2.2.2 矩阵及其运算

2.2.2 矩阵及其运算

例 2.5 若 $A,B$ 都是由非负实数组成的矩阵且 $AB$ 有一行等于零,求证: 或者 $\mathbf{A}$ 有一行为零,或者 $\mathbf{B}$ 有一行为零.

证明 设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n},\mathbf{B}={\left(b_{ij}\right)}_{n\times s}$ . 假定 $\mathbf{C}=\mathbf{AB},\mathbf{C}={\left(c_{ij}\right)}_{m\times s}$ 的第 $i$ 行为零,则对任意的 $j,c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}=0$ . 已知 $a_{ij}\ge 0,b_{ij}\ge 0$ . 若 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行元素不全为零,不妨设 $a_{ik}\ne 0$ ,而 $a_{il}=0,l=1,\cdots ,k-1$ ,则 $b_{kj}=0$ 对一切 $j$ 成立,这就是说 $\mathbf{B}$ 的第 $k$ 行为零.

例 2.6 求证:

(1) 上 (下) 三角矩阵的逆矩阵也是上 (下) 三角矩阵;

(2) 对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵;

(3) 反对称矩阵的逆阵也是反对称矩阵.

证明 (1) 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是上三角矩阵,若 $i<j$ ,则元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 等于零. 因此 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(A_{ji}\right)$ 是上三角矩阵,故 ${\mathbf{A}}^{-1}={\left|\mathbf{A}\right|}^{-1}{\mathbf{A}}^{\ast }$ 也是上三角矩阵. 同样的结论适合于下三角矩阵.

(2) 由 ${\left(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }={\mathbf{I}}_n$ 得 ${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }={\mathbf{I}}_n$ . 但 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵,因此 ${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$ , 即 ${\left({\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{\prime }={\mathbf{A}}^{-1}$ ,也就是说 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 是对称矩阵.

(3) 类似 (2) 可证明.

例 2.7 求证:

(1) 实矩阵 $\mathbf{A}$ 适合条件 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{O}$ 的充要条件是 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ ;

(2) 复矩阵 $\mathbf{A}$ 适合条件 $\mathbf{A}{\overline{\mathbf{A}}}^{\prime }=\mathbf{O}$ 的充要条件是 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ .

证明 设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$ ,则 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }$ 的第 $\left(i,i\right)$ 元素等于零,即

$$a_{i1}^2+a_{i2}^2+\cdots +a_{in}^2=0.$$

因为 $a_{ij}$ 都是实数,必有 $a_{ij}=0$ .

(2) 同理可证明.

例 2.8 求证: 任一 $n$ 阶矩阵均可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

证明 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,则 $\left(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }\right)$ 是对称矩阵, $\left(\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^{\prime }\right)$ 是反对称矩阵. 而

$$\mathbf{A}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^{\prime }\right).$$

例 2.9 求证: 和所有 $n$ 阶矩阵乘法可交换的矩阵必是数量矩阵 $k{\mathbf{I}}_n$ .

证明 令 ${\mathbf{E}}_{ij}\left(i\ne j,i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,n\right)$ 是基础矩阵. 若 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 和 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 可交换,即 ${\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{E}}_{ij}$ . 注意到 ${\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{A}$ 是将 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行元素变为第 $i$ 行而其他元素都是零的 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{A}{\mathbf{E}}_{ij}$ 是将 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列元素变为第 $j$ 列而其他元素都是零的 $n$ 阶矩阵,它们相等导致 $a_{ji}=0\left(i\ne j\right),a_{ii}=a_{jj}$ ,因此 $\mathbf{A}$ 是数量矩阵.

例 2.10 计算下列矩阵的 $k$ 次幂,其中 $k$ 为正整数:

(1) $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& a& 0\\ 0& 1& a\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ ; (2) $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 4& 8\\ 3& 6& 12\end{array}\right)$ .

解 (1) 设 $\mathbf{J}=\left(\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ ,则 $\mathbf{A}={\mathbf{I}}_3+a\mathbf{J}$ . 注意到 ${\mathbf{I}}_3$ 和 $a\mathbf{J}$ 乘法可交换,并且 ${\mathbf{J}}^3=\mathbf{O}$ ,因此我们可用二项式定理来求 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 次幂:

$${\mathbf{A}}^k={\left({\mathbf{I}}_3+a\mathbf{J}\right)}^k={\mathbf{I}}_3^k+{\mathrm{C}}_k^1{\mathbf{I}}_3^{k-1}\left(a\mathbf{J}\right)+{\mathrm{C}}_k^2{\mathbf{I}}_3^{k-2}{\left(a\mathbf{J}\right)}^2$$ $$={\mathbf{I}}_3+{\mathrm{C}}_k^{1}a\mathbf{J}+{\mathrm{C}}_k^2{a}^2{\mathbf{J}}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& ka& {\mathrm{C}}_k^2{a}^2\\ 0& 1& ka\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

(2) 注意到 $\mathbf{A}$ 的列向量成比例,故可设 $\alpha =\left(1,2,3\right),\beta =\left(1,2,4\right)$ ,则 $\mathbf{A}={\alpha }^{\prime }\beta$ . 由矩阵乘法的结合律并注意到 $\beta {\alpha }^{\prime }=17$ ,可得

$${\mathbf{A}}^k=\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)\cdots \left({\alpha }^{\prime }\beta \right)={\alpha }^{\prime }\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\cdots \left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\beta$$ $$={\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)}^{k-1}{\alpha }^{\prime }\beta ={17}^{k-1}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}{17}^{k-1}& 2\cdot {17}^{k-1}& 4\cdot {17}^{k-1}\\ 2\cdot {17}^{k-1}& 4\cdot {17}^{k-1}& 8\cdot {17}^{k-1}\\ 3\cdot {17}^{k-1}& 6\cdot {17}^{k-1}& 12\cdot {17}^{k-1}\end{array}\right).$$

例 2.11 设 $\mathbf{A}$ 是二阶矩阵,若有 $n>2$ ,使 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ ,求证: ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{O}$ .

证明 由 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ 可得 $0=\left|{\mathbf{A}}^n\right|={\left|\mathbf{A}\right|}^n$ ,从而 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ . 因为 $\mathbf{A}$ 是二阶矩阵,由 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ 容易验证 $\mathbf{A}$ 的两个列向量成比例,于是存在二维行向量 $\alpha ,\beta$ ,使得 $\mathbf{A}={\alpha }^{\prime }\beta$ . 注意到 $\beta {\alpha }^{\prime }$ 是一个数,由矩阵乘法的结合律可得

$$\mathbf{O}={\mathbf{A}}^n=\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)\cdots \left({\alpha }^{\prime }\beta \right)={\alpha }^{\prime }\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\cdots \left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\beta$$ $$={\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)}^{n-1}{\alpha }^{\prime }\beta ={\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)}^{n-1}\mathbf{A}.$$

因此或者 $\beta {\alpha }^{\prime }=0$ ,或者 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ ,但无论哪种情况,我们最后都有

$${\mathbf{A}}^2=\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)\left({\alpha }^{\prime }\beta \right)={\alpha }^{\prime }\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\beta =\left(\beta {\alpha }^{\prime }\right)\mathbf{A}=\mathbf{O}.$$

例 2.12 下列形状的矩阵称为循环矩阵:

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_n& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)$$

求证: 同阶循环矩阵之积仍是循环矩阵.

证明 设

$$\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{I}}_{n-1}\\ 1& \mathbf{O}\end{array}\right)$$

则 $J$ 也是循环矩阵. 若有同上的循环矩阵 $\mathbf{A}$ ,则 $\mathbf{A}$ 可表示为 (参见例 2.1):

$$\mathbf{A}=a_1{\mathbf{I}}_n+a_2\mathbf{J}+a_3{\mathbf{J}}^2+\cdots +a_n{\mathbf{J}}^{n-1}.$$

反之,若一个矩阵能表示为 $\mathbf{J}$ 的上述多项式形状,则它必是循环矩阵. 两个循环矩阵之积可写为 $\mathbf{J}$ 的两个多项式之积,注意到 ${\mathbf{J}}^n={\mathbf{I}}_n$ ,即可得到结论.