2.2.8 分块初等变换的应用
分块初等变换与分块初等矩阵是处理分块矩阵问题的有力工具, 我们将会在以后的章节中陆续看到它的各种应用. 在这一节我们主要向读者介绍分块初等变换在行列式的求值以及求逆阵中的应用.
例 2.54 设 A 是 n 阶可逆矩阵, α 是 n 维列向量, b 是常数,现有分块矩阵
Q=(Aα′αb)
求证: 矩阵 Q 是可逆矩阵的充要条件是 b=α′A−1α .
证明 对矩阵 Q 施以分块初等变换,以 −α′A−1 左乘以第一行加到第二行上:
(Aα′αb)→(AOαb−α′A−1α).
第三类分块初等变换不改变矩阵的行列式,所以 ∣Q∣=∣A∣(b−α′A−1α) . 因为 ∣A∣=0 ,显然 ∣Q∣=0 当且仅当 b=α′A−1α .
例 2.55 若 A 是 m 阶可逆矩阵, D 是 n 阶矩阵, B 为 m×n 矩阵, C 为 n×m 矩阵, 则
ACBD=∣A∣D−CA−1B.
若 D 可逆 (这时 A 不必假定可逆),则有
ACBD=∣D∣A−BD−1C.
证明 用第三类分块初等变换,以 −CA−1 左乘以第一行加到第二行上,得到
(ACBD)→(AOBD−CA−1B).
第三类分块初等变换不改变行列式的值, 因此可得到结论. 另一结论类似可证明.
注 当 A 和 D 都是可逆矩阵时,我们得到等式:
∣D∣A−BD−1C=∣A∣D−CA−1B.
这个等式称为行列式的降阶公式. 因为当 D 和 A 的阶不等时,可以利用它把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算. 这在行列式的计算上是很有用的. 请参考下面的几个例子.
例 2.56 计算下列矩阵的行列式的值:
A=a12a2a1+1⋮ana1+1a1a2+1a22⋮ana2+1⋯⋯⋯a1an+1a2an+1⋮an2.
解 将 A 化为
A=−In+a1a2⋮an11⋮1I2−1(a11a21⋯⋯an1).
由降阶公式得到
∣A∣=I2∣−1∣−In∣I2+(a11a21⋯⋯an1)(−In)−1a1a2⋮an11⋮1
=(−1)nI2−i=1∑nai2i=1∑naii=1∑nain
=(−1)n(1−n)(1−i=1∑nai2)−(i=1∑nai)2.□
例 2.57 求下列矩阵 A 的行列式的值:
A=011⋮1202⋮2330⋮3⋯⋯⋯⋯nnn⋮0.
解 将 A 化为
A=−10⋮00−2⋮0⋯⋯⋯00⋮−n+11⋮1(1,2,⋯,n)
利用降阶公式容易求得 ∣A∣=(−1)nn!(1−n) .
- 例 2.58 计算下列矩阵的行列式的值,其中 ai=0(1≤i≤n) :
A=0a2+a1⋮an+a1a1+a20⋮an+a2⋯⋯⋯a1+ana2+an⋮0.
解 将 A 化为
A=−2a1−2a2⋱−2an+a1a2⋮an11⋮1I2−1(1a11a2⋯⋯1an).
由降阶公式得到
∣A∣=∣I2∣−1−2a1−2a2⋱−2an
⋅I2+(1a11a2⋯⋯1an)−2a1−2a2⋱−2an−1a1a2⋮an11⋮1
=(−2)ni=1∏nai1−2n−21i=1∑nai−21i=1∑nai11−2n
=(−2)n−2i=1∏nai((n−2)2−(i=1∑nai)(i=1∑nai1)).□
例 2.59 设 A,B 是 n 阶矩阵,求证:
ABBA=∣A+B∣∣A−B∣.
证明 将分块矩阵的第二行加到第一行上, 再将第二列减去第一列, 可得
(ABBA)→(A+BBA+BA)→(A+BBOA−B).
第三类分块初等变换不改变行列式的值, 因此可得
ABBA=A+BBOA−B=∣A+B∣∣A−B∣.
例 2.60 设 A,B 是 n 阶矩阵且 AB=BA ,求证:
AB−BA=A2+B2
证明 将分块矩阵的第二行乘以 i 加到第一行上,再将第一列乘以 −i 加到第二列上, 可得
(AB−BA)→(A+iBBiA−BA)→(A+iBBOA−iB),
第三类分块初等变换不改变行列式的值, 因此可得
AB−BA=A+iBBOA−iB=∣A+iB∣∣A−iB∣=A2+B2.
利用例 2.59 和例 2.60 可以给出前面两道行列式求值题目的另外解法.
例 1.12 的解法 2 令
B=(xyyx),C=(zwwz)
则 ∣A∣=BCCB . 由例 2.59 可得
∣A∣=∣B+C∣∣B−C∣=x+zy+wy+wx+zx−zy−wy−wx−z
=(x+y+z+w)(x+z−y−w)(x+y−z−w)(x+w−y−z).
例 2.51 的解法 2 令
B=(xyy−x),C=(zw−wz),
则 ∣A∣=BC−CB . 由例 2.60 可得
∣A∣=∣B+iC∣∣B−iC∣=x+izy+iwy−iw−x+izx−izy−iwy+iw−x−iz
=(x2+y2+z2+w2)2.
例 2.61A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,求证:
∣M∣=ABCDBADCCDABDCBA=∣A+B+C+D∣∣A+B−C−D∣∣A−B+C−D∣∣A−B−C+D∣.
证明 将下面 3 行加到第一行, 得
∣M∣=∣A+B+C+D∣IBCDIADCIDABICBA.
用第一列右乘以 −I 加到后 3 列上去,得
∣M∣=∣A+B+C+D∣IBCDOA−BD−CC−DOD−BA−CB−DOC−BB−CA−D
=∣A+B+C+D∣A−BD−CC−DD−BA−CB−DC−BB−CA−D.
再将后两列右乘以 −I 加到第一列上,得
∣M∣=∣A+B+C+D∣A+B−C−D−A−B+D+C−A−B+C+DD−BA−CB−DC−BB−CA−D
=∣A+B+C+D∣∣A+B−C−D∣I−I−ID−BA−CB−DC−BB−CA−D.
最后将第一行加到后两行上, 得
∣M∣=∣A+B+C+D∣∣A+B−C−D∣IOOD−BA−C+D−BOC−BOA−D+C−B
=∣A+B+C+D∣∣A+B−C−D∣∣A−B+C−D∣∣A−B−C+D∣.[
注 我们也可以反复利用例 2.59 来得到例 2.61 的另一证明.
例 2.62 已知 A 和 D 是可逆阵,求下列分块矩阵的逆阵
(AOBD)
解 设 A,D 分别是 m,n 阶矩阵. 对下列分块矩阵进行初等变换,即将第二行左乘以 −BD−1 加到第一行上去:
(AOBDImOOIn)→(AOODImO−BD−1In),
再用 A−1 和 D−1 分别左乘以第一行及第二行得到:
(ImOO+A−1In+O−A−1BD−1D−1).
因此原矩阵的逆阵为
(A−1O−A−1BD−1D−1).□