2.2.6 迹及其应用

2.2.6 迹及其应用

设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶矩阵,则 $\mathbf{A}$ 主对角线上元素之和

$$a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$$

称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的迹,记为 $\mathrm{tr}\mathbf{A}$ . 迹是矩阵的一个重要不变量 (相似不变量). 用迹来证明某些问题有时特别简单, 我们将在以后的章节中陆续介绍. 这里我们介绍迹的几个基本性质, 首先是迹的 “线性”、“对称性” 和 “交换性”.

例 2.39 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶矩阵,求证:

(1) $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}+\mathrm{tr}\mathbf{B}$ ; (2) $\mathrm{tr}\left(k\mathbf{A}\right)=k\left(\mathrm{tr}\mathbf{A}\right)$ ;

(3) $\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}$ ; (4) $\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{BA}\right)$ .

证明 (1)、(2) 以及 (3) 显然可得, 只须证明 (4) 即可. 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)$$

设 $\mathbf{C}=\mathbf{AB},\mathbf{D}=\mathbf{BA},\mathbf{C}=\left(c_{ij}\right),\mathbf{D}=\left(d_{ij}\right)$ ,则

$$\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)=\sum _{i=1}^n{c}_{ii}=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{ki},\mathrm{tr}\left(\mathbf{BA}\right)=\sum _{i=1}^n{d}_{ii}=\sum _{i=1}^n\sum _{k=1}^n{b}_{ik}{a}_{ki}.$$

由求和的交换性即得: $\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{BA}\right)$ .

例 2.40 求证: 不存在 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}-\mathbf{BA}=k{\mathbf{I}}_n\left(k\ne 0\right)$ .

证明 用反证法证明. 若存在 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 适合条件 $\mathbf{AB}-\mathbf{BA}=k{\mathbf{I}}_n(k\ne$ $0)$ ,则 $kn=\mathrm{tr}\left(k{\mathbf{I}}_n\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}-\mathbf{BA}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)-\mathrm{tr}\left(\mathbf{BA}\right)=0$ ,矛盾.

例 2.41 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{P}$ 是同阶可逆矩阵,求证: $\mathrm{tr}\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}$ ,即相似矩阵具有相同的迹.

证明 因为 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{BA}\right)$ ,故 $\mathrm{tr}\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)=\mathrm{tr}\left(\mathbf{P}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}$ .

迹还有一个基本性质是所谓的 “正定性”, 用它可以证明一个矩阵是零矩阵.

例 2.42 证明下列结论:

(1) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶实矩阵,则 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }\right)\ge 0$ ,等号成立的充要条件是 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ ;

(2) 若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶复矩阵,则 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}{\overline{\mathbf{A}}}^{\prime }\right)\ge 0$ ,等号成立的充要条件是 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ .

证明 (1) 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 为 $n$ 阶实矩阵,则通过计算可得

$$\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2\ge 0$$

等号成立当且仅当 $a_{ij}=0\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)$ ,即 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ .

(2) 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 为 $n$ 阶复矩阵,则通过计算可得

$$\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}{\overline{\mathbf{A}}}^{\prime }\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\left|a_{ij}\right|}^2\ge 0$$

等号成立当且仅当 $a_{ij}=0\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)$ ,即 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ . [

例 2.43 设 ${\mathbf{A}}_i\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ 是实对称阵且 ${\mathbf{A}}_1^2+{\mathbf{A}}_2^2+\cdots +{\mathbf{A}}_k^2=\mathbf{O}$ ,证明: 每个 ${\mathbf{A}}_i=\mathbf{O}$ .

证明 对题设中的等式两边同时取迹, 可得

$$0=\mathrm{tr}\mathbf{O}=\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_1^2+{\mathbf{A}}_2^2+\cdots +{\mathbf{A}}_k^2\right)=\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_1^{\prime }\right)+\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_2{\mathbf{A}}_2^{\prime }\right)+\cdots +\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_k{\mathbf{A}}_k^{\prime }\right).$$

由例 2.42 可得 $\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_i{\mathbf{A}}_i^{\prime }\right)\ge 0\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ ,从而只可能是 $\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}_i{\mathbf{A}}_i^{\prime }\right)=0$ ,再次由例 2.42 可得 ${\mathbf{A}}_i=\mathbf{O}\left(i=1,2,\cdots ,k\right)$ .

例 2.44 证明下列结论:

(1) 设 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^{\prime }=-\mathbf{A}$ ,如果存在同阶实矩阵 $\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}$ , 则 $B=O$ ;

(2) 设 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}$ 适合 ${\overline{\mathbf{A}}}^{\prime }=-\mathbf{A}$ ,如果存在同阶矩阵 $\mathbf{B}$ ,使 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}$ , 则 $B=O$ .

证明 (1) 在等式 $\mathbf{AB}=\mathbf{B}$ 两边同时左乘 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ 可得

$$B^{\prime }AB=B{B}^{\prime }\text{.}$$

上式两边同时转置并注意到 ${\mathbf{A}}^{\prime }=-\mathbf{A}$ ,可得

$$\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\prime }={\left(\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\prime }\right)}^{\prime }={\left({\mathbf{B}}^{\prime }\mathbf{AB}\right)}^{\prime }={\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{B}=-{\mathbf{B}}^{\prime }\mathbf{AB}=-\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\prime },$$

从而有 $\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{\prime }=\mathbf{O}$ . 两边同时取迹,由例 2.42 可得 $\mathbf{B}=\mathbf{O}$ .

(2) 的证明与 (1) 类似.

例 2.45 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实矩阵,满足 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }={\mathbf{A}}^2$ ,求证: $\mathbf{A}$ 是对称矩阵.

证明 要证明 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\prime }$ ,即 $\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{O}$ ,由例 2.42 可知,只要证明 $\mathrm{tr}((\mathbf{A}-$ $A^{\prime }){\left(A-A^{\prime }\right)}^{\prime })=0$ 即可. 由 $A{A}^{\prime }=A^2$ 可得 ${\left(A^{\prime }\right)}^2=A{A}^{\prime }$ ,再由迹的交换性可得

$$tr\left((A-A^{\prime })(A-A^{\prime }{)}^{\prime }\right)=tr\left((A-A^{\prime })(A^{\prime }-A)\right)=tr\left(A{A}^{\prime }-A^2-(A^{\prime }{)}^2+A^{\prime }A\right)$$ $$=\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{A}-\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }\right)=\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{A}\right)-\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\prime }\right)=0,$$

从而结论得证.

矩阵求迹的技巧也常常和基础矩阵联系在一起, 让我们来看下面两个例题.

例 2.46 设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶矩阵,若 $\mathrm{tr}\left(ABC\right)=\mathrm{tr}\left(CBA\right)$ 对任意 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{C}$ 成立,求证: $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ .

证明 设 $\mathbf{AB}=\left(d_{ij}\right),\mathbf{BA}=\left(e_{ij}\right)$ ,令 $\mathbf{C}={\mathbf{E}}_{kl}\left(k,l=1,2,\cdots ,n\right)$ ,则

$$\mathrm{tr}\left(\mathbf{ABC}\right)=d_{lk},\mathrm{tr}\left(\mathbf{CBA}\right)=e_{lk},$$

因此 $d_{lk}=e_{lk}\left(k,l=1,2,\cdots ,n\right)$ ,即有 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ .

注 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是实 (复) 矩阵,我们还可以通过迹的正定性来证明结论. 事实上, 由迹的交换性和线性可得 $\mathrm{tr}\left(\left(\mathbf{AB}-\mathbf{BA}\right)\mathbf{C}\right)=0$ ,令 $\mathbf{C}$ 为 $\mathbf{AB}-\mathbf{BA}$ 的转置 (共轭转置), 再由例 2.42 即可得到结论.

下面的例题给出了迹的刻画, 它告诉我们迹函数由线性、交换性和单位矩阵处的取值唯一决定.

例 2.47 设 $f$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵集合到 $\mathbb{F}$ 的一个映射,它满足下列条件:

(1) 对任意的 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B},f\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)=f\left(\mathbf{A}\right)+f\left(\mathbf{B}\right)$ ;

(2) 对任意的 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbb{F}$ 中数 $k,f\left(k\mathbf{A}\right)=kf\left(\mathbf{A}\right)$ ;

(3) 对任意的 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B},f\left(\mathbf{AB}\right)=f\left(\mathbf{BA}\right)$ ;

(4) $f\left({\mathbf{I}}_n\right)=n$ .

求证: $f$ 就是迹,即 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}$ 对一切 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 成立.

证明 设 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 是 $n$ 阶基础矩阵. 因为 $f\left({\mathbf{I}}_n\right)=n$ ,所以由 (1),有

$$f\left({\mathbf{I}}_n\right)=f\left({\mathbf{E}}_{11}+{\mathbf{E}}_{22}+\cdots +{\mathbf{E}}_{nn}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{11}\right)+f\left({\mathbf{E}}_{22}\right)+\cdots +f\left({\mathbf{E}}_{nn}\right).$$

又由 (3), 有

$$f\left({\mathbf{E}}_{ii}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{ij}{\mathbf{E}}_{ji}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{ji}{\mathbf{E}}_{ij}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{jj}\right),$$

所以 $f\left({\mathbf{E}}_{ii}\right)=1$ . 另一方面,若 $i\ne j,{\mathbf{E}}_{ij}={\mathbf{E}}_{i1}{\mathbf{E}}_{1j}$ ,则

$$f\left({\mathbf{E}}_{ij}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{i1}{\mathbf{E}}_{1j}\right)=f\left({\mathbf{E}}_{1j}{\mathbf{E}}_{i1}\right)=f\left(\mathbf{O}\right)=0\cdot f\left({\mathbf{I}}_n\right)=0.$$

若 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则

$$f\left(\mathbf{A}\right)=f\left(\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\mathbf{E}}_{ij}\right)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}f\left({\mathbf{E}}_{ij}\right)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\mathrm{tr}\mathbf{A}.$$