. (A),(B) 中的纯量积的表示矩阵都是奇异阵,因此是退化的. 又当矩阵 $\mathbf{A}$ 是幂等矩阵而非单位矩阵时, $\mathbf{A}$ 必是奇异阵,故 (C) 也是退化的. 应该选择 (D). 事实上,若 $g\left(\mathbf{AB}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)=0$ 对任意的矩阵 $\mathbf{B}$ 成立,则取 $\mathbf{B}={\mathbf{E}}_{ji}\left(1\le i,j\le n\right)$ ,可得 $\mathbf{A}$ 的任一元素 $a_{ij}=0$ ,即有 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ , 从而 $g$ 是非退化的.

8. 不妨设 $V$ 是 $n$ 维列向量空间,又设 $\mathbf{C}$ 是 $\phi$ 的表示矩阵,则

$$h\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{By}=g\left(\mathbf{Cx},\mathbf{y}\right)={\left(\mathbf{Cx}\right)}^{\prime }\mathbf{Ay}={\mathbf{x}}^{\prime }{\mathbf{C}}^{\prime }\mathbf{Ay}.$$

因此 $\mathbf{C}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }{\mathbf{B}}^{\prime }$ . 选择 (D).

9. 同阶反对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等, 故应选择 (A).

10. 选定 $U,V$ 的基后, $U\times V\to \mathbb{F}$ 的双线性型组成的线性空间和 $\mathbb{F}$ 上 $m\times n$ 矩阵组成的线性空间同构,因此维数等于 $mn$ . 故选择 (D).

二、填空题

1. $n$ .

2. ${\mathbf{A}}^{\prime }$ .

3. 设 $\mathbf{A}$ 是 $\phi$ 的表示矩阵,由于 $\mathbf{A}$ 和 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 的秩相等, $\mathrm{Im}\phi$ 和 $\mathrm{Im}{\phi }^{\ast }$ 具有相同的维数,因此 $\dim \mathrm{Ker}{\phi }^{\ast }=m-r$ .

4. 设 $\mathbf{P}=\left(p_{ij}\right)$ ,又设从 $\left\{{\mathbf{f}}_1^{\prime },\cdots ,{\mathbf{f}}_n^{\prime }\right\}$ 到 $\left\{{\mathbf{f}}_1,\cdots ,{\mathbf{f}}_n\right\}$ 的过渡矩阵为 $\mathbf{Q}=\left(q_{ij}\right)$ . 于是

$${\mathbf{f}}_j=q_{1j}{\mathbf{f}}_1^{\prime }+\cdots +q_{nj}{\mathbf{f}}_n^{\prime },{\mathbf{e}}_i^{\prime }=p_{1i}{\mathbf{e}}_1+\cdots +p_{ni}{\mathbf{e}}_n,$$

从而 $⟨f_j,e_i^{\prime }⟩=q_{ij}=p_{ji}$ ,即 $\mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{\prime }$ . 于是从 $\left\{f_1,\cdots ,f_n\right\}$ 到 $\left\{f_1^{\prime },\cdots ,f_n^{\prime }\right\}$ 的过渡矩阵是 ${\left({\mathbf{P}}^{\prime }\right)}^{-1}$ .

5. $B=A^{\prime }$ .

6. $g$ 的左根子空间的维数为 $m-r$ ,右根子空间的维数为 $n-r$ .

7. $B^{\prime }A$ .

8. 表示矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right)$ .

9. $g=\frac{1}{2}\left(g+g^{\ast }\right)+\frac{1}{2}\left(g-g^{\ast }\right)$ ,其中 $g^{\ast }\left(\mathbf{x},\mathbf{y}\right)=g\left(\mathbf{y},\mathbf{x}\right)$ .

10. 交错型的表示矩阵为反对称矩阵,因此答案为 $\frac{1}{2}n\left(n-1\right)$