2.1 基本概念

2.1.1 矩阵及其运算

1. 矩阵的定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}\left(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)$ 排成 $m$ 行 $n$ 列的如下矩形阵列:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵,简称 $m\times n$ 矩阵.

2. 矩阵的运算

(1) 矩阵的加法与数乘. 设有两个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right),\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ ,定义 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 仍是一个 $m\times n$ 矩阵,且 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素等于 $a_{ij}+b_{ij}$ ,即 $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)$ . 若 $k$ 是一个数,定义 $k$ 和矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘法也是一个 $m\times n$ 矩阵,且 $k\mathbf{A}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 元素等于 $k{a}_{ij}$ ,即 $k\mathbf{A}=\left(k{a}_{ij}\right)$ .

矩阵的加法和数乘适合的法则 (我们假定下列矩阵都是 $m\times n$ 矩阵):

(i) $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$ ;

(ii) $\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)+\mathbf{C}=\mathbf{A}+\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right)$ ;

(iii) $\mathbf{O}+\mathbf{A}=\mathbf{A}+\mathbf{O}=\mathbf{A}$ (这里 $\mathbf{O}$ 表示 $m\times n$ 零矩阵);

(iv) $\mathbf{A}+\left(-\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ ;

(v) $1\cdot \mathbf{A}=\mathbf{A}$ ;

(vi) $k\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)=k\mathbf{A}+k\mathbf{B}$ ;

(vii) $\left(k+l\right)\mathbf{A}=k\mathbf{A}+l\mathbf{A}$ ;

(viii) $\left(kl\right)\mathbf{A}=k\left(l\mathbf{A}\right)$ .

(2) 矩阵的乘法. 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right),\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ 分别是 $m\times k$ 矩阵和 $k\times n$ 矩阵,定义 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的乘积 $\mathbf{AB}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵,它的第 $\left(i,j\right)$ 元素 $c_{ij}$ 等于:

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ik}{b}_{kj}.$$

矩阵乘法适合的法则:

(i) $\left(\mathbf{AB}\right)\mathbf{C}=\mathbf{A}\left(\mathbf{BC}\right)$ ;

(ii) $\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\mathbf{C}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC},\mathbf{C}\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)=\mathbf{CA}+\mathbf{CB}$ ;

(iii) $k\left(\mathbf{AB}\right)=\left(k\mathbf{A}\right)\mathbf{B}=\mathbf{A}\left(k\mathbf{B}\right)$ .

(3) 方阵的幂. 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶方阵,定义 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 次幂为 $k$ 个 $\mathbf{A}$ 的乘积, 即 ${\mathbf{A}}^k=\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}\cdots \mathbf{A}\left(k\text{个}\mathbf{A}\right)$ .

方阵幂适合的法则:

(i) ${\mathbf{A}}^r{\mathbf{A}}^s={\mathbf{A}}^{r+s}$ ;

(ii) ${\left({\mathbf{A}}^r\right)}^s={\mathbf{A}}^{rs}$ .

(4) 矩阵的转置. 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $m\times n$ 矩阵,定义 $\mathbf{A}$ 的转置 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ (或写为 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})$ 为一个 $n\times m$ 矩阵,它的第 $j$ 行 $\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 正好是 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 列.

矩阵转置适合下列运算法则:

(i) ${\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)}^{\prime }=\mathbf{A}$ ;

(ii) ${\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)}^{\prime }={\mathbf{A}}^{\prime }+{\mathbf{B}}^{\prime }$ ;

(iii) ${\left(k\mathbf{A}\right)}^{\prime }=k{\mathbf{A}}^{\prime }$ ;

(iv) ${\left(\mathbf{AB}\right)}^{\prime }={\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }$ .

(5) 矩阵的共轭. 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $m\times n$ 复数矩阵,定义 $\mathbf{A}$ 的共轭为一个 $m\times n$ 矩阵 $\overline{\mathbf{A}}=\left({\bar{a}}_{ij}\right)$ .

矩阵共轭适合下列运算法则:

(i) $\overline{\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)}=\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}}$

(ii) $\overline{\left(k\mathbf{A}\right)}=\bar{k}\overline{\mathbf{A}}$ ;

(iii) $\overline{\left(\mathbf{AB}\right)}=\overline{\mathbf{AB}}$ ;

(iv) $\overline{\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)}={\left(\overline{\mathbf{A}}\right)}^{\prime }$ .

3. 方阵乘积的行列式

定理 两个同阶方阵积的行列式等于行列式的积,即有 $\left|\mathbf{AB}\right|=\left|\mathbf{A}\right|\left|\mathbf{B}\right|$ .

2.1.2 逆矩阵

1. 逆矩阵的概念

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵,如果存在 $n$ 阶方阵 $\mathbf{B}$ 使 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}={\mathbf{I}}_n$ (其中 ${\mathbf{I}}_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵),则称 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵,称 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵,记 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}$ . 可逆矩阵也称非奇异矩阵或简称为非异阵. 并不是任意一个非零的 $n$ 阶方阵都是可逆矩阵,不是可逆矩阵的方阵称为奇异矩阵, 简称奇异阵.

求逆运算适合下列法则 (下列矩阵均假定是可逆阵):

(i) ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$ ;

(ii) ${\left(\mathbf{AB}\right)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ ;

(iii) ${\left(k\mathbf{A}\right)}^{-1}=k^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ ( $k$ 是非零常数);

(iv) ${\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)}^{-1}={\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }$ .

2. 可逆矩阵和奇异阵的性质

性质 1 可逆矩阵之积必是可逆矩阵.

性质 2 任意一个方阵和同阶奇异阵之积必是奇异阵.

3. 伴随矩阵

设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $n$ 阶方阵,行列式 $\left|\mathbf{A}\right|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式记为 $A_{ij}$ , 称下列矩阵为 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵,记为 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ :

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$

伴随矩阵具有重要性质:

$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{I}}_n$$

4. 定理

设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶方阵,则 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的行列式 $\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ ,

这时

$$A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{A}^{\ast }$$

2.1.3 矩阵的初等变换与初等矩阵

1. 初等变换

下列 3 种矩阵变换分别称为矩阵的第一、第二、第三类初等行 (列) 变换:

(1) 对调矩阵中某两行 (列) 的位置;

(2) 用一非零常数乘以矩阵的某一行 (列);

(3) 将矩阵的某一行 (列) 乘以常数 $k$ 后加到另一行 (列) 上去.

2. 定理

任一 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 总可经过有限次初等变换化为下列形式的 $m\times n$ 矩阵:

$$\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$$

这是一个分块矩阵, ${\mathbf{I}}_r$ 表示 $r$ 阶单位矩阵, $\mathbf{O}$ 表示零矩阵.

3. 初等矩阵

设 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵,对调 $I_n$ 的两行,比如第 $i$ 行及第 $j$ 行,便得到一个第一类初等矩阵 ${\mathbf{P}}_{ij}$ ; 用非零常数 $k$ 乘以 ${\mathbf{I}}_n$ 的第 $i$ 行得到第二类初等矩阵 ${\mathbf{P}}_i\left(k\right)$ ; 将 ${\mathbf{I}}_n$ 的第 $i$ 行乘以常数 $k$ 后加到第 $j$ 行上去得到的是第三类初等矩阵 ${\mathbf{T}}_{ij}\left(k\right)$ .

三类初等矩阵都是可逆矩阵, 即非异阵.

三类初等矩阵的行列式的值如下: $\left|{\mathbf{P}}_{ij}\right|=-1,\left|{\mathbf{P}}_i\left(k\right)\right|=k,\left|{\mathbf{T}}_{ij}\left(k\right)\right|=1$ .

4. 定理

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵,则对 $\mathbf{A}$ 作一次初等行变换后得到的矩阵等于用一个 $m$ 阶相应的初等矩阵左乘 $\mathbf{A}$ 所得的积,矩阵 $\mathbf{A}$ 作一次初等列变换后得到的矩阵等于用一个 $n$ 阶相应的初等矩阵右乘以 $\mathbf{A}$ 后所得的积.

5. 矩阵的等价

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经过若干次初等变换后变成矩阵 $\mathbf{B}$ ,则称矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 等价.

等价的矩阵必同阶 (行列数分别相等) 且具有相同的秩.

6. 与初等变换、矩阵奇异性相关的几个命题

定理 1 一个奇异阵经过初等变换后仍是奇异阵; 一个可逆矩阵经过初等变换后仍是可逆矩阵.

定理 2 以下是矩阵可逆的等价命题:

(1) $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的行列式 $\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ ;

(2) $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充要条件是 $\mathbf{A}$ 等价于 $n$ 阶单位矩阵;

(3) $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充要条件是 $\mathbf{A}$ 可以表示为有限个初等矩阵的积;

(4) $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个行向量 (或列向量) 线性无关.

7. 用初等变换法求逆矩阵

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶非异阵,作 $n\times 2n$ 阶矩阵 $\left(\mathbf{A},{\mathbf{I}}_n\right)$ ,对这个矩阵作初等行变换,将 $\mathbf{A}$ 变成单位矩阵 ${\mathbf{I}}_n$ ,这时右边一块就变成了 ${\mathbf{A}}^{-1}$ .

2.1.4 分块矩阵

1. 分块阵的概念

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵,若用若干条横线将它分成 $r$ 块,再用若干条纵线将它分成 $s$ 块,我们得到了一个有 $rs$ 块的分块矩阵,可记为

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1s}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & {\mathbf{A}}_{2s}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{r1}& {\mathbf{A}}_{r2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{rs}\end{array}\right)$$

这里 ${\mathbf{A}}_{ij}$ 表示一个矩阵,而不是一个数. ${\mathbf{A}}_{ij}$ 通常称为 $\mathbf{A}$ 的第 $\left(i,j\right)$ 块.

2. 分块矩阵的运算

分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵完全一样, 我们在这里不再赘述. 最重要的分块矩阵是下面的分块对角阵.

3. 分块对角阵

分块对角阵经常要用到的运算是:

(1) 乘法. 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是分块对角阵且符合相乘条件,则 $\mathbf{AB}$ 也是分块对角阵,即有

$$\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{B}_1& & & \\ & B_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & B_s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1{B}_1& & & \\ & A_2{B}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s{B}_s\end{array}\right).$$

(2) 乘方.

$${\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_s\end{array}\right)}^k=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1^k& & & \\ & {\mathbf{A}}_2^k& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_s^k\end{array}\right).$$

(3) 求逆. 若 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots ,{\mathbf{A}}_s$ 是可逆矩阵,则

$${\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_s\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1^{-1}& & & \\ & {\mathbf{A}}_2^{-1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_s^{-1}\end{array}\right).$$

4. 分块初等变换

所谓分块初等变换和普通的初等变换类似, 包含 3 类:

第一类: 对调分块矩阵的两 (块) 行或两 (块) 列;

第二类: 以某个可逆矩阵左乘以分块矩阵的某一 (块) 行, 或右乘以某一 (块) 列;

第三类: 以某个矩阵左乘以分块矩阵的某一 (块) 行后加到另一 (块) 行上去, 或以某个矩阵右乘以分块矩阵的某一 (块) 列后加到另一 (块) 列上去.

我们假定上面所提到的运算都是可以进行的.

5. 分块初等矩阵

和普通矩阵一样,我们也有分块初等矩阵的概念. 记 $\mathbf{I}=\mathrm{diag}\left\{{\mathbf{I}}_{m_1},{\mathbf{I}}_{m_2},\cdots ,{\mathbf{I}}_{m_k}\right\}$ 是分块单位矩阵, 定义下列 3 种矩阵为 3 类分块初等矩阵:

第一类: 对调 $\mathbf{I}$ 的第 $i$ 块行 (列) 与第 $j$ 块行 (列) 得到的矩阵;

第二类: 以可逆矩阵 $\mathbf{C}$ 左 (右) 乘以 $\mathbf{I}$ 的第 $i$ 块行 (列) 得到的矩阵;

第三类: 以矩阵 $\mathbf{B}$ 左 (右) 乘以 $\mathbf{I}$ 的第 $i$ 块行 (列) 后加到第 $j$ 块行 (列) 上得到的矩阵.

分块初等矩阵是可逆矩阵, 其中第三类分块初等矩阵的行列式的值等于 1 .

6. 定理

矩阵的分块初等行 (列) 变换相当于用同类分块初等矩阵左 (右) 乘以被变换的矩阵. 特别地, 进行第三类分块初等变换不改变矩阵的行列式值; 进行分块初等变换不改变矩阵的秩 (秩的概念将在下一章介绍).

2.1.5 Cauchy-Binet 公式

Cauchy-Binet 公式可以看成是矩阵乘法的行列式定理的推广. 它是矩阵理论中的一个重要定理, 有许多重要的应用. 这个定理及其推论的证明请参考教材 [1] 的 $\S 2.7$ .

1. 定理 (Cauchy-Binet 公式)

设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ 是 $n\times m$ 矩阵. $\mathbf{A}\left(\begin{array}{ccc}{i}_1& \cdots & i_s\\ j_1& \cdots & j_s\end{array}\right)$ 表示 $\mathbf{A}$ 的一个 $s$ 阶子式,它由 $\mathbf{A}$ 的第 $i_1,\cdots ,i_s$ 行与第 $j_1,\cdots ,j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式. 同理定义 $\mathbf{B}$ 的 $s$ 阶子式.

(1) 若 $m>n$ ,则有 $\left|\mathbf{AB}\right|=0$ ;

(2) 若 $m\le n$ ,则有

$$\left|\mathbf{AB}\right|=\sum _{1\le j_1<j_2<\cdots <j_m\le n}\mathbf{A}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & m\\ j_1& j_2& \cdots & j_m\end{array}\right)\mathbf{B}\left(\begin{array}{cccc}{j}_1& j_2& \cdots & j_m\\ 1& 2& \cdots & m\end{array}\right).$$

2. 推论

设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)$ 是 $n\times m$ 矩阵, $r$ 是一个正整数且 $r\le m$ .

(1) 若 $r>n$ ,则 $\mathbf{AB}$ 的任意一个 $r$ 阶子式等于零;

(2) 若 $r\le n$ ,则 $\mathbf{AB}$ 的 $r$ 阶子式

$$\mathbf{AB}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ j_1& j_2& \cdots & j_r\end{array}\right)=\sum _{1\le k_1<k_2<\cdots <k_r\le n}\mathbf{A}\left(\begin{array}{cccc}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ k_1& k_2& \cdots & k_r\end{array}\right)\mathbf{B}\left(\begin{array}{cccc}{k}_1& k_2& \cdots & k_r\\ j_1& j_2& \cdots & j_r\end{array}\right).$$