2.2.9 Cauchy-Binet 公式的应用

在这一节我们来看利用 Cauchy-Binet 公式求行列式或子式的几个例子.

例 2.63 若 $n \geq 3$ ,求证下列矩阵是奇异矩阵:

A = cos (α_{1} - β_{1}) cos (α_{2} - β_{1}) ⋮ cos (α_{n} - β_{1}) cos (α_{1} - β_{2}) cos (α_{2} - β_{2}) ⋮ cos (α_{n} - β_{2}) \dots \dots \dots cos (α_{1} - β_{n}) cos (α_{2} - β_{n}) ⋮ cos (α_{n} - β_{n}) .

证明利用三角公式 $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ 可将矩阵 $A$ 分解为如下形式:

A = cos α_{1} cos α_{2} ⋮ cos α_{n} sin α_{1} sin α_{2} ⋮ sin α_{n} (cos β_{1} sin β_{1} cos β_{2} sin β_{2} \dots \dots cos β_{n} sin β_{n}) .

因为 $n > 2$ ,由 Cauchy-Binet 公式马上得到 $∣ A ∣ = 0$ .

例 2.48 的证法 2 将矩阵 $A$ 分解为如下形式:

A = 111 ⋮ 1 x_{1} x_{2} x_{3} ⋮ x_{n} (1 y_{1} 1 y_{2} 1 y_{3} \dots \dots 1 y_{n})

因为 $n > 2$ ,由 Cauchy-Binet 公式马上得到 $∣ A ∣ = 0$ .

例 1.43 的证法 3 设多项式

f_{k} (x) = c_{k, n - 2} x^{n - 2} + \dots + c_{k, 1} x + c_{k, 0}, k = 1, 2, \dots, n,

则有如下的矩阵分解:

f_{1} (a_{1}) f_{1} (a_{2}) ⋮ ⋮ 1 f_{2} (a_{1}) f_{2} (a_{2}) ⋮ ⋮ a_{n} \dots \dots \dots f_{n} (a_{1}) f_{n} (a_{2}) ⋮ ⋮ a_{n}^{n - 2} = 11 ⋮ 1 a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} \dots \dots \dots a_{1}^{n - 2} a_{2}^{n - 2} ⋮ a_{n}^{n - 2} c_{1, 0} c_{1, 1} ⋮ c_{1, n - 2} c_{2, 0} c_{2, 1} ⋮ c_{2, n - 2} \dots \dots \dots c_{n, 0} c_{n, 1} ⋮ c_{n, n - 2} .

注意到上式右边两个矩阵分别是 $n \times (n - 1)$ 阶和 $(n - 1) \times n$ 阶,从而由 Cauchy-Binet 公式马上得到左边矩阵的行列式值等于零.

例 2.64 设 $A$ 是 $m \times n$ 阶实矩阵,则矩阵 $A A^{'}$ 的任一主子式都非负.

证明若 $r \leq n$ ,则由 Cauchy-Binet 公式可得

A A^{'} (i_{1} i_{1} i_{2} i_{2} \dots \dots i_{r} i_{r}) = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{r} j_{r})^{2} \geq 0;

若 $r > n$ ,则 $A A^{'}$ 的任一 $r$ 阶主子式都等于零,结论也成立.

例 2.65 设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵且 $A A^{'} = I_{n}$ . 求证: 若 $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n$ , 则

1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{r} j_{r})^{2} = 1.

证明类似例 2.64,对等式 $A A^{'} = I_{n}$ 两边同时求 $r$ 阶主子式即得结论. [

例 2.66 设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵,求证: $AB$ 和 $BA$ 的 $r (1 \leq r \leq n)$ 阶主子式之和相等.

证明由 Cauchy-Binet 公式可得

1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n \sum AB (i_{1} i_{1} i_{2} i_{2} \dots \dots i_{r} i_{r})

= 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n \sum 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{r} j_{r}) B (j_{1} i_{1} j_{2} i_{2} \dots \dots j_{r} i_{r})

= 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum 1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \leq n \sum B (j_{1} i_{1} j_{2} i_{2} \dots \dots j_{r} i_{r}) A (i_{1} j_{1} i_{2} j_{2} \dots \dots i_{r} j_{r})

= 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{r} \leq n \sum BA (j_{1} j_{1} j_{2} j_{2} \dots \dots j_{r} j_{r}) . □

注当 $r = 1$ 时,本命题就是 $tr (AB) = tr (BA)$ .

下面介绍 Cauchy-Binet 公式的两个重要应用, 它们分别是著名的 Lagrange 恒等式和 Cauchy-Schwarz 不等式. 这两个结论也可以用其他方法证明, 但用矩阵方法显得非常简洁.

例 2.67 证明 Lagrange 恒等式 $(n \geq 2)$ :

(i = 1 \sum n a_{i}^{2}) (i = 1 \sum n b_{i}^{2}) - (i = 1 \sum n a_{i} b_{i})^{2} = 1 \leq i < j \leq n \sum (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} .

证明左边的式子等于

i = 1 \sum n a_{i}^{2} i = 1 \sum n a_{i} b_{i} i = 1 \sum n a_{i} b_{i} i = 1 \sum n b_{i}^{2},

这个行列式对应的矩阵可化为

(a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} \dots \dots a_{n} b_{n}) a_{1} a_{2} ⋮ a_{n} b_{1} b_{2} ⋮ b_{n}

用 Cauchy-Binet 公式得

i = 1 \sum n a_{i}^{2} i = 1 \sum n a_{i} b_{i} i = 1 \sum n a_{i} b_{i} i = 1 \sum n b_{i}^{2} = 1 \leq i < j \leq n \sum a_{i} b_{i} a_{j} b_{j} a_{i} a_{j} b_{i} b_{j} = 1 \leq i < j \leq n \sum (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} .

例 2.68 设 $a_{i}, b_{i}$ 都是实数,证明 Cauchy-Schwarz 不等式:

(i = 1 \sum n a_{i}^{2}) (i = 1 \sum n b_{i}^{2}) \geq (i = 1 \sum n a_{i} b_{i})^{2} .

证明由上例, 恒等式右边总非负, 即得结论.

例 2.69 设 $A, B$ 都是 $m \times n$ 实矩阵,求证:

∣ A A^{'} ∣ ∣ B B^{'} ∣ \geq ∣ A B^{'} ∣^{2} .

证明若 $m > n$ ,则 $∣ A A^{'} ∣ = ∣ B B^{'} ∣ = ∣ A B^{'} ∣ = 0$ ,结论显然成立.

若 $m \leq n$ ,则由 Cauchy-Binet 公式可得

∣ A A^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum A (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m})^{2};

∣ B B^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum B (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m})^{2};

∣ A B^{'} ∣ = 1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{m} \leq n \sum A (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m}) B (1 j_{1} 2 j_{2} \dots \dots m j_{m}),

再由例 2.68 即得结论.

Youliang Zhong