2.2.1 标准单位向量与基础矩阵

2.2.1 标准单位向量与基础矩阵

$n$ 维标准单位列向量是指下列 $n$ 个 $n$ 维列向量:

$${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,{\mathbf{e}}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

向量组 ${\mathbf{e}}_1^{\prime },{\mathbf{e}}_2^{\prime },\cdots ,{\mathbf{e}}_n^{\prime }$ 则被称为 $n$ 维标准单位行向量. 标准单位向量有下列基本性质 (验证很容易, 请读者自己完成):

(1) 若 $i\ne j$ ,则 ${\mathbf{e}}_i^{\prime }{\mathbf{e}}_j=0$ ,而 ${\mathbf{e}}_i^{\prime }{\mathbf{e}}_i=1$ ;

(2) 若 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $m\times n$ 矩阵,则 $\mathbf{A}{\mathbf{e}}_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 个列向量; ${\mathbf{e}}_i^{\prime }\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 个行向量;

(3) 若 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $m\times n$ 矩阵,则 ${\mathbf{e}}_i^{\prime }\mathbf{A}{\mathbf{e}}_j=a_{ij}$ .

$n$ 阶基础矩阵 (又称初级矩阵) 是指 $n^2$ 个 $n$ 阶矩阵 $\left\{{\mathbf{E}}_{ij}\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)\right\}$ . 这里 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 是一个 $n$ 阶矩阵,它的第 $\left(i,j\right)$ 元素等于 1,其他元素全为 0 . 基础矩阵也可以看成是标准单位向量的积:

$${\mathbf{E}}_{ij}={\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j^{\prime }$$

由此我们不难证明基础矩阵的下列性质:

(1) 若 $j\ne k$ ,则 ${\mathbf{E}}_{ij}{\mathbf{E}}_{kl}=\mathbf{O}$ ;

(2) 若 $j=k$ ,则 ${\mathbf{E}}_{ij}{\mathbf{E}}_{kl}={\mathbf{E}}_{il}$ ;

(3) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵且 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则

$$\mathbf{A}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\mathbf{E}}_{ij}$$

(4) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵且 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则 ${\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}$ 将 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行变为第 $i$ 行,将其他元素全变为 0 ;

(5) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵且 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则 $\mathbf{A}{\mathbf{E}}_{ij}$ 将 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列变为第 $j$ 列,将其他元素全变为 0 ;

(6) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵且 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则 ${\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}{\mathbf{E}}_{kl}=a_{jk}{\mathbf{E}}_{il}$ .

上面的结论虽然很简单, 但是如能灵活应用就可以得到出乎意外的结果. 我们在今后将经常应用这一方法. 因此请读者熟记这些结论.

例 2.1 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ 1& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$$

求证:

$${\mathbf{A}}^k=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{I}}_{n-k}\\ {\mathbf{I}}_k& \mathbf{O}\end{array}\right)\left(k=1,2,\cdots ,n\right).$$

证明 将 $\mathbf{A}$ 写为 $\mathbf{A}=\left({\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_{n-1}\right)$ ,其中 ${\mathbf{e}}_i$ 是单位列向量. 由分块矩阵乘法并注意 $A{\mathbf{e}}_i$ 就是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列,因此

$${\mathbf{A}}^2=\left(\mathbf{A}{\mathbf{e}}_n,\mathbf{A}{\mathbf{e}}_1,\mathbf{A}{\mathbf{e}}_2,\cdots ,\mathbf{A}{\mathbf{e}}_{n-1}\right)=\left({\mathbf{e}}_{n-1},{\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_{n-2}\right).$$

不断这样做下去就可得到结论.

例 2.2 求证: $n$ 阶对称矩阵 $\mathbf{A}$ 是零矩阵的充要条件是对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ , 有

$${\alpha }^{\prime }A\alpha =0.$$

证明 只要证明充分性. 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,令 $\alpha ={\mathbf{e}}_i$ 是第 $i$ 个标准单位向量. 因为 ${\mathbf{e}}_i^{\prime }\mathbf{A}{\mathbf{e}}_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的第 $\left(i,i\right)$ 元素,故 $a_{ii}=0$ . 又令 $\alpha ={\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j\left(i\ne j\right)$ ,则

$$0={\left({\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j\right)}^{\prime }\mathbf{A}\left({\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j\right)=a_{ii}+a_{jj}+a_{ij}+a_{ji}.$$

上面已经证明 $a_{ii}=a_{jj}=0$ ,而 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵,有 $a_{ij}=a_{ji}$ ,故 $a_{ij}=0$ . 这就证明了 $A=O$ .

应用上题结论, 我们可以证明一个有关反对称矩阵的基本结论.

例 2.3 求证: $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 是反对称矩阵的充要条件是对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ , 有

$${\alpha }^{\prime }A\alpha =0.$$

证明 若 $\mathbf{A}$ 是反对称矩阵,则对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ ,有 ${\left({\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha \right)}^{\prime }=-{\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha$ . 而 ${\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha$ 是数,因此 ${\left({\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha \right)}^{\prime }={\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha$ . 比较上面两个式子便有 ${\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha =0$ . 反之, 若上式对任意的 $n$ 维列向量 $\alpha$ 成立,则 ${\alpha }^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }\alpha =0$ ,故 ${\alpha }^{\prime }\left(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }\right)\alpha =0$ . 因为矩阵 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }$ 总是对称矩阵,由上题得 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{O}$ ,即 ${\mathbf{A}}^{\prime }=-\mathbf{A},\mathbf{A}$ 是反对称矩阵.

例 2.4 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶上三角矩阵且主对角线上元素全为零,求证: ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ .

证明 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,当 $i\ge j$ 时, $a_{ij}=0$ . 将 $\mathbf{A}$ 表示为基础矩阵 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 之和:

$$\mathbf{A}=\sum _{i<j}{a}_{ij}{\mathbf{E}}_{ij}$$

因为当 $j\ne k$ 时, ${\mathbf{E}}_{ij}{\mathbf{E}}_{kl}=\mathbf{O}$ ,故在 ${\mathbf{A}}^n$ 的乘法展开式中,可能的非零项只能是具有形状 ${\mathbf{E}}_{i{j}_1}{\mathbf{E}}_{j_1{j}_2}{\mathbf{E}}_{j_2{j}_3}\cdots {\mathbf{E}}_{j_{n-1}{j}_n}$ ,但足标必须满足条件 $1\le i<j_1<j_2<j_3<\cdots <$ $j_n\le n$ . 显然这样的项也不存在,因此 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ .