2.2.11 矩阵的 Kronecker 积

* 2.2.11 矩阵的 Kronecker 积

设 $A = (a_{ij})$ 和 $B = (b_{ij})$ 分别是 $m \times n$ 阶和 $k \times l$ 阶矩阵,定义它们的 Kronecker 积 $A \otimes B$ 为一个 $mk \times n l$ 阶矩阵:

A \otimes B = a_{11} B a_{21} B ⋮ a_{m 1} B a_{12} B a_{22} B ⋮ a_{m 2} B \dots \dots \dots a_{1 n} B a_{2 n} B ⋮ a_{mn} B .

注上述矩阵的 Kronecker 积是最常用的定义, 我们在此不涉及 Kronecker 积的一般定义. 事实上, 无论是哪种定义, 其基本性质都是一样的.

例 2.72 证明矩阵的 Kronecker 积满足下列性质 (假设以下的矩阵加法和乘法都有意义):

(1) $(A + B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C$ ;

(2) $A \otimes (B + C) = A \otimes B + A \otimes C$ ;

(3) $(k A) \otimes B = k (A \otimes B) = A \otimes (k B)$ ;

(4) $I_{m} \otimes I_{n} = I_{mn}$

(5) $(AB) \otimes (CD) = (A \otimes C) (B \otimes D)$ ;

(6) $(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)$ ;

(7) 若 $A, B$ 都是可逆矩阵,则 $A \otimes B$ 也是可逆矩阵,并且

(A \otimes B)^{- 1} = A^{- 1} \otimes B^{- 1}

(8) 若 $A$ 是 $m$ 阶矩阵, $B$ 是 $n$ 阶矩阵,则 $∣ A \otimes B ∣ = ∣ A ∣^{n} ∣ B ∣^{m}$ .

证明 $(1) \sim (4)$ 根据定义经简单计算即可验证.

(5) 设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times p$ 阶矩阵, $B = (b_{ij})$ 是 $p \times n$ 阶矩阵, $C = (c_{ij})$ 是 $k \times q$ 阶矩阵, $D = (d_{ij})$ 是 $q \times l$ 阶矩阵. 由定义,有

(A \otimes C) (B \otimes D) = a_{11} C a_{21} C ⋮ a_{m 1} C a_{12} C a_{22} C ⋮ a_{m 2} C \dots \dots \dots a_{1 p} C a_{2 p} C ⋮ a_{m p} C b_{11} D b_{21} D ⋮ b_{p 1} D b_{12} D b_{22} D ⋮ b_{p 2} D \dots \dots \dots b_{1 n} D b_{2 n} D ⋮ b_{p n} D

= j = 1 \sum p a_{1 j} b_{j 1} C D j = 1 \sum p a_{2 j} b_{j 1} C D ⋮ j = 1 \sum p a_{mj} b_{j 1} C D j = 1 \sum p a_{1 j} b_{j 2} C D j = 1 \sum p a_{2 j} b_{j 2} C D ⋮ j = 1 \sum p a_{mj} b_{j 2} C D \dots \dots \dots j = 1 \sum p a_{1 j} b_{jn} C D j = 1 \sum p a_{2 j} b_{jn} C D ⋮ j = 1 \sum p a_{mj} b_{jn} C D

= A B \otimes C D .

(6) 设 $A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$ 和 $C = (c_{ij})$ 分别是 $m \times n$ 阶, $k \times l$ 阶和 $p \times q$ 阶矩阵. 则经计算即可发现 $(A \otimes B) \otimes C$ 和 $A \otimes (B \otimes C)$ 都等于下面的 $mk p \times n lq$ 阶矩阵:

a_{11} b_{11} C ⋮ a_{11} b_{k 1} C ⋮ a_{m 1} b_{11} C ⋮ a_{m 1} b_{k 1} C \dots \dots \dots \dots a_{11} b_{1 l} C ⋮ a_{11} b_{k l} C ⋮ a_{m 1} b_{1 l} C ⋮ a_{m 1} b_{k l} C \dots \dots \dots \dots a_{1 n} b_{11} C ⋮ a_{1 n} b_{k 1} C ⋮ a_{mn} b_{11} C ⋮ a_{mn} b_{k 1} C \dots \dots \dots \dots a_{1 n} b_{1 l} C ⋮ a_{1 n} b_{k l} C ⋮ a_{mn} b_{1 l} C ⋮ a_{mn} b_{k l} C .

(7) 由上面的性质, 有

(A \otimes B) (A^{- 1} \otimes B^{- 1}) = A A^{- 1} \otimes B B^{- 1} = I_{m} \otimes I_{n} = I_{mn} .

(8) 由 Laplace 定理容易证明:

∣ A \otimes I_{n} ∣ = ∣ A ∣^{n}, ∣ I_{m} \otimes B ∣ = ∣ B ∣^{m}

再由 (5) 及矩阵乘法的行列式等于行列式的乘法可得

∣ A \otimes B ∣ = ∣ (A \otimes I_{n}) (I_{m} \otimes B) ∣ = ∣ A \otimes I_{n} ∣ ∣ I_{m} \otimes B ∣ = ∣ A ∣^{n} ∣ B ∣^{m} .

Youliang Zhong

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