2.2.3 可逆矩阵

判断一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 是否可逆通常采用下面 3 种方法:

(1) 找一个同阶矩阵 $\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}={\mathbf{I}}_n$ (或 $\mathbf{BA}={\mathbf{I}}_n$ );

(2) 找一个同阶矩阵 $\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}$ 或 $\mathbf{BA}$ 是可逆矩阵;

(3) 若 $\left|\mathbf{A}\right|=0$ ,则 $\mathbf{A}$ 不是可逆阵,反之 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵.

下面是几个典型的例子.

例 2.13 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 适合等式 ${\mathbf{A}}^2-3\mathbf{A}+2{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O}$ ,求证: $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n$ 都是可逆矩阵,而若 $\mathbf{A}\ne {\mathbf{I}}_n$ ,则 $\mathbf{A}-2{\mathbf{I}}_n$ 必不是可逆矩阵.

证明 由已知得 $\mathbf{A}\left(\mathbf{A}-3{\mathbf{I}}_n\right)=-2{\mathbf{I}}_n$ ,因此 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵. 又 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}-4\mathbf{A}-$ $4{\mathbf{I}}_n+6{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O}$ ,于是 $\left(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n\right)\left(\mathbf{A}-4{\mathbf{I}}_n\right)=-6{\mathbf{I}}_n$ ,故 $\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n$ 也是可逆矩阵.

另一方面,由已知等式可得 $\left(\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n\right)\left(\mathbf{A}-2{\mathbf{I}}_n\right)=\mathbf{O}$ ,如果 $\mathbf{A}-2{\mathbf{I}}_n$ 可逆, 则 $\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O},\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$ 和假定不合,因此 $\mathbf{A}-2{\mathbf{I}}_n$ 不是可逆矩阵.

例 2.14 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足 $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{AB}$ ,求证: ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是可逆矩阵且 $AB=BA$ .

证明 因为

$$\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\right)={\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{AB}={\mathbf{I}}_n,$$

所以 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是可逆阵. 另一方面,由上式可得 ${\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)}^{-1}=\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\right)$ ,故

$${\mathbf{I}}_n=\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\right)\left({\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)={\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}-\mathbf{A}+\mathbf{BA},$$

从而 $\mathbf{BA}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{AB}$ .

例 2.15 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶矩阵, ${\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}$ 可逆,求证: ${\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}$ 也可逆.

证明 注意到 $\mathbf{A}\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right)=\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}\right)\mathbf{A}$ ,因此 $\mathbf{B}{\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}\right)}^{-1}\mathbf{A}\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right)=$ $BA$ . 于是

$${\mathbf{I}}_n={\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}-\mathbf{BA}=\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right)-\mathbf{B}{\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}\right)}^{-1}\mathbf{A}\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right)$$ $$=\left[{\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}{\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}\right)}^{-1}\mathbf{A}\right]\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right).$$

这表明 ${\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{BA}\right)}^{-1}={\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}{\left({\mathbf{I}}_n+\mathbf{AB}\right)}^{-1}\mathbf{A}$ .

例 2.16 设 $\mathbf{A}$ 是奇数阶矩阵, $\left|\mathbf{A}\right|>0$ ,又 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }={\mathbf{I}}_n$ ,证明 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是奇异阵.

证明 首先因为 $\left|\mathbf{A}\right|>0,\left|\mathbf{A}\right|\left|{\mathbf{A}}^{\prime }\right|={\left|\mathbf{A}\right|}^2=1$ ,故 $\left|\mathbf{A}\right|=1$ . 又从已知条件知 ${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{\prime }$ ,因此

$$\left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=\left|\mathbf{A}\right|\left|{\mathbf{A}}^{-1}-{\mathbf{I}}_n\right|=\left|\mathbf{A}\right|\left|{\mathbf{A}}^{\prime }-{\mathbf{I}}_n\right|=\left|{\left(\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{\prime }\right|=\left|\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n\right|.$$

但 $\left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|={\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n\right|$ ,而 $n$ 是奇数,故 $\left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=-\left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|$ ,即有 $\left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=0$ . 这就证明了 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 是奇异阵. $⊏$

例 2.17 若 ${\mathbf{A}}^2={\mathbf{B}}^2=\mathbf{I}$ ,且 $\left|\mathbf{A}\right|+\left|\mathbf{B}\right|=0$ ,求证: $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 必是奇异矩阵.

证明 由已知 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是可逆矩阵且 $\left|\mathbf{B}\right|=-\left|\mathbf{A}\right|$ ,因此

$$\left|A\right|\left|A+B\right|=\left|A^2+AB\right|=\left|B^2+AB\right|=\left|B+A\right|\left|B\right|=-\left|A\right|\left|A+B\right|,$$

于是 $\left|\mathbf{A}\right|\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|=0$ . 因为 $\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ ,故 $\left|\mathbf{A}+\mathbf{B}\right|=0$ ,即 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 是奇异阵. [

例 2.18 设 $A,B,AB-I_n$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵,证明: $A-B^{-1}$ 与 $(A-$ ${{\mathbf{B}}^{-1})}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}$ 均可逆,并求它们的逆矩阵.

证明 注意到 $\mathbf{A}-{\mathbf{B}}^{-1}=\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right){\mathbf{B}}^{-1}$ ,故 $\mathbf{A}-{\mathbf{B}}^{-1}$ 是可逆矩阵,并且 $(\mathbf{A}-$ ${{\mathbf{B}}^{-1})}^{-1}=\mathbf{B}{\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{-1}$ . 注意到如下变形:

$${\left(\mathbf{A}-{\mathbf{B}}^{-1}\right)}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}$$ $$=\mathbf{B}{\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\left(\mathbf{AB}{\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{-1}-{\mathbf{I}}_n\right)$$ $$={\mathbf{A}}^{-1}\left(\mathbf{AB}-\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)\right){\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}{\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)}^{-1},$$

故 ${\left(\mathbf{A}-{\mathbf{B}}^{-1}\right)}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}$ 可逆,并且 ${\left({\left(\mathbf{A}-{\mathbf{B}}^{-1}\right)}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{-1}=\left(\mathbf{AB}-{\mathbf{I}}_n\right)\mathbf{A}$ .

例 2.19 设 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{A}-\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵,证明:

$${\mathbf{B}}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}={\left(\mathbf{B}+\mathbf{B}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\mathbf{B}\right)}^{-1}.$$

证明 只需直接验证即可:

$$\left(\mathbf{B}+\mathbf{B}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\mathbf{B}\right)\left({\mathbf{B}}^{-1}-{\mathbf{A}}^{-1}\right)$$ $$={\mathbf{I}}_n+\mathbf{B}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}-\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}-\mathbf{B}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}$$ $$=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{B}\right){\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}-\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{B}\right){\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}$$ $$=\mathbf{A}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}-\mathbf{A}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}$$ $$=\mathbf{A}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)}^{-1}\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right){\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{I}}_n.$$

例 2.20 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆阵, $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维列向量,且 $1+{\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha \ne 0$ . 求证:

$${\left(\mathbf{A}+\alpha {\beta }^{\prime }\right)}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}-\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}.$$

证明 只需直接验证即可 (其中注意到 ${\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha$ 是一个数,可以提出):

$$\left(\mathbf{A}+\alpha {\beta }^{\prime }\right)\left({\mathbf{A}}^{-1}-\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\right)$$ $$=I_n+\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\alpha {\beta }^{\prime }{A}^{-1}-\frac{1}{1+{\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha }\alpha ({\beta }^{\prime }{A}^{-1}\alpha ){\beta }^{\prime }{A}^{-1}$$ $$={\mathbf{I}}_n+\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}-\frac{1+{\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha }{1+{\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}\alpha }\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}$$ $$={\mathbf{I}}_n+\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}-\alpha {\beta }^{\prime }{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{I}}_n.$$

注 上述公式称为 Sherman-Morrison 公式.

例 2.21 设 $\mathbf{A}$ 是非零实矩阵且 ${\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\prime }$ . 求证: $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵.

证明 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right),a_{ij}$ 的代数余子式记为 $A_{ij}$ . 由已知, $a_{ij}=A_{ij}$ . 因此

$$\left|\mathbf{A}\right|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots +a_{nj}^2.$$

由于 $\mathbf{A}$ 是非零实矩阵,故必有某个 $a_{ij}\ne 0$ ,于是由上式知 $\left|\mathbf{A}\right|>0$ . 特别地, $\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ , 即 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵.

例 2.22 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵,若 $\mathbf{A}$ 的每一行元素之和等于常数 $c$ ,求证: $c\ne 0$ 且 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的每一行元素之和等于 $c^{-1}$ .

证明 设 $\alpha ={\left(1,1,\cdots ,1\right)}^{\prime }$ ,则由假设可得 $\mathbf{A}\alpha =c\alpha$ . 若 $c=0$ ,则由 $\mathbf{A}$ 可逆可得 $\alpha =0$ ,矛盾,因此 $c\ne 0$ . 上式两边同时左乘 $c^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ ,可得 ${\mathbf{A}}^{-1}\alpha =c^{-1}\alpha$ ,从而 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的每一行元素之和等于 $c^{-1}$ .