6 特征值

§ 6.1 基本概念

6.1.1 特征值、特征向量及相关概念

1. 定义

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上向量空间 $V$ 上的线性变换,若 $\lambda \in \mathbb{F},x\in V$ 且 $x\ne 0$ ,使

$$\phi \left(\mathbf{x}\right)=\lambda \mathbf{x}$$

则称 $\lambda$ 是线性变换 $\phi$ 的一个特征值,向量 $\mathbf{x}$ 称为 $\phi$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

2. 定义

设 $\mathbf{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵,若 $\lambda \in \mathbb{F},\mathbf{x}$ 是 $n$ 维非零列向量,使

$$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$$

则称 $\lambda$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,向量 $\mathbf{x}$ 称为 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.

3. 定义

设 $\mathbf{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵,称多项式 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|$ 为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式.

一个线性变换的特征多项式定义为它在向量空间任意一组基下的表示矩阵的特征多项式.

4. 定义

设 ${\lambda }_0$ 是线性空间 $V$ 上线性变换 $\phi$ 的特征值,令

$V_{{\lambda }_0}=\left\{\mathbf{x}\in V\mid \phi \left(\mathbf{x}\right)={\lambda }_0\mathbf{x}\right\}=\{\mathbf{x}\in V\mid \mathbf{x}$ 是 $\phi$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量 $\}\cup \{0\}$ , 则 $V_{{\lambda }_0}$ 是 $V$ 的子空间,称为 $\phi$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间. $\dim V_{{\lambda }_0}$ 称为 ${\lambda }_0$ 的几何重数或度数.

设 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值,令

$V_{{\lambda }_0}=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}^n\mid \mathbf{Ax}={\lambda }_0\mathbf{x}\right\}=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{F}}^n\mid \mathbf{x}\text{ 是 }\mathbf{A}\text{ 的属于 }{\lambda }_0\text{ 的特征向量 }\right\}\cup \{0\},$

则 $V_{{\lambda }_0}$ 是线性方程组 $\left({\lambda }_0{I}_n-\mathbf{A}\right)\mathbf{x}=0$ 的解空间,从而是 ${\mathbb{F}}^n$ 的子空间,称为 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间. $\dim V_{{\lambda }_0}=n-\mathrm{r}\left({\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right)$ 称为 ${\lambda }_0$ 的几何重数或度数.

5. 定义

设 ${\lambda }_0$ 是 $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 的 $m$ 重特征值,即它是 $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 的特征多项式的 $m$ 重根, 则称 $m$ 为 ${\lambda }_0$ 的代数重数或重数. 若此时有 $m=\dim V_{{\lambda }_0}$ ,则称 ${\lambda }_0$ 的代数重数和几何重数相等. 假定对 $\phi$ (或 $A$ ) 的任意一个特征值,其代数重数和几何重数都相等, 则称 $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 有完全的特征向量系.

6.1.2 相 似 矩 阵

1. 定理

相似的矩阵具有相同的特征多项式, 从而具有相同的特征值 (计重数).

2. 定理

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值之和等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的迹,即 $\mathbf{A}$ 的主对角线上元素之和; $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值之积等于矩阵 $\mathbf{A}$ 的行列式值.

3. 定理

若矩阵 $\mathbf{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的矩阵且其特征值全在 $\mathbb{F}$ 上,则存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $\mathbf{P}$ , 使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 是上三角阵. 特别,任一矩阵均复相似于一个 (复) 上三角矩阵.

6.1.3 对 角 化

1. 定义

称矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化,若它相似于一个对角矩阵; 称线性变换 $\phi$ 可对角化,若存在一组基,在这组基下 $\phi$ 的表示矩阵是对角矩阵.

2. 定理

若 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 的不同特征值, $V_i$ 是特征值 ${\lambda }_i$ 的特征子空间, 则

$$V_1+V_2+\cdots +V_k=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$$

3. 推论

线性变换 $\phi$ 的属于不同特征值的特征向量线性无关.

4. 定理

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 (或 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵), ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ 是 $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 的全体不同特征值, $V_i$ 是特征值 ${\lambda }_i$ 的特征子空间,则下列结论等价:

(1) $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 可对角化;

(2) $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 有 $n$ 个线性无关的特征向量;

(3) $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$ (或 ${\mathbb{F}}^n=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$ );

(4) $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 有完全的特征向量系.

5. 推论

若 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ (或 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ ) 有 $n$ 个不同的特征值, 则 $\phi$ (或 $\mathbf{A}$ ) 必可对角化.

6.1.4 极小多项式

1. 定义

设 $\mathbf{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵,若 $\mathbf{A}$ 适合 $\mathbb{F}$ 上的非零首一多项式 $m\left(x\right)$ ,且 $m\left(x\right)$ 是 $\mathbf{A}$ 适合的非零多项式中次数最小者,则称 $m\left(x\right)$ 是 $\mathbf{A}$ 的极小多项式或最小多项式. 同理可定义线性变换的极小多项式.

对一个矩阵或线性变换, 其极小多项式存在并且唯一.

2. Cayley-Hamilton 定理

若 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $f\left(\lambda \right)$ ,则 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ . 对线性变换也有类似结论.

6.1.5 特征值的估计

1. 第一圆盘定理

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,则 $\mathbf{A}$ 的特征值在复平面的下列圆盘中:

$$\left|z-a_{ii}\right|\le R_i,i=1,2,\cdots ,n,$$

其中 $R_i=\left|a_{i1}\right|+\cdots +\left|a_{i,i-1}\right|+\left|a_{i,i+1}\right|+\cdots +\left|a_{in}\right|$ .

注 该定理又称为 Gerschgorin 圆盘第一定理, 即戈氏圆盘第一定理. 上述圆盘称为戈氏圆盘.

2. 第二圆盘定理

$\mathbf{A}$ 同上. 若 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个戈氏圆盘分成若干个连通区域,其中某个连通区域恰含 $k$ 个戈氏圆盘,则有且仅有 $k$ 个特征值落在该连通区域内 (若两个圆盘重合应计算重数, 重根也要计算重数).

$\S 6.2$ 例题解析

6.2.1 特征值和特征向量

1. 应用定义直接证明的一些结论

例 6.1 设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵全体组成的向量空间, $\phi$ 是 $V$ 上的线性变换: $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AX}$ ,其中 $\mathbf{A}$ 是一个 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵. 求证: $\phi$ 和 $\mathbf{A}$ 具有相同的特征值 (重数可能不同).

证明 若 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值, $\mathbf{x}$ 是相应的特征向量,则 $\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$ . 令 $\mathbf{X}=$ $\left(\mathbf{x},0,\cdots ,0\right)$ ,则 $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AX}=\lambda \mathbf{X}$ ,因此 $\lambda$ 是 $\phi$ 的特征值.

反之,设 $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\lambda \mathbf{X},\mathbf{X}\ne \mathbf{O}$ ,则 $\mathbf{AX}=\lambda \mathbf{X}$ . 设 $\mathbf{X}=\left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_n\right)$ 为列分块,并且第 $i$ 个列向量 ${\mathbf{x}}_i\ne 0$ ,则 $\mathbf{A}{\mathbf{x}}_i=\lambda {\mathbf{x}}_i$ ,因此 $\lambda$ 也是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值.

例 6.2 设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的两个不同的特征值, ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 分别是 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量,求证: ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ 必不是 $\mathbf{A}$ 的特征向量.

证明 用反证法. 设

$$\mathbf{A}\left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)=\mu \left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)$$

则

$$\mathbf{A}\left({\alpha }_1+{\alpha }_2\right)=\mathbf{A}{\alpha }_1+\mathbf{A}{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2.$$

因此

$$\left({\lambda }_1-\mu \right){\alpha }_1+\left({\lambda }_2-\mu \right){\alpha }_2=0.$$

由于属于不同特征值的特征向量线性无关,故有 ${\lambda }_1=\mu ,{\lambda }_2=\mu$ ,从而 ${\lambda }_1={\lambda }_2$ ,引出矛盾.

例 6.3 设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, $V$ 有一个直和分解:

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m$$

其中每个 $V_i$ 都是 $\phi$ 的不变子空间. 设 $\phi$ 限制在 $V_i$ 上的特征多项式为 $f_i\left(\lambda \right)$ ,求证: $\phi$ 的特征多项式

$$f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)\cdots f_m\left(\lambda \right).$$

证明 取 $V_i\left(i=1,\cdots ,m\right)$ 的一组基,将它们拼成 $V$ 的一组基. 记 ${\mathbf{A}}_i$ 是 $\phi$ 在 $V_i$ 上的限制 (在 $V_i$ 所取基下) 的表示矩阵,则 $\phi$ 在 $V$ 的这组基下的表示矩阵为

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_m\end{array}\right).$$

于是 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=\left|\lambda \mathbf{I}-{\mathbf{A}}_1\right|\left|\lambda \mathbf{I}-{\mathbf{A}}_2\right|\cdots \left|\lambda \mathbf{I}-{\mathbf{A}}_m\right|$ ,即结论成立.

例 6.4 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶整数矩阵,求证: 矩阵方程 $\mathbf{Ax}=0.5\mathbf{x}$ 必无非零解.

证明 计算下列行列式并注意到 $\mathbf{A}$ 的每个元素都是整数,有

$$\left|\frac{1}{2}{\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|={\left(\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}c$$

其中 $c$ 是一个整数. 因此上式不可能等于零,即 $\frac{1}{2}=0.5$ 不是 $\mathbf{A}$ 的特征值.

2. 矩阵多项式、逆矩阵及伴随矩阵的特征值

若 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶矩阵, $f\left(x\right)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是一个多项式,记 $f\left(\mathbf{A}\right)=a_m{\mathbf{A}}^m+a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{A}+a_0{\mathbf{I}}_n$ ,则矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值与矩阵 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的特征值有着一定的关系. 这就是下面的例题 6.5.

例 6.5 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵, ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的全部特征值. 又 $f\left(x\right)$ 是一个多项式,求证: $f\left({\lambda }_1\right),f\left({\lambda }_2\right),\cdots ,f\left({\lambda }_n\right)$ 是 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的全部特征值.

证明 因为任意一个 $n$ 阶矩阵均 (复) 相似于上三角矩阵,可设

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

因为上三角矩阵的和、数乘及乘方仍是上三角矩阵, 经计算不难得到

$${\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P}=f\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)=\left(\begin{array}{cccc}f\left({\lambda }_1\right)& \ast & \cdots & \ast \\ 0& f\left({\lambda }_2\right)& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & f\left({\lambda }_n\right)\end{array}\right).$$

因此 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的全部特征值为 $f\left({\lambda }_1\right),f\left({\lambda }_2\right),\cdots ,f\left({\lambda }_n\right)$ .

下面是应用例 6.5 的结论的几个例子.

例 6.6 设 $\mathbf{A}$ 是实数矩阵,又 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 的特征值的模长都小于 1,求证:

$$0<\left|\mathbf{A}\right|<2^n$$

证明 设 ${\lambda }_i$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值,则 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}$ 的特征值是 $1-{\lambda }_i$ . 已知 $\left|1-{\lambda }_i\right|<1$ . 若 ${\lambda }_i$ 是实数,则 $0<{\lambda }_i<2$ ; 若 ${\lambda }_i$ 是虚数,则 ${\bar{\lambda }}_i$ 也是 $\mathbf{A}$ 的特征值. 因为 ${\lambda }_i$ 落在复平面上以 1 为圆心、以 1 为半径的圆内部,故 $0<\left|{\lambda }_i\right|<2.\left|\mathbf{A}\right|$ 等于所有特征值之积,显然有 $0<\left|\mathbf{A}\right|<2^n$ .

例 6.7 设 $f\left(\lambda \right)$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式, ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的所有特征值, $g\left(\lambda \right)$ 是任一多项式. 证明: 矩阵 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 的行列式等于 $R\left(f,g\right)$ ,即等于 $f,g$ 的结式.

证明 注意到 $f\left(\lambda \right)$ 是首一多项式,由第 5 章可知

$$R\left(f,g\right)=\prod _{j=1}^{n}g\left({\lambda }_j\right)$$

其中 ${\lambda }_j$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值. 又矩阵 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 的特征值就是 $g\left({\lambda }_j\right)$ ,故

$$\left|g\left(\mathbf{A}\right)\right|=\prod _{j=1}^{n}g\left({\lambda }_j\right)=R\left(f,g\right).$$

注 作为例 6.7 的推论可知,若 $f\left(\lambda \right),g\left(\lambda \right)$ 互素,则 $\left|g\left(\mathbf{A}\right)\right|=R\left(f,g\right)\ne 0$ ,从而 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 是非异阵. 进一步的讨论可参考例 6.59.

例 6.8 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,其特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,求下列 $2n$ 阶矩阵的特征值:

$$\left(\begin{array}{cc}A& A^2\\ A^2& A\end{array}\right).$$

解 由第 2 章中的例 2.59 可知

$$\left|\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}& -{\mathbf{A}}^2\\ -{\mathbf{A}}^2& \lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\end{array}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^2\right|\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2\right|.$$

注意到 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2$ 的特征值为 ${\lambda }_i+{\lambda }_i^2,\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^2$ 的特征值为 ${\lambda }_i-{\lambda }_i^2$ ,因此所求矩阵的特征值为

$${\lambda }_1+{\lambda }_1^2,{\lambda }_1-{\lambda }_1^2,{\lambda }_2+{\lambda }_2^2,{\lambda }_2-{\lambda }_2^2,\cdots ,{\lambda }_n+{\lambda }_n^2,{\lambda }_n-{\lambda }_n^2.$$

如果能将一个复杂矩阵写成一个简单矩阵的多项式, 那么就可由简单矩阵的特征值得到复杂矩阵的特征值, 这种技巧在后面也会经常用到.

例 6.9 求下列循环矩阵的特征值:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_n& a_1& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)$$

解 设 $\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{I}}_{n-1}\\ 1& \mathbf{O}\end{array}\right),f\left(x\right)=a_1+a_{2}x+a_3{x}^2+\cdots +a_n{x}^{n-1}$ ,则由例 2.12 可知 $\mathbf{A}=f\left(\mathbf{J}\right)$ . 经简单计算可得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{J}\right|={\lambda }^n-1$ ,于是 $\mathbf{J}$ 的特征值为

$${\omega }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n},k=0,1,\cdots ,n-1.$$

因此 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $f\left(1\right),f\left({\omega }_1\right),\cdots ,f\left({\omega }_{n-1}\right)$ .

下面的例题也是有关矩阵多项式的问题, 它是一个很常用的结论.

例 6.10 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 适合一个多项式 $g\left(x\right)$ ,即 $g\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ . 求证: $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 也必适合 $g\left(x\right)$ ,即 $g\left(\lambda \right)=0$ .

证明 设 $\alpha$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量,经简单计算得

$$g\left(\lambda \right)\alpha =g\left(\mathbf{A}\right)\alpha =0.$$

而 $\alpha \ne 0$ ,因此 $g\left(\lambda \right)=0$ .

例 6.11 已知向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right),\beta =\left(b_1,b_2,\cdots ,b_n\right)$ 是两个非零向量, 且 $\alpha {\beta }^{\prime }=0$ ,求矩阵 $\mathbf{A}={\alpha }^{\prime }\beta$ 的全部特征值,并说明 $\mathbf{A}$ 是否相似于对角矩阵.

解 不难求得 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{O}$ ,由例 6.10 可知 $\mathbf{A}$ 的特征值全为零. 若 $\mathbf{A}$ 相似于对角矩阵,则这个对角矩阵必为零矩阵,从而 $\mathbf{A}$ 也是零矩阵,这与 $\mathbf{A}\ne \mathbf{O}$ 相矛盾,故 $\mathbf{A}$ 不相似于对角矩阵.

对可逆矩阵 $\mathbf{A}$ ,其逆矩阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值和 $\mathbf{A}$ 的特征值有下列关系.

例 6.12 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵,若 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,求证: ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}$ .

证明 首先注意到 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵, ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ ,因此每个 ${\lambda }_i\ne 0$ (事实上, $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是它的特征值全不为零).

因为任意一个 $n$ 阶矩阵均 (复) 相似于上三角矩阵,可设

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

因为上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵, 经计算不难得到

$${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{P}={\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^{-1}& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2^{-1}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^{-1}\end{array}\right).$$

因此 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的全部特征值为 ${\lambda }_1^{-1},{\lambda }_2^{-1},\cdots ,{\lambda }_n^{-1}$ .

伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的特征值和 $\mathbf{A}$ 的特征值有下列关系.

例 6.13 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,求证: ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的特征值为 $\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i,\prod _{i\ne 2}{\lambda }_i,\cdots ,\prod _{i\ne n}{\lambda }_i$ .

证明 因为任意一个 $n$ 阶矩阵均 (复) 相似于上三角矩阵,可设

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ 0& {\lambda }_2& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

因为上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵, 经计算不难得到

$${\mathbf{P}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }{\left({\mathbf{P}}^{\ast }\right)}^{-1}={\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i& \ast & \cdots & \ast \\ 0& \prod _{i\ne 2}{\lambda }_i& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & \prod _{i\ne n}{\lambda }_i\end{array}\right).$$

因此 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的全部特征值为 $\prod _{i\ne 1}{\lambda }_i,\prod _{i\ne 2}{\lambda }_i,\cdots ,\prod _{i\ne n}{\lambda }_i$ .

3. 特征多项式、特征多项式的系数与迹

例 6.14 设 $f\left(x\right)$ 是一个 $n$ 次首一多项式:

$$f\left(x\right)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$$

称下列矩阵为 $f\left(x\right)$ 的友阵:

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right)$$

求证: 矩阵 $\mathbf{C}$ 的特征多项式就是 $f\left(\lambda \right)$ . 利用这个结论解下列问题:

设 $f\left(x\right)$ 的根为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n.g\left(x\right)$ 为另一多项式,求以 $g\left({\lambda }_1\right),g\left({\lambda }_2\right),\cdots ,g\left({\lambda }_n\right)$

为根的 $n$ 次多项式.

证明 按行列式 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{C}\right|$ 第一行展开并用递推法即得结论.

因为矩阵 $g\left(\mathbf{C}\right)$ 的特征值为 $g\left({\lambda }_1\right),g\left({\lambda }_2\right),\cdots ,g\left({\lambda }_n\right)$ ,故 $h\left(x\right)=\left|x{\mathbf{I}}_n-g\left(\mathbf{C}\right)\right|$ 就是要求的多项式.

$n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|$ 的常数项等于 ${\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}\right|,n-1$ 次项系数等于 $-\mathrm{tr}\mathbf{A}$ . 其他项的系数值等于什么? 下面的例 6.15 回答了这个问题.

例 6.15 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为

$$f\left(\lambda \right)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+a_2{\lambda }^{n-2}+\cdots +a_n.$$

求证: $a_r$ 等于 ${\left(-1\right)}^r$ 乘以 $\mathbf{A}$ 的所有 $r$ 阶主子式之和,即

$$a_r={\left(-1\right)}^r\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}\mathbf{A}\left(\begin{array}{llll}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ i_1& i_2& \cdots & i_r\end{array}\right),r=1,2,\cdots ,n.$$

进一步,若设 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,则

$$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}{\lambda }_{i_1}{\lambda }_{i_2}\cdots {\lambda }_{i_r}=\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_r\le n}\mathbf{A}\left(\begin{array}{llll}{i}_1& i_2& \cdots & i_r\\ i_1& i_2& \cdots & i_r\end{array}\right),r=1,2,\cdots ,n.$$

证明 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|$ ,由例 1.39 可知, $f\left(\lambda \right)$ 中 ${\lambda }^{n-r}$ (即 $\lambda {\mathbf{I}}_n$ 的 $n-r$ 阶主子式) 的系数应该是 $-\mathbf{A}$ 的所有 $r$ 阶主子式之和,即 $a_r$ 等于 ${\left(-1\right)}^r$ 乘以 $\mathbf{A}$ 的所有 $r$ 阶主子式之和. 第二个结论由 Vieta 定理即得.

下面的例子是上题结论的一个应用,这里的关键是设法证明 $\mathbf{A}$ 的特征值全为零.

例 6.16 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶实方阵,已知 $\mathbf{A}$ 的特征值全是实数且 $\mathbf{A}$ 的一阶主子式之和与二阶主子式之和都等于零. 求证: $\mathbf{A}$ 是幂零矩阵.

证明 假定 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,由上题可知

$$\sum _{i=1}{\lambda }_i={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=0$$ $$\sum _{1\le i<j\le n}{\lambda }_i{\lambda }_j={\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+\cdots +{\lambda }_{n-1}{\lambda }_n=0,$$

则

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^2={\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)}^2-2\sum _{1\le i<j\le n}{\lambda }_i{\lambda }_j=0.$$

因为 ${\lambda }_i$ 都是实数,故 ${\lambda }_i=0$ 对一切 $i$ 成立. 于是存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 是主对角线上元素全为零的上三角矩阵,由例 2.4 可得 ${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^n\mathbf{P}={\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^n=\mathbf{O}$ , 从而 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ . 我们还可以利用 Cayley-Hamilton 定理来证明,由于 $\mathbf{A}$ 的特征值全为零,故其特征多项式为 ${\lambda }^n$ ,从而 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{O}$ .

例 6.17 设 $\mathbf{P}$ 是可逆矩阵, $\mathbf{B}=\mathbf{PA}{\mathbf{P}}^{-1}-{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ ,求证: $\mathbf{B}$ 的特征值之和为零.

证明 注意到 $P^{-1}AP$ 和 $A$ 相似,因此 $\mathrm{tr}\left(P^{-1}AP\right)=\mathrm{tr}A$ . 同理可知, $\mathrm{tr}\left(\mathbf{PA}{\mathbf{P}}^{-1}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}$ . 因此 $\mathrm{tr}\mathbf{B}=0$ ,即 $\mathbf{B}$ 的特征值之和为零.

矩阵的迹是证明某些问题的强有力工具, 下面是一个典型的例子.

例 6.18 设 $A,B,C$ 是 $n$ 阶矩阵,其中 $C=AB-BA$ . 又它们适合条件 $AC=CA,BC=CB$ ,求证: $C$ 的特征值全为零. 又若将条件减弱为 $ABC=$ $CAB,BAC=CBA$ ,则上述结论不再成立.

证法 1 (代数方法) 注意到

$${\mathbf{C}}^m={\mathbf{C}}^{m-1}\mathbf{AB}-{\mathbf{C}}^{m-1}\mathbf{BA}=\mathbf{A}\left({\mathbf{C}}^{m-1}\mathbf{B}\right)-\left({\mathbf{C}}^{m-1}\mathbf{B}\right)\mathbf{A},$$

因此 $\mathrm{tr}{\mathbf{C}}^m=0$ 对任意的正整数 $m$ 成立. 假定 $\mathbf{C}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,则 ${\mathbf{C}}^m$ 的特征值为 ${\lambda }_1^m,{\lambda }_2^m,\cdots ,{\lambda }_n^m$ ,从而对任意的正整数 $m$ ,有

$${\lambda }_1^m+{\lambda }_2^m+\cdots +{\lambda }_n^m=0.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

由第 5 章例 5.60 可得 ${\sigma }_1={\sigma }_2=\cdots ={\sigma }_n=0$ ,从而 ${\lambda }_i$ 为多项式 $x^n$ 的根,于是 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$ .

证法 2 (几何方法) 将 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$ 看成是复 $n$ 维列向量空间 $V$ 上的线性变换. 设 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{C}$ 的一个特征值,又 $V_{{\lambda }_0}$ 是 $\mathbf{C}$ 的属于该特征值的特征子空间. 由 $\mathbf{AC}=\mathbf{CA}$ 及 $BC=CB$ 可知, $V_{{\lambda }_0}$ 是 $A$ 及 $B$ 作为线性变换的不变子空间. 将 $A,B,C$ 限制在 $V_{{\lambda }_0}$ 上,这时 $\mathbf{C}$ 的迹等于 $r{\lambda }_0$ ,其中 $r$ 是 $V_{{\lambda }_0}$ 的维数,而 $\left(\mathbf{AB}-\mathbf{BA}\right)$ 在 $V_{{\lambda }_0}$ 上的限制其迹等于零,因此 $r{\lambda }_0=0,{\lambda }_0=0$ .

如将条件减弱为如上所述, 则结论不再成立, 可参考下面的反例:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

由计算得 $C=AB-BA,ABC=CAB,CBA=BAC$ ,但 $C$ 的特征值为 1 和 -1 . $\square$

注 (1) 代数证法表明条件 $AC=CA$ 和 $BC=CB$ 只需其中一个成立就能证明结论.

(2) 得到 (6.1) 式以后, 也可不用例 5.60, 直接用 Vander Monde 行列式也可以证明结论.

4. 降阶法求矩阵的特征值

求矩阵的特征值通常并不容易, 对某些矩阵用降阶法可使问题大大简化, 下面的第一个例题是降阶法的理论基础, 后两个例子用来说明如何运用它. 在下面结论的证明中, 我们给出了 3 种方法: 第一种方法用的是分块矩阵的降阶公式; 第二种方法用的是矩阵的相抵标准型; 第三种方法是摄动法.

例 6.19 设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n\times m$ 矩阵,且 $m\ge n$ . 求证:

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right|={\lambda }^{m-n}\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right|.$$

证法 1 当 $\lambda \ne 0$ 时,考虑下列分块矩阵:

$$\left(\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_m& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\mathbf{I}}_n\end{array}\right)$$

因为 $\lambda {\mathbf{I}}_m,{\mathbf{I}}_n$ 都是可逆矩阵,故由降阶公式可得

$$\left|{\mathbf{I}}_n\right|\cdot \left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{A}{\left({\mathbf{I}}_n\right)}^{-1}\mathbf{B}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_m\right|\cdot \left|{\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}{\left(\lambda {\mathbf{I}}_m\right)}^{-1}\mathbf{A}\right|,$$

即

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right|={\lambda }^{m-n}\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right|.$$

当 $\lambda =0$ 时,若 $m>n$ ,因为 $\mathbf{AB}$ 的秩小于 $m$ ,故 $\left|-\mathbf{AB}\right|=0$ ,结论成立; 若 $m=n$ ,显然结论也成立.

证法 2 设 $\mathbf{A}$ 的秩等于 $r$ ,则存在可逆 $m$ 阶矩阵 $\mathbf{P}$ 和可逆 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使

$$PAQ=\left(\begin{array}{ll}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$$

令

$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}\end{array}\right)$$

其中 ${\mathbf{B}}_{11}$ 是 $r\times r$ 矩阵,则

$$PAB{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{B}_{11}& B_{12}\\ O& O\end{array}\right),Q^{-1}BAQ=\left(\begin{array}{ll}{B}_{11}& O\\ B_{21}& O\end{array}\right).$$

因此

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right|=\left|\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_r-{\mathbf{B}}_{11}& -{\mathbf{B}}_{12}\\ \mathbf{O}& \lambda {\mathbf{I}}_{m-r}\end{array}\right|={\lambda }^{m-r}\left|\lambda {\mathbf{I}}_r-{\mathbf{B}}_{11}\right|.$$

同理

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{BA}\right|=\left|\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_r-{\mathbf{B}}_{11}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{B}}_{21}& \lambda {\mathbf{I}}_{n-r}\end{array}\right|={\lambda }^{n-r}\left|\lambda {\mathbf{I}}_r-{\mathbf{B}}_{11}\right|.$$

比较上面两个式子即可得到结论.

证法 3 先证明 $m=n$ 的情形. 若 $\mathbf{A}$ 可逆,则 $\mathbf{BA}={\mathbf{A}}^{-1}\left(\mathbf{AB}\right)\mathbf{A}$ ,因此 $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 相似,它们的特征多项式相等. 对一般的方阵 $\mathbf{A}$ ,可取到一列有理数 $t_k\to 0$ , 使得 $t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}$ 是可逆矩阵. 由可逆情形的证明可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)\mathbf{B}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)\right|.$$

注意到上式两边都是关于 $t_k$ 的多项式,从而关于 $t_k$ 连续. 上式两边同时取极限, 令 $t_k\to 0$ ,可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{AB}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right|.$$

再证明 $m>n$ 的情形. 令

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\end{array}\right),\mathbf{D}=\left(\begin{array}{l}\mathbf{B}\\ \mathbf{O}\end{array}\right),$$

其中 $\mathbf{C},\mathbf{D}$ 均为分块 $m\times m$ 矩阵,则

$$CD=AB,DC=\left(\begin{array}{cc}BA& O\\ O& O\end{array}\right).$$

因此由方阵的情形可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{CD}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{DC}\right|$$ $$=\left|\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \lambda {\mathbf{I}}_{m-n}\end{array}\right|={\lambda }^{m-n}\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right|.$$

例 6.20 设 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 是实 $n$ 维行向量且 $\alpha {\alpha }^{\prime }=1$ . 试求矩阵 ${\mathbf{I}}_n-$ $2{\alpha }^{\prime }\alpha$ 的特征值.

解 设 $\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n-2{\alpha }^{\prime }\alpha$ ,则由例 6.19 可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=\left|\left(\lambda -1\right){\mathbf{I}}_n+2{\alpha }^{\prime }\alpha \right|={\left(\lambda -1\right)}^{n-1}\left(\lambda -1+2\right)={\left(\lambda -1\right)}^{n-1}\left(\lambda +1\right).$$

因此 1 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $n-1$ 重特征值,-1 是 $\mathbf{A}$ 的单特征值.

例 6.21 假定 $a_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 都是实数,且 $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ . 试求下列矩阵的特征值:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1^2+1& a_1{a}_2+1& \cdots & a_1{a}_n+1\\ a_2{a}_1+1& a_2^2+1& \cdots & a_2{a}_n+1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n{a}_1+1& a_n{a}_2+1& \cdots & a_n^2+1\end{array}\right).$$

解 矩阵 $\mathbf{A}$ 可以分解为 $\mathbf{A}=\mathbf{BC}$ ,其中

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}{a}_1& 1\\ a_2& 1\\ ⋮& ⋮\\ a_n& 1\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right).$$

由例 6.19 可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BC}\right|={\lambda }^{n-2}\left|\lambda {\mathbf{I}}_2-\mathbf{CB}\right|.$$

注意到 $a_1+a_2+\cdots +a_n=0$ ,有

$$\mathbf{CB}=\left(\begin{array}{cc}{a}_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2& 0\\ 0& n\end{array}\right),$$

因此 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $0\left(n-2\text{重}\right),n,a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2$ .

在例 6.19 的证法 2 中, 我们用了分块矩阵的方法, 这在矩阵特征值的理论分析中是一个常用的方法. 为了使读者有更深的印象, 我们再给出下面的例子.

例 6.22 设 $A,B,C$ 分别是 $m\times m,n\times n,m\times n$ 矩阵. 又已知 $AC=CB$ , $\mathbf{C}$ 的秩等于 $r$ . 求证: $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 至少有 $r$ 个相同的特征值.

证明 首先对特殊的 $\mathbf{C}$ 进行证明,假设

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right),\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}\\ {\mathbf{B}}_{21}& {\mathbf{B}}_{22}\end{array}\right),$$

则

$$\mathbf{AC}=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{A}}_{11}& \mathbf{O}\\ {\mathbf{A}}_{21}& \mathbf{O}\end{array}\right),\mathbf{CB}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_{11}& {\mathbf{B}}_{12}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right).$$

由 $\mathbf{AC}=\mathbf{CB}$ 得 ${\mathbf{A}}_{11}={\mathbf{B}}_{11},{\mathbf{A}}_{21}=\mathbf{O},{\mathbf{B}}_{12}=\mathbf{O}$ . 显然, $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 至少有 $r$ 个相同的特征值.

现来证明一般情形. 因为 $\mathbf{C}$ 的秩等于 $r$ ,不妨设 $\mathbf{C}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)\mathbf{Q}$ ,其中 $\mathbf{P}$ 是 $m$ 阶可逆矩阵, $\mathbf{Q}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵,则

$$AC=AP\left(\begin{array}{ll}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q=CB=P\left(\begin{array}{ll}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)QB.$$

于是

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)\mathbf{QB}{\mathbf{Q}}^{-1}.$$

由前面的证明, ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 和 $\mathbf{QB}{\mathbf{Q}}^{-1}$ 至少有 $r$ 个相同的特征值,因此 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 至少有 $r$ 个相同的特征值.

5. 交换性和公共特征向量

两个或多个矩阵有公共特征向量的问题和矩阵乘法交换性有密切关系, 这个问题还和矩阵的同时上三角化 (对角化) 有关, 下面是 3 个最基本的结论. 在例 6.23 中, 我们采用了不变子空间的方法, 这是解决这类问题的常用方法, 我们以后还会遇到.

例 6.23 设 $\phi ,\psi$ 是复线性空间 $V$ 上可交换的线性变换,即 $\phi \psi =\psi \phi$ ,求证: $\phi$ 和 $\psi$ 至少有一个公共的特征向量.

证明 由代数基本定理以及线性方程组的求解理论可知, 维数大于零的复线性空间上的线性变换或复矩阵至少有一个特征值和特征向量. 任取线性变换 $\phi$ 的一个特征值 ${\lambda }_0$ ,设 $V_0$ 是特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间. 显然, $V_0$ 是 $\phi$ 的不变子空间. 另一方面,对任意的 $\mathbf{x}\in V_0$ ,有

$$\phi \psi \left(\mathbf{x}\right)=\psi \phi \left(\mathbf{x}\right)=\psi \left({\lambda }_0\mathbf{x}\right)={\lambda }_0\psi \left(\mathbf{x}\right),$$

即 $\psi \left(\mathbf{x}\right)\in V_0$ ,因此 $V_0$ 也是 $\psi$ 的不变子空间. 将线性变换 $\psi$ 限制在 $V_0$ 上,由于 $V_0$ 是维数大于零的复线性空间,故 ${\psi |}_{V_0}$ 至少有一个特征值 ${\mu }_0$ 以及特征向量 $\alpha \in V_0$ . 因此 $\phi \left(\alpha \right)={\lambda }_0\alpha ,\psi \left(\alpha \right)={\mu }_0\alpha$ ,从而 $\alpha$ 就是 $\phi$ 和 $\psi$ 的公共特征向量.

注 (1) 例 6.23 的代数版本是: 若复矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 可交换,即 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ,则 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 至少有一个公共的特征向量. 在代数版本的证明中,如果直接将矩阵 $\mathbf{A}$ 看成是复列向量空间上的线性变换,当然可以不必采用 $\phi$ 等线性变换的记号,但需要提请读者注意的是, $\mathbf{A}$ 在不变子空间 $V_0$ 上的限制只能理解成线性变换在不变子空间上的限制,而不是矩阵在不变子空间上的限制. 那如何得到 $\mathbf{A}$ 在不变子空间上限制的表示矩阵 (阶数变小了) 呢? 请读者自己思考这个问题.

(2) 例 6.23 的结论对一般的数域是不成立的. 例如, $\mathbf{A}={\mathbf{I}}_2,\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ , $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 显然可交换,但它们在有理数域或实数域上没有公共的特征向量. 事实上, $\mathbf{B}$ 在有理数域或实数域上都没有特征值 (它的特征值是 $\pm \mathrm{i}$ ),从而也没有特征向量,所以更谈不上公共的特征向量了. 为了把例 6.23 的结论推广到数域 $\mathbb{F}$ 上,我们必须假设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,这也是后面几道相关例题中所必需的条件.

例 6.24 设 $\phi ,\psi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$ 上可交换的线性变换,且 $\phi ,\psi$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,求证: $\phi$ 和 $\psi$ 至少有一个公共的特征向量.

证明 由线性方程组的求解理论可知,若数域 $\mathbb{F}$ 上的线性变换或 $\mathbb{F}$ 上的矩阵在 $\mathbb{F}$ 中有一个特征值,则在 $\mathbb{F}$ 上的线性空间或 $\mathbb{F}$ 上的列向量空间中必存在对应的特征向量. 任取线性变换 $\phi$ 的一个特征值 ${\lambda }_0\in \mathbb{F}$ ,设 $V_0$ 是特征值 ${\lambda }_0$ 的特征子空间. 显然, $V_0$ 是 $\phi$ 的不变子空间. 另一方面,对任意的 $\mathbf{x}\in V_0$ ,有

$$\phi \psi \left(\mathbf{x}\right)=\psi \phi \left(\mathbf{x}\right)=\psi \left({\lambda }_0\mathbf{x}\right)={\lambda }_0\psi \left(\mathbf{x}\right),$$

即 $\psi \left(\mathbf{x}\right)\in V_0$ ,因此 $V_0$ 也是 $\psi$ 的不变子空间. 取 $V_0$ 的一组基并扩张为 $V$ 的一组基, 则 $\psi$ 在这组基下的表示矩阵为分块对角矩阵

$$\left(\begin{array}{ll}A& C\\ O& B\end{array}\right)$$

其中 $\mathbf{A}$ 是线性变换 $\psi$ 限制在 $V_0$ 上在给定基下的表示矩阵,于是 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_V-\psi \right|=$ $\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}\right|\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{B}\right|$ . 因为 $\psi$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,故 $\mathbf{A}$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,即 ${\psi |}_{V_0}$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中. 任取 ${\psi |}_{V_0}$ 的一个特征值 ${\mu }_0\in \mathbb{F}$ 以及特征向量 $\alpha \in V_0$ . 因此 $\phi \left(\alpha \right)={\lambda }_0\alpha ,\psi \left(\alpha \right)={\mu }_0\alpha$ ,从而 $\alpha$ 就是 $\phi$ 和 $\psi$ 的公共特征向量.

例 6.24 的代数版本是: 若数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 可交换,且它们的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 在 ${\mathbb{F}}^n$ 中至少有一个公共的特征向量.

例 6.25 若复矩阵 $\left\{{\mathbf{A}}_i\mid i=1,\cdots ,m\right\}$ 两两可交换,求证: 它们至少有一个公共的特征向量.

证明 对 $m$ 进行归纳, $m=2$ 时就是例 6.23. 设矩阵个数小于 $m$ 时结论成立, 现证 $m$ 个矩阵的情形. 将所有的 ${\mathbf{A}}_i$ 都看成是复列向量空间 $V$ 上的线性变换,设 $V_1$ 是 ${\mathbf{A}}_1$ 的某个特征子空间,则由例 6.23 类似的讨论可知, $V_1$ 是 ${\mathbf{A}}_i\left(i=2,\cdots ,m\right)$ 的不变子空间. 将 ${\mathbf{A}}_i\left(i=2,\cdots ,m\right)$ 限制在 $V_1$ 上,它们仍然是两两可交换的,由归纳假设可得 ${{\mathbf{A}}_i|}_{V_1}\left(i=2,\cdots ,m\right)$ 有公共的特征向量 $\alpha \in V_1$ ,这说明 $\alpha$ 也是 ${\mathbf{A}}_1$ 的特征向量,从而 $\alpha$ 是 ${\mathbf{A}}_i\left(i=1,\cdots ,m\right)$ 的公共特征向量.

例 6.25 在数域 $\mathbb{F}$ 上的推广是: 若 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $\left\{{\mathbf{A}}_i\mid i=1,\cdots ,m\right\}$ 两两可交换,且它们的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,则它们在 ${\mathbb{F}}^n$ 中至少有一个公共的特征向量.

6. 特征值的估计

例 6.26 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,若对任意的 $i=1,2,\cdots ,n$ ,有

$$a_{ii}>\sum _{j=1,j\ne i}^n\left|a_{ij}\right|$$

则称 $\mathbf{A}$ 是严格对角占优矩阵. 求证: 严格对角占优矩阵的特征值的实部都是正实数, 因此不等于零, 从而严格对角占优矩阵必是可逆矩阵.

证明 由第一圆盘定理, $\mathbf{A}$ 的特征值落在下列圆盘中:

$$\left|z-a_{ii}\right|\le R_i,i=1,2,\cdots ,n.$$

而 $a_{ii}>R_i\ge 0$ ,故 $\mathbf{A}$ 的特征值的实部必是正数.

在一些问题中引进参变量 $t$ ,利用连续性来证明某些结论也是一种常用的方法 (可以看成是某种摄动法), 下面我们用这个方法来估计特征值的范围.

例 6.27 如果圆盘定理中有一个连通分支由两个圆外切组成. 证明: 每个圆内部 (不包括圆周) 不可能有两个特征值.

证明 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ ,令

$$\mathbf{A}\left(t\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& t{a}_{12}& \cdots & t{a}_{1n}\\ t{a}_{21}& a_{22}& \cdots & t{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ t{a}_{n1}& t{a}_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

由第一圆盘定理, $\mathbf{A}\left(t\right)$ 的特征值落在下列圆盘中:

$$\left|z-a_{ii}\right|\le t{R}_i,i=1,2,\cdots ,n.$$

当 $t<1$ 时, $\mathbf{A}\left(t\right)$ 的特征值在圆 $\left|z-a_{ii}\right|=R_i$ 的内部. 而特征值的变化对 $t$ 而言是连续的,因此当 $t=1$ 时,特征值也不会越出圆外.

6.2.2 相似矩阵和对角化

1. 过渡矩阵 $\mathbf{P}$ 的计算

首先,我们介绍一下当矩阵相似于对角矩阵时求过渡矩阵的方法. 若 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n,\mathbf{P}$ 为可逆矩阵,且设 $\mathbf{P}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ 是 $\mathbf{P}$ 的列分块,有

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$$

则

$$\mathbf{AP}=\mathbf{P}\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$$

即

$$\left(\mathbf{A}{\alpha }_1,\mathbf{A}{\alpha }_2,\cdots ,\mathbf{A}{\alpha }_n\right)=\left({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,\cdots ,{\lambda }_n{\alpha }_n\right),$$

因此 $\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$ ,这表明 ${\alpha }_i$ 就是属于特征值 ${\lambda }_i$ 的特征向量. 于是 $\mathbf{P}$ 的 $n$ 个列向量就是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量.

注 因为特征向量不唯一,所以过渡矩阵 $\mathbf{P}$ 也不唯一.

例 6.28 矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵,它的特征值为 $1,1,3$ ,对应的特征向量依次为

$${\left(2,1,0\right)}^{\prime },{\left(-1,0,1\right)}^{\prime },{\left(0,1,1\right)}^{\prime },$$

求出矩阵 $\mathbf{A}$ .

解 因为 $\mathbf{A}$ 的这 3 个特征向量线性无关,因此必相似于对角矩阵,即有

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

而根据上面的分析, 有

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

求得

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 5& -2\\ -2& 4& -1\end{array}\right).\square$$

例 6.29 已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& 5\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& y\end{array}\right)$ 相似.

(1) 求 $y$ 的值;

(2) 求一个满足 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{B}$ 的可逆矩阵 $\mathbf{P}$ .

解 (1) 相似的矩阵具有相等的迹,因此 $4+y=10,y=6$ .

(2) 当 $\mathbf{A}$ 的特征值为 2 时,解线性方程组 $\left(2\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)\mathbf{x}=0$ 得基础解系:

$${\beta }_1={\left(1,-1,0\right)}^{\prime },{\beta }_2={\left(1,1,2\right)}^{\prime }.$$

当 $\mathbf{A}$ 的特征值为 6 时,解线性方程组 $\left(6\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)\mathbf{x}=0$ 得基础解系:

$${\beta }_3={\left(1,-2,3\right)}^{\prime }$$

因此

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& 1& -2\\ 0& 2& 3\end{array}\right).\square$$

例 6.30 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ -k& -1& k\\ 4& 2& -3\end{array}\right)$ ,当 $k$ 为何值时,存在可逆阵 $\mathbf{P}$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$

是对角阵? 求出 $\mathbf{P}$ 和对角阵.

解 经计算可得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_3-\mathbf{A}\right|=\left(\lambda -1\right){\left(\lambda +1\right)}^2$ ,因此 $\mathbf{A}$ 的特征值为 1 (1 重),-1 (2 重). 对单特征值 1,其几何重数与代数重数必相等; 而要使 $\mathbf{A}$ 可对角化,特征值 -1 的几何重数必须等于 2 才行, 从而有

$$\mathrm{r}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_3\right)=\mathrm{r}\left(\begin{array}{ccc}4& 2& -2\\ -k& 0& k\\ 4& 2& -2\end{array}\right)=1$$

于是 $k=0$ . 最后可解出特征值 1 的特征向量为 ${\left(1,0,1\right)}^{\prime }$ ; 特征值 -1 的两个线性无关的特征向量为 ${\left(-1,2,0\right)}^{\prime },{\left(1,0,2\right)}^{\prime }$ ,因此

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right),{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

2. 用迹来判定矩阵不相似

相似的矩阵具有相同的迹, 因此若两个矩阵的迹不同, 则它们必不相似. 用这个结论来判断两个矩阵不相似是很简便的.

例 6.31 对任意 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ ,求证: $\mathbf{AB}-\mathbf{BA}$ 必不相似于 $k{\mathbf{I}}_n$ ,其中 $k$ 是非零常数.

证明 注意到 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{AB}-\mathbf{BA}\right)=0$ ,又 $\mathrm{tr}k{\mathbf{I}}_n=nk\ne 0$ . 而相似矩阵有相同的迹, 因此 $\mathbf{AB}-\mathbf{BA}$ 和 $k{\mathbf{I}}_n$ 不相似.

3. 对角化

矩阵或线性变换的可对角化判定是高等代数的一个重要知识点. 由于判定准则多,技巧性强,故可对角化判定一直是教学及考试中的难点和热点. 一般来说,判定 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}$ (或 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ ) 是否可对角化,通常有下列 6 种方法:

(1) $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量;

(2) 若 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值,则 $\mathbf{A}$ 可对角化;

(3) $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 ${\mathbb{C}}^n$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征子空间的直和;

(4) $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{A}$ 有完全的特征向量系,即对 $\mathbf{A}$ 的任一特征值, 其几何重数等于其代数重数;

(5) $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的极小多项式无重根;

(6) $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 块都是一阶的 (或 $\mathbf{A}$ 的初等因子都是一次多项式).

上述第五、第六种方法将放在第 7 章进行探讨. 下面我们将按照判定可对角化的前 4 种方法对相关例题进行分类阐述.

寻找 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量,等价于寻找 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 为对角矩阵. 下面来看两个典型的例题.

例 6.32 求证: 复数域上 $n$ 阶循环矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)$$

可对角化. 求出它相似的对角矩阵及过渡矩阵.

证明 设 $f\left(x\right)=a_1+a_{2}x+\cdots +a_n{x}^{n-1},{\omega }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi }{n},k=$ $0,1,\cdots ,n-1$ ,则

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& a_2& \cdots & a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_2& a_3& a_4& \cdots & a_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ {\omega }_k\\ ⋮\\ {\omega }_k^{n-1}\end{array}\right)=f\left({\omega }_k\right)\left(\begin{array}{c}1\\ {\omega }_k\\ ⋮\\ {\omega }_k^{n-1}\end{array}\right).$$

这表明, ${\left(1,{\omega }_k,\cdots ,{\omega }_k^{n-1}\right)}^{\prime }$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于特征值 $f\left({\omega }_k\right)$ 的特征向量. 令

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\omega }_1& \cdots & {\omega }_{n-1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\omega }_1^{n-1}& \cdots & {\omega }_{n-1}^{n-1}\end{array}\right)$$

由 Vander Monde 行列式易知 $\left|\mathbf{P}\right|\ne 0$ ,从而这 $n$ 个特征向量线性无关,因此 $\mathbf{A}$ 可对角化, 且有

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left\{f\left(1\right),f\left({\omega }_1\right),\cdots ,f\left({\omega }_{n-1}\right)\right\}.$$

例 6.33 设 $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化,证明: 矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^2\\ {\mathbf{A}}^2& \mathbf{A}\end{array}\right)$ 也可对角化.

证明 因为 $\mathbf{A}$ 可对角化,故可设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量,满足 $\mathbf{A}{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i\left(1=1,2,\cdots ,n\right)$ . 注意到

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^2\\ {\mathbf{A}}^2& \mathbf{A}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i\\ {\alpha }_i\end{array}\right)=\left({\lambda }_i+{\lambda }_i^2\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i\\ {\alpha }_i\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^2\\ {\mathbf{A}}^2& \mathbf{A}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i\\ -{\alpha }_i\end{array}\right)=\left({\lambda }_i-{\lambda }_i^2\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i\\ -{\alpha }_i\end{array}\right).$$

通过定义不难验证 $\left(\begin{array}{l}{\alpha }_i\\ {\alpha }_i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{\alpha }_i\\ -{\alpha }_i\end{array}\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是线性无关的,因此 $\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^2\\ {\mathbf{A}}^2& \mathbf{A}\end{array}\right)$ 有 $2n$ 个线性无关的特征向量,从而可对角化.

由于属于不同特征值的特征向量线性无关,故若 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值,则 $\mathbf{A}$ 必有 $n$ 个线性无关的特征向量,从而可对角化. 注意到 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值只是可对角化的充分条件, 而并非必要条件. 不过在做题的过程中, 这个判定方法还是很有用的, 让我们来看下面几道例题.

例 6.34 设 $\mathbf{A}$ 是实二阶矩阵且 $\left|\mathbf{A}\right|<0$ ,求证: $\mathbf{A}$ 实相似于对角矩阵.

证明 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

由 $\left|\mathbf{A}\right|<0$ 得 $ad-bc<0$ . 又

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_2-\mathbf{A}\right|={\lambda }^2-\left(a+d\right)\lambda +\left(ad-bc\right),$$

上述关于 $\lambda$ 的二次方程其判别式大于零, $\mathbf{A}$ 有两个不相等的实根,因此 $\mathbf{A}$ 实相似于对角矩阵.

例 6.35 设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶矩阵, $A,B$ 各有 $n$ 个不同的特征值,又 $f\left(\lambda \right)$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式,且 $f\left(\mathbf{B}\right)$ 是可逆矩阵. 求证: 矩阵

$$M=\left(\begin{array}{ll}A& C\\ O& B\end{array}\right)$$

相似于对角矩阵.

证明 设 $\mu$ 是 $\mathbf{B}$ 的任意一个特征值,则 $f\left(\mu \right)$ 是 $f\left(\mathbf{B}\right)$ 的特征值. 由于 $f\left(\mathbf{B}\right)$ 可逆,故 $f\left(\mathbf{B}\right)$ 没有零特征值,也就是说 $f\left(\mu \right)\ne 0$ ,即 $\mu$ 不是 $\mathbf{A}$ 的特征值,于是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的特征值互不相同. 而

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_{2n}-\mathbf{M}\right|=\left|\begin{array}{cc}\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\end{array}\right|=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{B}\right|,$$

显然,矩阵 $\mathbf{M}$ 有 $2n$ 个不同的特征值,必相似于对角矩阵.

例 6.36 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵, $A,B$ 有相同的特征值,且这 $n$ 个特征值互不相等. 求证: 存在 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ ,使 $\mathbf{A}=\mathbf{PQ},\mathbf{B}=\mathbf{QP}$ .

证明 由已知,矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 相似于同一个对角矩阵,因此 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似. 不妨设 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ ,令 $\mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}$ ,则 $\mathbf{PQ}=\mathbf{A},\mathbf{QP}=\mathbf{B}$ .

例 6.37 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶矩阵,若 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值且 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ,求证: $\mathbf{B}$ 相似于对角矩阵.

证法 1 (几何方法) 因为 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值,故 $\mathbf{A}$ 可对角化. 令 $V$ 是复 $n$ 维列向量空间,将 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 看成是 $V$ 上的线性变换. 又设 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ , 相应的特征向量为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ,则 ${\lambda }_i$ 的特征子空间 $V_i=L\left({\alpha }_i\right),i=1,\cdots ,n$ ,且

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_n$$

注意到

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{B}{\alpha }_i\right)=\mathbf{B}\left(\mathbf{A}{\alpha }_i\right)=\mathbf{B}\left({\lambda }_i{\alpha }_i\right)={\lambda }_i\left(\mathbf{B}{\alpha }_i\right),$$

即 $\mathbf{B}{\alpha }_i\in V_i$ ,从而 $V_i$ 是 $\mathbf{B}$ 的不变子空间. 将 $\mathbf{B}$ 限制在 $V_i$ 上,这是一维线性空间 $V_i$ 上的线性变换,从而只能是数乘变换,即存在 ${\mu }_i$ ,使得 $\mathbf{B}{\alpha }_i={\mu }_i{\alpha }_i$ ,于是 ${\alpha }_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ 也是 $\mathbf{B}$ 的特征向量. 由此可见, $\mathbf{B}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量,从而 $\mathbf{B}$ 可对角化. 事实上,我们得到了一个更强的结果: $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 可同时对角化,即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ 和 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}=\mathrm{diag}\left\{{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right\}$ 都是对角矩阵.

证法 2 (代数方法) 因为 $\mathbf{A}$ 可对角化,存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2$ , $\cdots ,{\lambda }_n\}{\mathbf{P}}^{-1}$ . 由 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ,得

$$\mathbf{P}\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{B}=\mathbf{BP}\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}{\mathbf{P}}^{-1},$$

或

$$\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}.$$

由于 $\mathbf{B}$ 和 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}$ 相似,上式表明问题可以归结为假定 $\mathbf{A}$ 是对角矩阵. 现设 $\mathbf{A}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ ,

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right)$$

则

$$\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1{b}_{11}& {\lambda }_1{b}_{12}& \cdots & {\lambda }_1{b}_{1n}\\ {\lambda }_2{b}_{21}& {\lambda }_2{b}_{22}& \cdots & {\lambda }_2{b}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_n{b}_{n1}& {\lambda }_n{b}_{n2}& \cdots & {\lambda }_n{b}_{nn}\end{array}\right).$$

而

$$\mathbf{B}\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1{b}_{11}& {\lambda }_2{b}_{12}& \cdots & {\lambda }_n{b}_{1n}\\ {\lambda }_1{b}_{21}& {\lambda }_2{b}_{22}& \cdots & {\lambda }_n{b}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1{b}_{n1}& {\lambda }_2{b}_{n2}& \cdots & {\lambda }_n{b}_{nn}\end{array}\right)$$

比较元素得 ${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ij}$ . 对任意的 $i\ne j$ ,因为 ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$ ,所以得 $b_{ij}=0\left(i\ne j\right)$ , 即 $\mathbf{B}$ 必是对角矩阵.

例 6.38 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵且有 $n$ 个不同的特征值,若 $\mathbf{B}$ 也是 $n$ 阶矩阵且 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ,求证: 存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f\left(x\right)$ ,使 $\mathbf{B}=f\left(\mathbf{A}\right)$ .

证明 由上题知 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 可以同时对角化,即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right),{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\mu }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\mu }_n\end{array}\right),$$

其中 ${\lambda }_i$ 及 ${\mu }_i$ 分别是 $\mathbf{A}$ 及 $\mathbf{B}$ 的特征值. 已知 ${\lambda }_i$ 互不相同,因此由第 4 章例 4.8 (Lagrange 插值定理) 知,存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f\left(x\right)$ ,使 $f\left({\lambda }_i\right)={\mu }_i$ . 于是

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}=f\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)={\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P},$$

即有 $\mathbf{B}=f\left(\mathbf{A}\right)$ .

若 $\mathbf{A}$ 可对角化,则对任意的多项式 $f\left(x\right),f\left(\mathbf{A}\right)$ 也可对角化. 事实上,设 $\mathbf{P}$ 为可逆矩阵,使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ 为对角矩阵,则 ${\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P}=$ $f\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)=\mathrm{diag}\left\{f\left({\lambda }_1\right),f\left({\lambda }_2\right),\cdots ,f\left({\lambda }_n\right)\right\}$ 也为对角矩阵. 这一结论提醒我们,在处理对角化问题时, 如能将矩阵写成可对角化矩阵的多项式, 则往往讨论起来更加方便. 我们来看如下几个例子.

例 6.39 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶复矩阵且有 $n$ 个不同的特征值,求证: $n$ 阶复矩阵 $\mathbf{B}$ 可对角化的充要条件是存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f\left(x\right)$ ,使得 $\mathbf{B}$ 相似于 $f\left(\mathbf{A}\right)$ .

证明 先证充分性. 由于 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值,故 $\mathbf{A}$ 可对角化,从而 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 也可对角化,而 $\mathbf{B}$ 相似于 $\mathbf{f}\left(\mathbf{A}\right)$ ,于是 $\mathbf{B}$ 也可对角化. 再证必要性. 设 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$ 为可逆矩阵, 使得

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right),{\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\mu }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\mu }_n\end{array}\right),$$

其中 ${\lambda }_i$ 及 ${\mu }_i$ 分别是 $\mathbf{A}$ 及 $\mathbf{B}$ 的特征值. 已知 ${\lambda }_i$ 互不相同,因此由第 4 章例 4.8 (Lagrange 插值定理) 知,存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f\left(x\right)$ ,使 $f\left({\lambda }_i\right)={\mu }_i$ . 于是

$${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}=f\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)={\mathbf{P}}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P},$$

即有 $\mathbf{B}={\left(\mathbf{P}{\mathbf{Q}}^{-1}\right)}^{-1}f\left(\mathbf{A}\right)\left(\mathbf{P}{\mathbf{Q}}^{-1}\right)$ ,从而 $\mathbf{B}$ 相似于 $f\left(\mathbf{A}\right)$ .

下面的推论是例 6.32 的推广.

推论 $n$ 阶复方阵 $\mathbf{B}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{B}$ 相似于某个循环矩阵.

证明 设 $\mathbf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{I}}_{n-1}\\ 1& \mathbf{O}\end{array}\right)$ ,经简单计算可得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{J}\right|={\lambda }^n-1$ ,于是 $\mathbf{J}$ 有 $n$ 个不同的特征值. 对任一循环矩阵 $\mathbf{C}$ ,由例 2.12 可知,存在次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f\left(x\right)$ ,使得 $\mathbf{C}=f\left(\mathbf{J}\right)$ . 于是本推论是例 6.39 的直接推论.

例 6.33 的证法 2 容易验证 $\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_n& {\mathbf{I}}_n\\ {\mathbf{I}}_n& -{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_n& {\mathbf{I}}_n\\ {\mathbf{I}}_n& -{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)$ . 考虑如下相似变换:

$$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_n& {\mathbf{I}}_n\\ {\mathbf{I}}_n& -{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& {\mathbf{A}}^2\\ {\mathbf{A}}^2& \mathbf{A}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_n& {\mathbf{I}}_n\\ {\mathbf{I}}_n& -{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{A}-{\mathbf{A}}^2\end{array}\right).$$

显然 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2,\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^2$ 作为 $\mathbf{A}$ 的多项式也可对角化,故原矩阵可对角化. 具体地, 设 $\mathbf{P}$ 为可逆矩阵,使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$ 为对角矩阵,则

$$\left(\begin{array}{cc}{P}^{-1}& O\\ O& P^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A+A^2& O\\ O& A-A^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}P& O\\ O& P\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A+A^2& O\\ O& A-A^2\end{array}\right)$$

为对角矩阵, 因此原矩阵可对角化.

例 6.40 设 $a,b,c$ 为复数且 $bc\ne 0$ ,证明下列 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化:

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccccc}a& b& & & & \\ c& a& b& & & \\ & c& a& b& & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c& a& b\\ & & & & c& a\end{array}\right).$$

证明 我们先来计算 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|$ . 设 $x_1,x_2$ 是二次方程 $x^2-$ $\left(\lambda -a\right)x+bc=0$ 的两个根,则由例 1.23 可得

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=\frac{x_1^{n+1}-x_2^{n+1}}{x_1-x_2}.$$

注意到 $x_1,x_2$ 都是关于 $\lambda$ 的连续函数,要求 $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ ,即是求 $\lambda$ 的值,使得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=0$ ,而这也等价于 $x_1^{n+1}=x_2^{n+1}$ . 令 $\omega =\cos \frac{2\pi }{n+1}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{n+1}$ 为 1 的 $n+1$ 次方根,则由 $x_1^{n+1}=x_2^{n+1}$ 可得 $x_1=x_2{\omega }^k\left(k=1,\cdots ,n\right)$ . 由 Vieta 定理可得 $x_1{x}_2=bc$ ,在选定 $bc$ 的某一平方根 $\sqrt{bc}$ 之后,可解出

$$x_1=\sqrt{bc}\left(\cos \frac{k\pi }{n+1}+\mathrm{i}\sin \frac{k\pi }{n+1}\right),x_2=\sqrt{bc}\left(\cos \frac{k\pi }{n+1}-\mathrm{i}\sin \frac{k\pi }{n+1}\right),k=1,\cdots ,n.$$

再次由 Vieta 定理可得 $\lambda -a=x_1+x_2=2\sqrt{bc}\cos \frac{k\pi }{n+1}$ ,即 $\lambda =a+2\sqrt{bc}\cos \frac{k\pi }{n+1}$ , $k=1,\cdots ,n$ . 易证上述 $n$ 个数的确是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个不同的特征值,从而 $\mathbf{A}$ 可对角化.

例 4.47 的证法 2 根据假设,线性变换 $\phi$ 在 $V$ 的一组基 $\left\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right\}$ 下的表示矩阵是对角矩阵 $\mathrm{diag}\left\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right\}$ ,且 ${\lambda }_i$ 互不相同,因此 $\phi$ 有 $n$ 个不同的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,且 $\phi \left({\mathbf{e}}_i\right)={\lambda }_i{\mathbf{e}}_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ,从而 $\phi$ 可对角化. 此时特征值 ${\lambda }_i$ 的特征子空间 $V_i=L\left({\mathbf{e}}_i\right)$ ,并且 $V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_n$ .

任取 $\phi$ 的不变子空间 $U$ 以及 $U$ 上的一组基,并将这组基扩张为 $V$ 的一组基, 于是 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵是分块上三角矩阵 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ ,其中 ${\mathbf{A}\text{ 是 }\phi |}_U$ 的表示矩阵,不妨设为 $r$ 阶矩阵. 考虑到

$$\left|\lambda {\mathbf{I}}_V-\phi \right|=\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}\right|\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{B}\right|=\left(\lambda -{\lambda }_1\right)\left(\lambda -{\lambda }_2\right)\cdots \left(\lambda -{\lambda }_n\right),$$

故 $\mathbf{A}$ 或 ${\phi |}_U$ 有 $r$ 个不同的特征值,设为 ${\lambda }_{i_1},{\lambda }_{i_2},\cdots ,{\lambda }_{i_r}$ . 考虑 ${\phi |}_U$ 关于特征值 ${\lambda }_{i_j}$ 的特征子空间 $U_{i_j}=\left\{\mathbf{u}\in U\mid \phi \left(\mathbf{u}\right)={\lambda }_{i_j}\mathbf{u}\right\}$ ,由于 $U_{i_j}=U\cap V_{i_j}$ 且 $\dim V_{i_j}=1$ ,故只能是 $U_{i_j}=V_{i_j}=L\left({\mathbf{e}}_{i_j}\right)\left(j=1,\cdots ,r\right)$ . 因为 ${\phi |}_U$ 有 $r$ 个不同的特征值,所以 ${\phi |}_U$ 可对角化, 于是

$$U=U_{i_1}\oplus U_{i_2}\oplus \cdots \oplus U_{i_r}=L\left({\mathbf{e}}_{i_1},{\mathbf{e}}_{i_2},\cdots ,{\mathbf{e}}_{i_r}\right).$$

例 4.47 的证法 2 的关键是利用了矩阵或线性变换可对角化当且仅当全空间等于特征子空间的直和这一判定准则, 它给了我们很多几何想象的空间. 下面我们再给出一个运用这一判定准则的例题, 更多的相关应用将在第 7 章进一步探讨.

例 6.41 设 $\mathbf{A}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵,求证:

(1) 若 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^2={\mathbf{I}}_n$ ,则 $\mathbf{A}$ 必可对角化;

(2) 若 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$ ,则 $\mathbf{A}$ 必可对角化.

证明 (1) 由例 6.10 可知, $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 适合 ${\lambda }^2=1$ ,因此 $\lambda$ 为 1 或 -1 . 将 $\mathbf{A}$ 看成是列向量空间 ${\mathbb{F}}^n$ 上的线性变换,注意到特征值 1 的特征子空间为 $\mathrm{Ker}\left(\mathbf{A}-\mathbf{I}\right)$ ,特征值 -1 的特征子空间为 $\mathrm{Ker}\left(\mathbf{A}+\mathbf{I}\right)$ ,又由例 5.74 可得 ${\mathbb{F}}^n=\mathrm{Ker}\left(\mathbf{A}-\mathbf{I}\right)\oplus \mathrm{Ker}\left(\mathbf{A}+\mathbf{I}\right)$ , 即全空间等于特征子空间的直和,因此 $\mathbf{A}$ 可对角化.

(2) 用和 (1) 类似的方法即得.

验证矩阵或线性变换是否有完全的特征向量系, 无论从计算的层面上看 (如例 6.30), 还是从证明的层面上看, 这都是一个十分实用的判定可对角化的方法. 下面我们来看几道典型的例题.

例 6.42 若矩阵 $A,B$ 有完全的特征向量系,求证: $\left(\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right)$ 也有完全的特征向量系.

证明 因为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 有完全的特征向量系,故相似于对角矩阵. 设 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 和 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}$ 是对角矩阵,则

$${\left(\begin{array}{ll}P& O\\ O& Q\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}P& O\\ O& Q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{P}^{-1}AP& O\\ O& Q^{-1}BQ\end{array}\right)$$

是对角矩阵. 因此 $\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ 有完全的特征向量系.

例 6.43 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& -{\mathbf{I}}_{n-r}\end{array}\right)$ ,求证: $\mathbf{A}$ 可对角化.

证法 1 显然 $\mathbf{A}$ 有特征值 $1\left(r\text{重}\right)$ 与 $-1\left(n-r\text{重}\right)$ . 注意到矩阵 ${\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}=$ $\left(\begin{array}{cc}O& -B\\ O& 2I_{n-r}\end{array}\right)$ 的秩等于 $n-r$ ,因此特征值 1 的几何重数等于 $n-\mathrm{r}\left(I_n-A\right)=r$ ,与其代数重数相等. 同理可证明特征值 -1 的几何重数为 $n-r$ ,也和其代数重数相同. 因此 $\mathbf{A}$ 可对角化,且相似于对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& -{\mathbf{I}}_{n-r}\end{array}\right)$ .

证法 2 容易看出 ${\mathbf{A}}^2={\mathbf{I}}_n$ ,由例题 6.41 可知 $\mathbf{A}$ 可对角化.

证法 3 由 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& \frac{1}{2}B\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_r& B\\ O& -I_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_r& -\frac{1}{2}B\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& -I_{n-r}\end{array}\right)$ 即得. $\square$

下面这道例题是例 6.35 和例 6.43 的推广.

例 6.44 设 $m$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{B}$ 没有公共的特征值,且 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均可对角化,又 $\mathbf{C}$ 为 $m\times n$ 矩阵,求证: $\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ 也可对角化.

证明 任取 $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_0$ ,记其代数重数为 $m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ ,几何重数为 $t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ . 首先注意到 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值,故 ${\lambda }_0$ 不是 $\mathbf{B}$ 的特征值,又 $\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{M}\right|=$ $\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}\right|\left|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{B}\right|$ ,从而 $m_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ . 由于 ${\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}$ 是非异阵,故有如下分块矩阵的初等变换:

$${\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\end{array}\right).$$

因为矩阵的秩在分块初等变换下不变, 故由矩阵秩的等式可得

$$\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}\right)=\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)+\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\right)=\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)+n,$$

于是 $t_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=\left(m+n\right)-\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}\right)=m-\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)=t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ . 因为 $\mathbf{A}$ 可对角化,所以 $\mathbf{A}$ 有完全的特征向量系,从而 $m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)=t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)$ ,于是 $m_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=t_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)$ . 同理可证,对 $\mathbf{B}$ 的任一特征值 ${\mu }_0$ ,成立 $m_{\mathbf{M}}\left({\mu }_0\right)=t_{\mathbf{M}}\left({\mu }_0\right)$ . 因此 $\mathbf{M}$ 有完全的特征向量系, 从而可对角化.

在某种意义下, 例 6.45 可以看成是例 6.44 的逆命题.

例 6.45 设 $\mathbf{A}$ 为 $m$ 阶矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵, $\mathbf{C}$ 为 $m\times n$ 矩阵, $\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right)$ , 求证: 若 $\mathbf{M}$ 可对角化,则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均可对角化.

证明 任取 $\mathbf{M}$ 的特征值 ${\lambda }_0$ ,并采用与例 6.44 的证明相同的记号. 由于 $\mid \lambda \mathbf{I}-$ $\mathbf{M}\left|=\right|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}\left|\right|\lambda \mathbf{I}-\mathbf{B}\mid$ ,故有 $m_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)+m_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)$ . 考虑如下分块矩阵:

$${\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}& -\mathbf{C}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\end{array}\right),$$

由矩阵秩的不等式 (例 3.60) 可得

$$\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}\right)\ge \mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)+\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\right),$$

于是 $t_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=\left(m+n\right)-\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{M}\right)\le \left(m-\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{A}\right)\right)+\left(n-\mathrm{r}\left({\lambda }_0\mathbf{I}-\mathbf{B}\right)\right)=$ $t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)+t_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)$ . 由于几何重数总是小于等于代数重数,故有

$$t_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)\le t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)+t_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)\le m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)+m_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right).$$

因为 $\mathbf{M}$ 可对角化,所有 $\mathbf{M}$ 有完全的特征向量系,从而 $t_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{M}}\left({\lambda }_0\right)$ ,再由上述不等式可得 $t_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{A}}\left({\lambda }_0\right),t_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{B}}\left({\lambda }_0\right)$ . 由 ${\lambda }_0$ 的任意性即知, $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均有完全的特征向量系, 从而均可对角化.

例 6.46 设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 阶复矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $n\times m$ 阶复矩阵,又 $\left|\mathbf{BA}\right|\ne 0$ ,求证: $\mathbf{AB}$ 可对角化的充要条件是 $\mathbf{BA}$ 可对角化.

证明 由例 6.19 可得 $\left|\lambda I_m-AB\right|={\lambda }^{m-n}\left|\lambda I_n-BA\right|$ ,因此 $AB$ 的特征值为 $\mathbf{BA}$ 的特征值以及 0 . 由于 $\mathbf{BA}$ 非异,故其特征值全部非零,从而 0 作为 $\mathbf{AB}$ 的特征值,其代数重数为 $m-n$ . 另一方面,我们有

$$n=\mathrm{r}\left(\mathbf{BA}\right)\le \min \{\mathrm{r}\left(\mathbf{A}\right),\mathrm{r}\left(\mathbf{B}\right)\}\le \min \{m,n\}=n,$$

从而 $\mathrm{r}\left(\mathbf{A}\right)=\mathrm{r}\left(\mathbf{B}\right)=n$ . 再由 Sylvester 不等式 (例 3.64) 可得

$$n=\mathrm{r}\left(\mathbf{A}\right)+\mathrm{r}\left(\mathbf{B}\right)-n\le \mathrm{r}\left(\mathbf{AB}\right)\le \min \{\mathrm{r}\left(\mathbf{A}\right),\mathrm{r}\left(\mathbf{B}\right)\}=n,$$

从而 $\mathrm{r}\left(\mathbf{AB}\right)=n$ . 因此 0 作为 $\mathbf{AB}$ 的特征值,其几何重数为 $m-\mathrm{r}\left(\mathbf{AB}\right)=m-n$ , 即特征值 0 的代数重数等于几何重数. 任取 $\mathbf{BA}$ 的特征值 ${\lambda }_0$ ,它也是 $\mathbf{AB}$ 的非零特征值,显然 $m_{\mathbf{AB}}\left({\lambda }_0\right)=m_{\mathbf{BA}}\left({\lambda }_0\right)$ . 考虑如下分块矩阵的两种分块初等变换:

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m& \mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\end{array}\right);$$ $$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m-\frac{1}{{\lambda }_0}\mathbf{AB}& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_m-\frac{1}{{\lambda }_0}\mathbf{AB}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\lambda }_0{\mathbf{I}}_n\end{array}\right),$$

由矩阵秩的等式可得

$$m+\mathrm{r}\left({\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right)=n+\mathrm{r}\left({\mathbf{I}}_m-\frac{1}{{\lambda }_0}\mathbf{AB}\right)=n+\mathrm{r}\left({\lambda }_0{\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right),$$

于是 $t_{\mathbf{AB}}\left({\lambda }_0\right)=m-\mathrm{r}\left({\lambda }_0{\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right)=n-\mathrm{r}\left({\lambda }_0{\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right)=t_{\mathbf{BA}}\left({\lambda }_0\right)$ . 由 ${\lambda }_0$ 的任意性即知, $\mathbf{AB}$ 有完全的特征向量系当且仅当 $\mathbf{BA}$ 有完全的特征向量系,从而 $\mathbf{AB}$ 可对角化当且仅当 $\mathbf{BA}$ 可对角化.

由例 6.46 的结论,我们很容易证明例 6.21 中的矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化. 另外,我们还可以给出例 3.87 的另一解法.

例 3.87 的解法 2 经简单的计算可得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_3-\mathbf{AB}\right|=\lambda {\left(\lambda -9\right)}^2$ ,且特征值 9 的几何重数也等于 2,因此 $\mathbf{AB}$ 可对角化. 由例 6.19 可得 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_2-\mathbf{BA}\right|={\left(\lambda -9\right)}^2$ ,从而 $\mathbf{BA}$ 的两个特征值都是 9,特别地, $\mathbf{BA}$ 是可逆矩阵. 因此由例 6.46 可知 $\mathbf{BA}$ 也可对角化,于是 $\mathbf{BA}$ 相似于 $9{\mathbf{I}}_2$ ,即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使得 $\mathbf{BA}={\mathbf{P}}^{-1}\left(9{\mathbf{I}}_2\right)\mathbf{P}=9{\mathbf{I}}_2$ . 通常我们采用反证法来证明某些矩阵不能对角化, 下面是一个典型的例题.

例 6.47 求证:

(1) 若存在正整数 $k$ ,使非零矩阵 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^k=\mathbf{O}$ ,则 $\mathbf{A}$ 必不相似于对角矩阵.

(2) 若实矩阵 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O}$ ,则 $\mathbf{A}$ 在实数域上不能对角化.

证明 (1) 因为 ${\mathbf{A}}^k=\mathbf{O}$ ,故由例 6.10 可知, $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 适合 ${\lambda }^k=0$ . 这表明 $\mathbf{A}$ 的特征值全等于零. 若 $\mathbf{A}$ 相似于对角矩阵,则该对角矩阵主对角线上元素全为零,亦即它必是个零矩阵. 于是存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\mathbf{O}$ ,从而 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ ,这和 $A$ 非零矛盾.

(2) 若 $\mathbf{A}$ 在实数域上可对角化,则 $\mathbf{A}$ 的特征值都是实数. 因为 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O}$ , 故由例 6.10 可知, $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 适合 ${\lambda }^2+\lambda +1=0$ ,从而不可能是实数,矛盾.

5. 多个矩阵的同时对角化问题

如有若干个矩阵 $\left\{{\mathbf{A}}_i\right\}$ ,假定存在同一个可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使所有的 ${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}_i\mathbf{P}$ 都是对角矩阵,则称这些 ${\mathbf{A}}_i$ 可同时对角化. 同时对角化问题通常和矩阵乘法交换性有关. 常用的方法是将问题几何化, 借助公共特征向量再用数学归纳法来证明结论. 下面是一个典型的例子.

• 例 6.48 设 $n$ 阶矩阵 $\left\{{\mathbf{A}}_i\mid i=1,\cdots ,m\right\}$ 两两可交换,即 ${\mathbf{A}}_i{\mathbf{A}}_j={\mathbf{A}}_j{\mathbf{A}}_i$ 对一切 $i,j$ 成立. 假定每个 ${\mathbf{A}}_i$ 均可对角化,求证: 它们可同时对角化.

证明 对阶 $n$ 用数学归纳法. 当 $n=1$ 时结论显然,假定结论对小于 $n$ 阶的矩阵成立. 现对阶为 $n$ 的矩阵来证明结论. 将诸 ${\mathbf{A}}_i$ 看成是 $n$ 维复列向量空间 $V$ 上的线性变换. 设 ${\mathbf{A}}_1$ 的互不相同的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_k$ . 若 $k=1$ ,则由 ${\mathbf{A}}_1$ 可对角化即得 ${\mathbf{A}}_1$ 相似于 ${\lambda }_1{\mathbf{I}}_n$ ,从而 ${\mathbf{A}}_1={\lambda }_1{\mathbf{I}}_n$ 为数量矩阵. 若所有的 ${\mathbf{A}}_i$ 都是数量矩阵, 则结论显然成立,因此以下不妨设 $k>1$ . 又设线性变换 ${\mathbf{A}}_1$ 相应的特征子空间依次为 $V_1,V_2,\cdots ,V_k$ . 由于 ${\mathbf{A}}_1$ 可对角化,故有

$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_k$$

对任意的 $\alpha \in V_i$ ,由 ${\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_j={\mathbf{A}}_j{\mathbf{A}}_1$ 可得

$${\mathbf{A}}_1\left({\mathbf{A}}_j\alpha \right)={\mathbf{A}}_j\left({\mathbf{A}}_1\alpha \right)={\mathbf{A}}_j\left({\lambda }_i\alpha \right)={\lambda }_i\left({\mathbf{A}}_j\alpha \right),$$

即 ${\mathbf{A}}_j\alpha \in V_i$ ,于是 $V_i$ 是所有 ${\mathbf{A}}_j$ 的不变子空间. 因此如果选择诸 $V_i$ 的基拼成 $V$ 的基,则 ${\mathbf{A}}_j$ 作为线性变换在这组基下的表示矩阵是分块对角矩阵. 也就是说,存在可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使对每个 $j$ ,

$${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_j\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{llll}{\mathbf{A}}_{j1}& & & \\ & {\mathbf{A}}_{j2}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_{jk}\end{array}\right),$$

其中每块 ${\mathbf{A}}_{jl}$ 是阶等于 $\dim V_l$ 的方阵. 由 ${\mathbf{A}}_i{\mathbf{A}}_j={\mathbf{A}}_j{\mathbf{A}}_i$ 不难推出 ${\mathbf{A}}_{il}{\mathbf{A}}_{jl}={\mathbf{A}}_{jl}{\mathbf{A}}_{il}$ , 又由例 6.45 可知, ${\mathbf{A}}_{jl}$ 均可对角化,从而由归纳假设,存在同阶可逆矩阵 ${\mathbf{T}}_l$ , 使 ${\mathbf{T}}_l^{-1}{\mathbf{A}}_{jl}{\mathbf{T}}_l$ 为对角矩阵. 令

$$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{llll}{\mathbf{T}}_1& & & \\ & {\mathbf{T}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{T}}_k\end{array}\right)$$

则 ${\mathbf{T}}^{-1}{\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_j\mathbf{QT}$ 为对角矩阵,令 $\mathbf{P}=\mathbf{QT}$ 即可.

若两个矩阵可同时对角化, 则它们之间关系的刻画将变简单, 比如例 6.38 就是同时对角化的一个应用. 在第 7 章, 我们还会利用同时对角化去证明著名的 Jordan-Chevalley 分解定理.

6. 上三角化问题

一般来说, 一个矩阵未必可对角化. 但是在复数域内, 上三角化总是可以做到的. 下面的例 6.49 是上述结论的推广,它告诉我们,只要矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值全部落在数域 $\mathbb{F}$ 中,那么就可以在 $\mathbb{F}$ 上将 $\mathbf{A}$ 上三角化. 这个证明所使用的方法具有普遍性.

例 6.49 设数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 全在 $\mathbb{F}$ 中,则存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 是上三角矩阵. 特别,任一矩阵均复相似于某个上三角矩阵.

证明 对矩阵的阶用归纳法. 当 $n=1$ 时结论显然,设对 $n-1$ 阶矩阵结论成立. 现对 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 进行证明. 设 ${\lambda }_1\in \mathbb{F}$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,则由线性方程组的求解理论可知,存在非零列向量 ${\mathbf{e}}_1\in {\mathbb{F}}^n$ ,使得 $\mathbf{A}{\mathbf{e}}_1={\lambda }_1{\mathbf{e}}_1$ . 将 ${\mathbf{e}}_1$ 作为 ${\mathbb{F}}^n$ 的一个基向量并将它扩张为 ${\mathbb{F}}^n$ 的一组基 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ ,则有

$$\left(\mathbf{A}{\mathbf{e}}_1,\mathbf{A}{\mathbf{e}}_2,\cdots ,\mathbf{A}{\mathbf{e}}_n\right)=\left({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right),$$

其中 ${\mathbf{A}}_1$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶矩阵. 令 $\mathbf{P}=\left({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right)$ ,则 $\mathbf{P}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵,且由上式可得 $\mathbf{AP}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)$ ,即 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)$ . 容易看出 ${\mathbf{A}}_1$ 的特征值为 ${\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,它们全在 $\mathbb{F}$ 中,故由归纳假设,存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使 ${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_1\mathbf{Q}$ 是上三角矩阵. 令

$$\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)$$

则 $\mathbf{R}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵. 若令 $\mathbf{T}=\mathbf{PR}$ ,则 $\mathbf{T}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵,且有

$${\mathbf{T}}^{-1}\mathbf{AT}={\mathbf{R}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{APR}={\left(\begin{array}{cc}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_1\mathbf{Q}\end{array}\right),$$

这是一个上三角矩阵, 故结论得证.

下面是所谓的同时上三角化问题, 它的证明方法与上题类似.

例 6.50 若 $A,B$ 都是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵,且 $AB=BA$ ,假定 $A,B$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,求证: 存在 $\mathbb{F}$ 上的可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ 及 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}$ 都是上三角矩阵.

证明 对矩阵的阶 $n$ 用归纳法. 当 $n=1$ 时结论显然,假定对 $n-1$ 阶矩阵结论成立,现要对 $n$ 阶矩阵证明结论也成立.

因为 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ 且 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,由例 6.24 可知, $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有公共的特征向量 ${\mathbf{e}}_1\in {\mathbb{F}}^n$ ,不妨设

$$\mathbf{A}{\mathbf{e}}_1={\lambda }_1{\mathbf{e}}_1,\mathbf{B}{\mathbf{e}}_1={\mu }_1{\mathbf{e}}_1$$

其中 ${\lambda }_1,{\mu }_1\in \mathbb{F}$ 分别是 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的特征值. 将非零向量 ${\mathbf{e}}_1$ 扩张为 ${\mathbb{F}}^n$ 的一组基 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ ,令 $\mathbf{P}=\left({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n\right)$ ,则 $\mathbf{P}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵,且有

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{A}}_1\end{array}\right),{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}=\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}_1\end{array}\right),$$

其中 ${\mathbf{A}}_1$ 和 ${\mathbf{B}}_1$ 都是 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶矩阵. 从 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ 不难推出 ${\mathbf{A}}_1{\mathbf{B}}_1={\mathbf{B}}_1{\mathbf{A}}_1$ , 又容易看出 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}_1$ 的特征值都在 $\mathbb{F}$ 中,故由归纳假设,存在 $\mathbb{F}$ 上的 $n-1$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使 ${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_1\mathbf{Q}$ 及 ${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{B}}_1\mathbf{Q}$ 同时为上三角矩阵. 令

$$\mathbf{R}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)$$

则 $\mathbf{R}$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵,且有

$${\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{AR}={\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}_1\mathbf{Q}\end{array}\right),$$

这是个上三角矩阵. 同理

$${\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{BR}={\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{BP}\left(\begin{array}{ll}1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{Q}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mu }_1& \ast \\ \mathbf{O}& {\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{B}}_1\mathbf{Q}\end{array}\right)$$

也是上三角矩阵.

7. 矩阵对角化应用举例

例 6.51 设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 4& -2\\ -3& -3& 5\end{array}\right)$ ,求 ${\mathbf{A}}^n$ .

解 本题中的矩阵是一个可对角化矩阵, 因此可以使用下列方法: 求出可逆矩阵 $P$ ,使 $P^{-1}AP=B$ 是对角矩阵. 因为对角矩阵的幂很容易求出,而 $B^n=$ ${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^n\mathbf{P}$ ,故 ${\mathbf{A}}^n=\mathbf{P}{\mathbf{B}}^n{\mathbf{P}}^{-1}$ . 由此即可得到结果.

先求出 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_3-\mathbf{A}\right|={\left(\lambda -2\right)}^2\left(\lambda -6\right)$ ,因此 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $2,2,6$ . 对特征值 2,解线性方程组 $\left(2{\mathbf{I}}_3-\mathbf{A}\right)\mathbf{x}=0$ ,得到两个线性无关的特征向量 ${\left(-1,1,0\right)}^{\prime }$ , ${\left(1,0,1\right)}^{\prime }$ . 同理对特征值 6,求得特征向量 ${\left(1,-2,3\right)}^{\prime }$ . 因此 $\mathbf{A}$ 有完全的特征向量系, 必可对角化. 注意到

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right),$$

故

$${\mathbf{A}}^n=\mathbf{P}{\mathbf{B}}^n{\mathbf{P}}^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}5\cdot 2^n-6^n& 2^n-6^n& 6^n-2^n\\ 2\cdot 6^n-2^{n+1}& 2\cdot 6^n+2^{n+1}& 2^{n+1}-2\cdot 6^n\\ 3\cdot 2^n-3\cdot 6^n& 3\cdot 2^n-3\cdot 6^n& 2^n+3\cdot 6^n\end{array}\right).$$

例 6.52 下列数列称为 Fibonacci 数列:

$$a_0=0,a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=3,a_5=5,a_6=8,\cdots$$

通项用递推式来表示为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ ,试求 Fibonacci 数列通项的显式表达式.

解 这是初等数学中的一个著名问题, 用初等方法来求通项表达式不是一件容易事. 现在我们用矩阵方法可以很轻松地求得答案. 首先用矩阵来表示递推式:

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right).$$

令 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ ,则

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right)={\mathbf{A}}^2\left(\begin{array}{c}{a}_{n-1}\\ a_{n-2}\end{array}\right)=\cdots ={\mathbf{A}}^n\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\end{array}\right)={\mathbf{A}}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$$

只要求出 ${\mathbf{A}}^n$ 就可以算出 $a_n$ 来. $\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_2-\mathbf{A}\right|={\lambda }^2-\lambda -1$ ,解得

$${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量分别是:

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right).$$

若记

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ 1& 1\end{array}\right)$$

则

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right).$$

因此

$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right){\mathbf{P}}^{-1},{\mathbf{A}}^n=\mathbf{P}{\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)}^n{\mathbf{P}}^{-1}.$$

经计算得

$${\mathbf{A}}^n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+1}& {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\\ {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n& {\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n-1}\end{array}\right),$$

由此得

$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right].$$

本例为求用递推式定义的数列的通项提供了一个一般方法. 在第 1 章例 1.23 中, 我们用技巧性相当高的方法求出了用下列递推式定义的数列的通项:

$$D_n=a{D}_{n-1}-bc{D}_{n-2},D_1=a,D_2=a^2-bc.$$

现在请读者自己用上面的方法来求出通项表达式.

6.2.3 极小多项式与 Cayley-Hamilton 定理

极小多项式是矩阵或线性变换的一个相似不变量, 它在相似标准型理论中起到了重要的作用. 例如, 极小多项式是矩阵或线性变换的不变因子组中最大的那个不变因子, 矩阵或线性变换可对角化当且仅当其极小多项式无重根. 类似于代数数的极小多项式 (例 5.18), 矩阵或线性变换的极小多项式也要整除其适合的任一多项式, 由这一基本性质容易证明极小多项式的存在唯一性. 由于两个非零矩阵相乘可能等于零矩阵, 因此矩阵或线性变换的极小多项式不一定是不可约多项式, 这一点和代数数的极小多项式有本质的区别.

Cayley-Hamilton 定理是高等代数课程中最重要的定理之一, 它告诉我们任一矩阵或线性变换必适合其特征多项式. Cayley-Hamilton 定理在矩阵或线性变换理论以及多项式理论之间建立了紧密的联系, 使得我们可以在后续章节中深入研究矩阵或线性变换的相似标准型理论. 另一方面, Cayley-Hamilton 定理也是一个强有力的技巧, 它在很多问题的解答过程中起到了关键性的作用. 由极小多项式的基本性质和 Cayley-Hamilton 定理可知, 矩阵或线性变换的极小多项式必整除其特征多项式. 在本节中, 我们将进一步探讨极小多项式和特征多项式之间的关系, 给出 Cayley-Hamilton 定理的相关应用等.

例 6.53 求证:

(1) 相似的矩阵具有相同的极小多项式;

(2) 方阵 $\mathbf{A}$ 及其转置有相同的极小多项式.

证明 (1) 设矩阵 $\mathbf{A}$ 的极小多项式是 $m\left(x\right)$ ,矩阵 $\mathbf{B}$ 的极小多项式是 $n\left(x\right)$ ,又 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似, $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ . 注意到

$$m\left(\mathbf{B}\right)=m\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)={\mathbf{P}}^{-1}m\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{P}=\mathbf{O},$$

因此 $n\left(x\right)\mid m\left(x\right)$ . 同理, $m\left(x\right)\mid n\left(x\right)$ ,故 $m\left(x\right)=n\left(x\right)$ .

(2) 设矩阵 $\mathbf{A}$ 的极小多项式是 $m\left(x\right)$ ,矩阵 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 的极小多项式是 $n\left(x\right)$ . 由 $m\left(\mathbf{A}\right)=$ $\mathbf{O}$ 转置得 $m\left({\mathbf{A}}^{\prime }\right)=\mathbf{O}$ ,因此 $n\left(x\right)\mid m\left(x\right)$ . 同理, $m\left(x\right)\mid n\left(x\right)$ ,故 $m\left(x\right)=n\left(x\right)$ . [

例 6.54 设 $\mathbf{A}$ 是一个分块对角矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{llll}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_m\end{array}\right),$$

求证: $\mathbf{A}$ 的极小多项式等于诸 ${\mathbf{A}}_i$ 的极小多项式之最小公倍式.

证明 设 ${\mathbf{A}}_i$ 的极小多项式为 $m_i\left(x\right),\mathbf{A}$ 的极小多项式为 $m\left(x\right)$ . 诸 $m_i\left(x\right)$ 的最小公倍式是 $g\left(x\right)$ ,则 $g\left({\mathbf{A}}_i\right)=\mathbf{O}$ ,故

$$g\left(\mathbf{A}\right)=\left(\begin{array}{llll}g\left({\mathbf{A}}_1\right)& & & \\ & g\left({\mathbf{A}}_2\right)& & \\ & & \ddots & \\ & & & g\left({\mathbf{A}}_m\right)\end{array}\right)=\mathbf{O}.$$

因此 $m\left(x\right)\mid g\left(x\right)$ . 又因为

$$m\left(\mathbf{A}\right)=\left(\begin{array}{llll}m\left({\mathbf{A}}_1\right)& & & \\ & m\left({\mathbf{A}}_2\right)& & \\ & & \ddots & \\ & & & m\left({\mathbf{A}}_m\right)\end{array}\right)=\mathbf{O},$$

因此对每个 $i$ ,有 $m\left({\mathbf{A}}_i\right)=\mathbf{O}$ ,即有 $m_i\left(x\right)\mid m\left(x\right)$ . 而 $g\left(x\right)$ 是诸 $m_i\left(x\right)$ 的最小公倍式,故 $g\left(x\right)\mid m\left(x\right)$ . 综上所述, $m\left(x\right)=g\left(x\right)$ .

利用多项式的已知结果来讨论矩阵的极小多项式和特征多项式的性质是常用的方法, 下面是应用这种方法的几个例子.

例 6.55 设 $m\left(x\right)$ 是 $\mathbf{A}$ 的极小多项式, ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值,求证: $\left(x-{\lambda }_0\right)\mid m\left(x\right)$ .

证明 因为 $m\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ ,故由例 6.10 可得 $m\left({\lambda }_0\right)=0$ ,再由余数定理即得 $(x-$ ${\lambda }_0)\mid m\left(x\right)$ .

例 6.56 设 $m\left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 分别是矩阵 $\mathbf{A}$ 的极小多项式和特征多项式,求证: 若不计重数, $m\left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 的根相同.

证明 由例 6.55 可知, $f\left(x\right)$ 的根 (即特征值) 都是 $m\left(x\right)$ 的根. 又由 Cayley-Hamilton 定理和极小多项式的基本性质可知, $m\left(x\right)\mid f\left(x\right)$ ,从而 $m\left(x\right)$ 的根也是 $f\left(x\right)$ 的根. 因此若不计重数, $m\left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 的根相同.

例 6.57 设 $m\left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的极小多项式和特征多项式,求证: $f\left(x\right)\mid m{\left(x\right)}^n$ .

证明 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值最多是 $n$ 重的,故由例 6.56 即知结论成立.

例 6.58 设 $f\left(x\right)$ 和 $m\left(x\right)$ 分别是 $m$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式和极小多项式, $g\left(x\right)$ 和 $n\left(x\right)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{B}$ 的特征多项式和极小多项式,证明以下结论等价:

(1) $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值;

(2) $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ 或 $\left(f\left(x\right),n\left(x\right)\right)=1$ 或 $\left(m\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ 或 $\left(m\left(x\right),n\left(x\right)\right)=1$ ;

(3) $f\left(\mathbf{B}\right)$ 或 $m\left(\mathbf{B}\right)$ 或 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 或 $n\left(\mathbf{A}\right)$ 是可逆矩阵.

证明 (1) $\iff$ (2): 由例 6.56 可知,(2) 中所有的条件都等价. 显然 (1) 与 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ 等价,故 (1) 与 (2) 等价.

$\left(2\right)\Rightarrow \left(3\right)$ : 例如,若 $\left(f\left(x\right),n\left(x\right)\right)=1$ ,则存在 $u\left(x\right),v\left(x\right)$ ,使 $f\left(x\right)u\left(x\right)+n\left(x\right)v\left(x\right)=$ 1. 将 $x=\mathbf{B}$ 代入上式并注意到 $n\left(\mathbf{B}\right)=\mathbf{O}$ ,故可得 $f\left(\mathbf{B}\right)u\left(\mathbf{B}\right)={\mathbf{I}}_n$ ,这表明 $f\left(\mathbf{B}\right)$ 是可逆矩阵. 将 $x=\mathbf{A}$ 代入上式并注意到 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ ,故可得 $n\left(\mathbf{A}\right)v\left(\mathbf{A}\right)={\mathbf{I}}_n$ ,这表明 $n\left(\mathbf{A}\right)$ 是可逆矩阵. 同理可证其他的情形.

$\left(3\right)\Rightarrow \left(1\right)$ : 设 ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n$ 是 $\mathbf{B}$ 的特征值,则 $m\left({\mu }_1\right),\cdots ,m\left({\mu }_n\right)$ 是 $m\left(\mathbf{B}\right)$ 的特征值. 例如,若 $m\left(\mathbf{B}\right)$ 是可逆矩阵,则 $m\left({\mu }_i\right)\ne 0$ ,由例 6.56 可知, ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_n$ 都不是 $\mathbf{A}$ 的特征值,从而 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值. 同理可证其他的情形.

例 6.59 设 $f\left(x\right)$ 和 $m\left(x\right)$ 分别是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式和极小多项式, $g\left(x\right)$ 是一个多项式,求证: $g\left(\mathbf{A}\right)$ 是可逆矩阵的充要条件是 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ 或 $\left(m\left(x\right),g\left(x\right)\right)=1$ .

证明 充分性的证明和上题 $\left(2\right)\Rightarrow \left(3\right)$ 的证明类似.

对于必要性,例如假定 $m\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 有公因子,即在复数域内有公根 $c$ ,则 $c$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个特征值,因此 $0=g\left(c\right)$ 是矩阵 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 的特征值,这与 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 是可逆矩阵矛盾. 同理可证其他的情形.

例 6.60 证明: $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵的充要条件是 $\mathbf{A}$ 的极小多项式的常数项不为零.

证明 设 $\mathbf{A}$ 的特征多项式为 $f\left(x\right),\mathbf{A}$ 的极小多项式为 $m\left(x\right)$ ,则 $m\left(x\right)\mid f\left(x\right)$ . 若 $\mathbf{A}$ 可逆,则 $f\left(x\right)$ 的常数项 (值为 ${\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}\right|$ ) 不等于零,因此 $m\left(x\right)$ 的常数项也不为零.

反之, 记

$$m\left(x\right)=x^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_0,b_0\ne 0,$$

则

$$m\left(\mathbf{A}\right)={\mathbf{A}}^m+b_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +b_0{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O},$$

于是

$$\mathbf{A}\left({\mathbf{A}}^{m-1}+b_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-2}+\cdots +b_1{\mathbf{I}}_n\right)=-b_0{\mathbf{I}}_n.$$

由 $b_0\ne 0$ 即知 $\mathbf{A}$ 可逆.

下面我们来看几道典型例题, 它们都是 Cayley-Hamilton 定理的应用.

例 6.61 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵,求证: ${\mathbf{A}}^{-1}=g\left(\mathbf{A}\right)$ ,其中 $g\left(x\right)$ 是一个 $n-1$ 次多项式.

证明 设 $f\left(x\right)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式,则由 Cayley-Hamilton 定理可得 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ . 因为 $\mathbf{A}$ 可逆,故 $\left|\mathbf{A}\right|\ne 0$ ,即 $a_n\ne 0$ . 由 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ 可得

$$\mathbf{A}\left(-\frac{1}{a_n}\left({\mathbf{A}}^{n-1}+a_1{\mathbf{A}}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{\mathbf{I}}_n\right)\right)={\mathbf{I}}_n.$$

因此

$${\mathbf{A}}^{-1}=-\frac{1}{a_n}\left({\mathbf{A}}^{n-1}+a_1{\mathbf{A}}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{\mathbf{I}}_n\right).$$

例 6.62 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,求证: 伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }=h\left(\mathbf{A}\right)$ ,其中 $h\left(x\right)$ 是一个 $n-1$ 次多项式.

证明 我们用摄动法来证明结论. 设 $f\left(x\right)=x^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征多项式,则 $a_n={\left(-1\right)}^n\left|\mathbf{A}\right|$ . 若 $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵,则由例 6.61 可得

$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{A}}^{-1}={\left(-1\right)}^{n-1}\left({\mathbf{A}}^{n-1}+a_1{\mathbf{A}}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{\mathbf{I}}_n\right).$$

令 $h\left(x\right)={\left(-1\right)}^{n-1}\left(x^{n-1}+a_1{x}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\right)$ ,则 ${\mathbf{A}}^{\ast }=h\left(\mathbf{A}\right)$ ,并且 $h\left(x\right)$ 的系数由特征多项式 $f\left(x\right)$ 的系数唯一确定.

对于一般的方阵 $\mathbf{A}$ ,可取到一列有理数 $t_k\to 0$ ,使得 $t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}$ 为可逆矩阵. 设

$$f_{t_k}\left(x\right)=\left|x{\mathbf{I}}_n-\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)\right|=x^n+a_1\left(t_k\right)x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\left(t_k\right)x+a_n\left(t_k\right)$$

为 $t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}$ 的特征多项式,则 $a_i\left(t_k\right)$ 都是 $t_k$ 的多项式且 $a_i\left(0\right)=a_i\left(i=1,\cdots ,n\right)$ . 由可逆矩阵情形的证明可得

$${\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)}^{\ast }={\left(-1\right)}^{n-1}\left({\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)}^{n-1}+a_1\left(t_k\right){\left(t_k{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right)}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}\left(t_k\right){\mathbf{I}}_n\right).$$

注意到上式两边的矩阵中的元素都是 $t_k$ 的多项式,从而关于 $t_k$ 连续. 上式两边同时取极限,令 $t_k\to 0$ ,即得

$${\mathbf{A}}^{\ast }={\left(-1\right)}^{n-1}\left({\mathbf{A}}^{n-1}+a_1{\mathbf{A}}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}{\mathbf{I}}_n\right).$$

因此无论 $\mathbf{A}$ 是否可逆,我们都有 ${\mathbf{A}}^{\ast }=h\left(\mathbf{A}\right)$ 成立.

例 6.63 设 $\mathbf{A}$ 为 $m$ 阶矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,求证: 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值,则矩阵方程 $\mathbf{AX}=\mathbf{XB}$ 只有零解 $\mathbf{X}=\mathbf{O}$ .

证法 1 设 $f\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{A}\right|$ 为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式,则由 Cayley-Hamilton 定理可知 $f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{O}$ ,再由 $\mathbf{AX}=\mathbf{XB}$ 可得

$$\mathbf{O}=\mathbf{f}\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{X}=\mathbf{Xf}\left(\mathbf{B}\right).$$

因为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值,故由例 6.58 可知, $f\left(\mathbf{B}\right)$ 是可逆矩阵,从而由上式即得 $\mathbf{X}=\mathbf{O}$ .

证法 2 任取矩阵方程的一个解 $\mathbf{X}=\mathbf{C}$ ,若 $\mathbf{C}\ne \mathbf{O}$ ,则 $\mathrm{r}\left(\mathbf{C}\right)=r\ge 1$ ,由例 6.22 可知, $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 至少有 $r$ 个相同的特征值,这与 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值相矛盾. 因此 $\mathbf{C}=\mathbf{O}$ ,即矩阵方程只有零解.

例 6.63 是一个很强的结论, 我们给出它的 3 个应用.

例 6.64 设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的特征值全部大于零且满足 ${\mathbf{A}}^2={\mathbf{B}}^2$ ,求证: $A=B$ .

证明 由 ${\mathbf{A}}^2={\mathbf{B}}^2$ 可得 $\mathbf{A}\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}\right)\left(-\mathbf{B}\right)$ ,即 $\mathbf{A}-\mathbf{B}$ 是矩阵方程 $\mathbf{AX}=\mathbf{X}\left(-\mathbf{B}\right)$ 的解. 注意到 $\mathbf{A}$ 的特征值全部大于零, $-\mathbf{B}$ 的特征值全部小于零, 故它们没有公共的特征值,由例 6.63 可得 $\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{O}$ ,即 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$ . $\square$

例 6.65 设 $\mathbf{A}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 阶矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵, $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为: $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AX}-\mathbf{XB}$ . 求证: 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 在复数域中没有公共的特征值,则 $\phi$ 是 $V$ 上的线性同构. 特别地,对 $\mathbb{F}$ 上的任一 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{C}$ ,矩阵方程 $\mathbf{AX}-\mathbf{XB}=\mathbf{C}$ 存在唯一解.

证明 由例 6.63 可知, $\phi$ 是 $V$ 上的单映射,从而是线性同构. 由 $\phi$ 是一一对应即得矩阵方程 $\mathbf{AX}-\mathbf{XB}=\mathbf{C}$ 解的存在唯一性.

例 6.44 的证法 2 由例 6.65 可知,矩阵方程 $\mathbf{AX}-\mathbf{XB}=\mathbf{C}$ 存在唯一解 $\mathbf{X}={\mathbf{X}}_0$ . 考虑如下相似变换:

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_m& X_0\\ O& I_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{I}_m& -X_0\\ O& I_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& -A{X}_0+X_{0}B+C\\ O& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right),$$

由例 6.42 可知上式最右边的分块对角阵可对角化, 于是原矩阵也可对角化.

例 6.66 设 $\mathbf{A}=\mathrm{diag}\left\{{\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\cdots ,{\mathbf{A}}_m\right\}$ 为 $n$ 阶分块对角矩阵,其中 ${\mathbf{A}}_i$ 是 $n_i$ 阶矩阵且两两没有公共的特征值. 设 $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶矩阵,满足 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ ,求证: $\mathbf{B}=\mathrm{diag}\left\{{\mathbf{B}}_1,{\mathbf{B}}_2,\cdots ,{\mathbf{B}}_m\right\}$ ,其中 ${\mathbf{B}}_i$ 也是 $n_i$ 阶矩阵.

证明 按照 $\mathbf{A}$ 的分块方式对 $\mathbf{B}$ 进行分块,可设 $\mathbf{B}=\left({\mathbf{B}}_{ij}\right)$ ,其中 ${\mathbf{B}}_{ij}$ 是 $n_i\times n_j$ 矩阵. 由 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$ 可知,对任意的 $i,j$ ,有 ${\mathbf{A}}_i{\mathbf{B}}_{ij}={\mathbf{B}}_{ij}{\mathbf{A}}_j$ . 因为 ${\mathbf{A}}_i,{\mathbf{A}}_j\left(i\ne j\right)$ 没有公共的特征值,故由例 6.63 可得 ${\mathbf{B}}_{ij}=\mathbf{O}\left(i\ne j\right)$ ,从而 $\mathbf{B}=\mathrm{diag}\left\{{\mathbf{B}}_{11},{\mathbf{B}}_{22},\cdots ,{\mathbf{B}}_{mm}\right\}$ 也是分块对角矩阵.

例 6.67 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵, $\mathbf{C}$ 为 $k\times n$ 矩阵,且对任意的 $\lambda \in \mathbb{C},\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{I}}_n\\ \mathbf{C}\end{array}\right)$

均为列满秩阵. 证明: 对任意的 $\lambda \in \mathbb{C},\left(\begin{array}{c}C\\ C\left(\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{I}}_n\right)\\ C{\left(\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{I}}_n\right)}^2\\ ⋮\\ C{\left(\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{I}}_n\right)}^{n-1}\end{array}\right)$ 均为列满秩阵.

证明 由线性方程组解的理论可知,对任意的 $\lambda \in \mathbb{C}$ ,下列线性方程组只有零解:

$$\{\begin{array}{l}\left(\mathbf{A}-\lambda {\mathbf{I}}_n\right)\mathbf{x}=0,\\ \mathbf{Cx}=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

而要证明结论,只要证明对任意的 $\lambda \in \mathbb{C}$ ,下列线性方程组只有零解即可:

$$\{\begin{array}{l}Cx=0,\\ C\left(A-\lambda I_n\right)x=0,\\ C{\left(A-\lambda I_n\right)}^{2}x=0,\\ \dots \dots \dots \dots \\ C{\left(A-\lambda I_n\right)}^{n-1}x=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

任取 ${\lambda }_0\in \mathbb{C}$ 以及对应线性方程组 (6.2) 的任一解 ${\mathbf{x}}_0$ ,则有 $\mathbf{C}{\mathbf{x}}_0=0,\mathbf{CA}{\mathbf{x}}_0=0$ , $\cdots ,\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{n-1}{\mathbf{x}}_0=0$ ,因此对任意次数小于 $n$ 的多项式 $g\left(x\right)$ ,均有 $\mathbf{C}g\left(\mathbf{A}\right){\mathbf{x}}_0=0$ . 设

$$f\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{A}\right|=\left(\lambda -{\lambda }_1\right)\left(\lambda -{\lambda }_2\right)\cdots \left(\lambda -{\lambda }_n\right)$$

为 $\mathbf{A}$ 的特征多项式,则由 Cayley-Hamilton 定理可得

$$\left(\mathbf{A}-{\lambda }_1{\mathbf{I}}_n\right)\left(\mathbf{A}-{\lambda }_2{\mathbf{I}}_n\right)\cdots \left(\mathbf{A}-{\lambda }_n{\mathbf{I}}_n\right)=\mathbf{O}.$$

因此 $\mathbf{y}=\left(\mathbf{A}-{\lambda }_2{\mathbf{I}}_n\right)\cdots \left(\mathbf{A}-{\lambda }_n{\mathbf{I}}_n\right){\mathbf{x}}_0$ 既满足 $\left(\mathbf{A}-{\lambda }_1{\mathbf{I}}_n\right)\mathbf{y}=0$ ,又满足 $\mathbf{Cy}=0$ ,故由线性方程组 (6.1) 只有零解可得 $\mathbf{y}=\left(\mathbf{A}-{\lambda }_2{\mathbf{I}}_n\right)\cdots \left(\mathbf{A}-{\lambda }_n{\mathbf{I}}_n\right){\mathbf{x}}_0=0$ . 不断重复上述论证,最后可得 ${\mathbf{x}}_0=0$ ,结论得证.

例 6.68 设 $\phi$ 是 $n$ 维复线性空间上的线性变换,又有两个复系数多项式:

$$f\left(x\right)=x^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m,g\left(x\right)=x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n.$$

假定 $\sigma =f\left(\phi \right),\tau =g\left(\phi \right)$ ,矩阵 $\mathbf{F}$ 是 $f\left(x\right)$ 的友阵,即

$$\mathbf{F}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& \cdots & -a_m\\ 1& 0& 0& \cdots & -a_{m-1}\\ 0& 1& 0& \cdots & -a_{m-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & -a_1\end{array}\right)$$

若 $g\left(\mathbf{F}\right)$ 是可逆矩阵,求证: $\mathrm{Ker}\sigma \tau =\mathrm{Ker}\sigma \oplus \mathrm{Ker}\tau$ .

证明 经计算可知 $\mathbf{F}$ 的特征多项式就是 $f\left(x\right)$ ,故由例 6.59 可得 $\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)=$ 1 , 再由例 5.74 完全类似的证明可得结论成立.

利用 Cayley-Hamilton 定理, 我们可以将例 5.74 推广为如下的命题.

例 6.69 设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换,其特征多项式是 $f\left(\lambda \right)$ 且 $f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)$ ,其中 $f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right)$ 是互素的首一多项式. 令 $V_1=$ $\mathrm{Ker}{f}_1\left(\phi \right),V_2=\mathrm{Ker}{f}_2\left(\phi \right)$ ,求证:

(1) $V_1,V_2$ 是 $\phi$ -不变子空间且 $V=V_1\oplus V_2$ ;

(2) $V_1=\mathrm{Im}{f}_2\left(\phi \right),V_2=\mathrm{Im}{f}_1\left(\phi \right)$ ;

(3) ${\phi |}_{V_1}$ 的特征多项式是 $f_1\left(\lambda \right),{\phi |}_{V_2}$ 的特征多项式是 $f_2\left(\lambda \right)$ .

证明 (1) 由 Cayley-Hamilton 定理可得 $f\left(\phi \right)=f_1\left(\phi \right)f_2\left(\phi \right)=0$ ,故由例 5.74 可知 (1) 的结论成立.

(2) 由 $f_1\left(\phi \right)f_2\left(\phi \right)=0$ 可得 $\mathrm{Im}{f}_2\left(\phi \right)\subseteq \mathrm{Ker}{f}_1\left(\phi \right)=V_1,\mathrm{Im}{f}_1\left(\phi \right)\subseteq \mathrm{Ker}{f}_2\left(\phi \right)=$ $V_2$ . 因为 $V=V_1\oplus V_2$ ,故由维数公式可得

$\dim \mathrm{Im}{f}_2\left(\phi \right)=\dim V-\dim \mathrm{Ker}{f}_2\left(\phi \right)=\dim V-\dim V_2=\dim V_1,$

$$\dim \mathrm{Im}{f}_1\left(\phi \right)=\dim V-\dim \mathrm{Ker}{f}_1\left(\phi \right)=\dim V-\dim V_1=\dim V_2,$$

从而 $V_1=\mathrm{Im}{f}_2\left(\phi \right),V_2=\mathrm{Im}{f}_1\left(\phi \right)$ .

(3) 设 ${\phi |}_{V_i}$ 的特征多项式为 $g_i\left(\lambda \right)\left(i=1,2\right)$ ,则由例 6.3 可得

$$f\left(\lambda \right)=f_1\left(\lambda \right)f_2\left(\lambda \right)=g_1\left(\lambda \right)g_2\left(\lambda \right).\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

注意到 $f_i\left({\phi |}_{V_i}\right)={f_i\left(\phi \right)|}_{V_i}=0$ ,即 ${\phi |}_{V_i}$ 适合多项式 $f_i\left(\lambda \right)$ ,因此 ${\phi |}_{V_i}$ 的特征值也适合 $f_i\left(\lambda \right)$ ,即 $g_i\left(\lambda \right)$ 的根都是 $f_i\left(\lambda \right)$ 的根. 因为 $\left(f_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right)\right)=1$ ,故 $f_1\left(\lambda \right)$ 与 $f_2\left(\lambda \right)$ 没有公共根,从而由 $f_i\left(\lambda \right)$ 的首一性和 (6.3) 式即得 $f_1\left(\lambda \right)=g_1\left(\lambda \right),f_2\left(\lambda \right)=g_2\left(\lambda \right)$ .

注 (1) 例 6.69 告诉我们,对数域 $\mathbb{K}$ 上的线性变换,其特征多项式的互素因式分解可以诱导出全空间的直和分解. 特别地,当 $\mathbb{K}$ 是复数域时,特征多项式的标准因式分解可以诱导出全空间的根子空间直和分解, 进一步还可以得到循环子空间直和分解,从而给出了 Jordan 标准型理论的几何构造. 当 $\mathbb{K}$ 是一般的数域时,上述直和分解也能解决许多有趣的问题. 这些内容我们将在第 7 章详细阐述.

(2) 例 6.69 的结论还可以进一步推广,例如不限定 $f\left(\lambda \right)$ 是 $\phi$ 的特征多项式, 而只要求 $\phi$ 适合它 (比如 $\phi$ 的极小多项式 $m\left(\lambda \right)$ ),则由完全相同的讨论可以证明例 6.69 的 (1) 和 (2) 都成立. 特别地, 如果考虑极小多项式的首一互素因式分解 $m\left(\lambda \right)=m_1\left(\lambda \right)m_2\left(\lambda \right),V_1=\mathrm{Ker}{m}_1\left(\phi \right),V_2=\mathrm{Ker}{m}_2\left(\phi \right)$ ,则由完全类似的讨论可以证明 ${\phi |}_{V_i}$ 的极小多项式就是 $m_i\left(\lambda \right)$ . 我们把验证的细节留给读者自己完成.

* 6.2.4 矩阵 Kronecker 积的特征值

例 6.70 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 分别是 $m,n$ 阶方阵. 若 $\mathbf{A}$ 的特征值是 ${\lambda }_i\left(i=1,\cdots ,m\right)$ , 矩阵 $\mathbf{B}$ 的特征值是 ${\mu }_j\left(j=1,\cdots ,n\right)$ ,则矩阵 $\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j(i=$ $1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n)$ .

证明 由例 6.49 可知,存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 以及 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_m\end{array}\right),Q^{-1}BQ=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\mu }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mu }_n\end{array}\right).$$

容易证明上三角矩阵的 Kronecker 积仍是上三角矩阵 (参见第 2 章中 2.2.11) 且 $\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)\otimes \left({\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}\right)$ 的主对角元素依次为

$${\lambda }_1{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_1{\mu }_n,{\lambda }_2{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_2{\mu }_n,\cdots ,{\lambda }_m{\mu }_1\cdots ,{\lambda }_m{\mu }_n.$$

而 $\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)\otimes \left({\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{BQ}\right)={\left(\mathbf{P}\otimes \mathbf{Q}\right)}^{-1}\left(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}\right)\left(\mathbf{P}\otimes \mathbf{Q}\right)$ . 由此即得结论.

推论 矩阵 $\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}$ 的迹 $\mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}\right)=\mathrm{tr}\mathbf{A}\cdot \mathrm{tr}\mathbf{B}$ .

下面的例子可以看成是例 6.1 中结论的推广, 它要用到上面的命题.

例 6.71 设 $\mathbf{A}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 阶矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵, $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为: $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AXB}$ . 设 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_i\left(i=1,\cdots ,m\right)$ ,矩阵 $\mathbf{B}$ 的特征值为 ${\mu }_j\left(j=1,\cdots ,n\right)$ . 求证: 线性变换 $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j\left(i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n\right)$ .

证明 取 $V$ 的一组基为 $m\times n$ 基础矩阵:

$${\mathbf{E}}_{11},\cdots ,{\mathbf{E}}_{1n},{\mathbf{E}}_{21},\cdots ,{\mathbf{E}}_{2n},\cdots ,{\mathbf{E}}_{m1},\cdots ,{\mathbf{E}}_{mn},$$

我们首先证明 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $\mathbf{A}\otimes {\mathbf{B}}^{\prime }$ . 事实上,

$$\phi \left({\mathbf{E}}_{ij}\right)=\mathbf{A}{\mathbf{E}}_{ij}\mathbf{B}=\mathbf{A}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j^{\prime }\mathbf{B}=\sum _{k=1}^m\sum _{l=1}^n{a}_{ki}{b}_{jl}{E}_{kl},$$

所以表示矩阵为

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{\mathbf{B}}^{\prime }& a_{12}{\mathbf{B}}^{\prime }& \cdots & a_{1m}{\mathbf{B}}^{\prime }\\ a_{21}{\mathbf{B}}^{\prime }& a_{22}{\mathbf{B}}^{\prime }& \cdots & a_{2m}{\mathbf{B}}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{\mathbf{B}}^{\prime }& a_{m2}{\mathbf{B}}^{\prime }& \cdots & a_{mm}{\mathbf{B}}^{\prime }\end{array}\right)=\mathbf{A}\otimes {\mathbf{B}}^{\prime }.$$

注意到 ${\mathbf{B}}^{\prime }$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征值,故由例 6.70 的结论可知, $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i{\mu }_j$ .

例 6.72 设 $\mathbf{A}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 阶矩阵, $\mathbf{B}$ 为 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵, $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $m\times n$ 矩阵全体构成的线性空间, $V$ 上的线性变换 $\phi$ 定义为: $\phi \left(\mathbf{X}\right)=\mathbf{AX}-\mathbf{XB}$ . 设 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_i\left(i=1,\cdots ,m\right)$ ,矩阵 $\mathbf{B}$ 的特征值为 ${\mu }_j\left(j=1,\cdots ,n\right)$ . 求证: 线性变换 $\phi$ 的特征值为 ${\lambda }_i-{\mu }_j\left(i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n\right)$ .

证明 取 $V$ 的一组基为 $m\times n$ 基础矩阵:

$${\mathbf{E}}_{11},\cdots ,{\mathbf{E}}_{1n},{\mathbf{E}}_{21},\cdots ,{\mathbf{E}}_{2n},\cdots ,{\mathbf{E}}_{m1},\cdots ,{\mathbf{E}}_{mn},$$

类似例 6.71 的讨论可得, $\phi$ 在上述基下的表示矩阵为 $\mathbf{A}\otimes {\mathbf{I}}_n-{\mathbf{I}}_m\otimes {\mathbf{B}}^{\prime }$ . 由例 6.49 可知,存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 以及 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$ ,使

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_m\end{array}\right),{\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{B}}^{\prime }\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\mu }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\mu }_n\end{array}\right).$$

注意到

$$(P\otimes Q{)}^{-1}(A\otimes I_n-I_m\otimes B^{\prime })(P\otimes Q)=(P^{-1}AP)\otimes I_n-I_m\otimes (Q^{-1}{B}^{\prime }Q)$$

是一个上三角矩阵, 其主对角元素依次为

$${\lambda }_1-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_1-{\mu }_n,{\lambda }_2-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_2-{\mu }_n,\cdots ,{\lambda }_m-{\mu }_1,\cdots ,{\lambda }_m-{\mu }_n,$$

由此即得结论.

例 6.65 的证法 2 因为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 没有公共的特征值,所以由例 6.72 可知,线性变换 $\phi$ 的特征值都不等于零,从而 $\phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换.

例 6.73 设 $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶复矩阵,又 $g\left(\lambda \right)=\left|\lambda {\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\right|$ . 求证: $n^2$ 阶矩阵

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}& a_{12}{\mathbf{I}}_n& \cdots & a_{1n}{\mathbf{I}}_n\\ a_{21}{\mathbf{I}}_n& a_{22}{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}& \cdots & a_{2n}{\mathbf{I}}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}{\mathbf{I}}_n& a_{n2}{\mathbf{I}}_n& \cdots & a_{nn}{\mathbf{I}}_n+\mathbf{A}\end{array}\right)$$

是可逆矩阵的充要条件是 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 也是可逆矩阵.

证明 显然 $\mathbf{B}={\mathbf{I}}_n\otimes \mathbf{A}+\mathbf{A}\otimes {\mathbf{I}}_n$ . 设 $\mathbf{A}$ 的全体特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ , 则 $g\left(\lambda \right)=\left(\lambda +{\lambda }_1\right)\left(\lambda +{\lambda }_2\right)\cdots \left(\lambda +{\lambda }_n\right)$ . 由例 6.49 可知,存在 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast \\ & {\lambda }_2& \ast & \ast \\ & & \ddots & ⋮\\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

注意到

$${\left(\mathbf{P}\otimes \mathbf{P}\right)}^{-1}\mathbf{B}\left(\mathbf{P}\otimes \mathbf{P}\right)={\mathbf{I}}_n\otimes \left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)+\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)\otimes {\mathbf{I}}_n$$

是一个上三角矩阵,其主对角元素为 ${\lambda }_i+{\lambda }_j\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)$ ,故

$$\left|\mathbf{B}\right|=\prod _{i,j=1}\left({\lambda }_i+{\lambda }_j\right)=\prod _{i=1}^{n}g\left({\lambda }_i\right).$$

因为 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 的特征值为 $g\left({\lambda }_1\right),g\left({\lambda }_2\right),\cdots ,g\left({\lambda }_n\right)$ ,所以 $\left|\mathbf{B}\right|=\left|g\left(\mathbf{A}\right)\right|$ ,从而 $\mathbf{B}$ 是可逆矩阵等价于 $g\left(\mathbf{A}\right)$ 是可逆矩阵.

$\S 6.3$ 基础训练

6.3.1 训 练 题

一、单选题

1. 在下列条件中不是 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵的充要条件的是 ( ).

(A) $\mathbf{A}$ 的特征值都不等于零 (B) $\mathbf{A}$ 的行列式不等于零

(C) $\mathbf{A}$ 的特征多项式的常数项不等于零 (D) $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

2. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 适合 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{I}$ ,则 $\mathbf{A}$ 特征值可能的取值为 ( ).

(A) 0,1 (B) $0,-1$ (C) $0,1,-1$ (D) $1,-1$

3. 设三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,0,-1,f\left(x\right)=x^2-2x-1$ ,则 $f\left(\mathbf{A}\right)$ 的特征值为 $\left(\right)$ .

(A) $-2,-1,2$ (B) $-2,-1,-2$ (C) $2,1,-2$ (D) $2,0,-2$

4. 当 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 适合条件 ( ) 时,它必相似于对角阵.

(A) $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征向量 (B) $\mathbf{A}$ 是上三角矩阵

(C) $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值 (D) $\mathbf{A}$ 是可逆矩阵

5. $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 以任意一个 $n$ 维非零列向量为特征向量的充要条件是 $\left(\right)$ .

(A) $\mathbf{A}$ 是对角矩阵 (B) $\mathbf{A}$ 是数量矩阵 (C) $\mathbf{A}$ 是单位矩阵 (D) $\mathbf{A}$ 是零矩阵

6. 下列矩阵相似于对角矩阵的是 ( ).

(A) $\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (B) $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ (C) $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 0\end{array}\right)$ (D) $\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ 5& -3& 3\\ -1& 0& -2\end{array}\right)$

7. 下列命题错误的是 ( ).

(A) 属于不同特征值的特征向量必线性无关 (B) 属于同一特征值的特征向量必线性相关

(C) 相似矩阵必有相同的特征值 (D) 特征值相同的矩阵未必相似

8. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,交换 $\mathbf{A}$ 的第一、第二行后再交换第一、第二列,所得矩阵为 $\mathbf{B}$ ,则 $\mathbf{A}$

和 $\mathbf{B}$ 的特征值 $\left(\right)$ .

(A) 完全相同 (B) $\mathbf{B}$ 的特征值是 $\mathbf{A}$ 特征值的相反数

(C) $\mathbf{B}$ 的特征值是 $\mathbf{A}$ 特征值的平方 (D) 无一定关系

9. 已知矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& t\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}5& 5& 5\\ 0& 3& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

要使 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似,则 $t=\left(\right)$ .

(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5

10. 若矩阵 $\mathbf{A}$ 只和自己相似,则 ( ).

(A) $\mathbf{A}$ 必为单位矩阵 (B) $\mathbf{A}$ 必为零矩阵

(C) $\mathbf{A}$ 必为数量矩阵 (D) $\mathbf{A}$ 为任意对角矩阵

二、填空题

1. 已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ t& -2& 2\\ 3& s& -1\end{array}\right)$ 的一个特征向量为 ${\left(1,-2,3\right)}^{\prime }$ ,则 $s,t$ 的值分别为 $\left(\right)$ . 2. 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩满足 $\mathrm{r}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n\right)+\mathrm{r}\left(\mathbf{A}-{\mathbf{I}}_n\right)=n$ ,且 $\mathbf{A}\ne \mathbf{I}$ ,则 $\mathbf{A}$ 必有特征值 ( ).

2. 矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$ 是否相似于对角阵? $\left(\right)$

3. 设

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

问 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似吗? ( )

5. 已知矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& y& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

相似,则 $x,y$ 的值分别为 ( ).

6. 设 $\mathbf{A}$ 是三阶矩阵,已知 $\left|\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_3\right|=0,\left|\mathbf{A}+2{\mathbf{I}}_3\right|=0,\left|\mathbf{A}+3{\mathbf{I}}_3\right|=0$ ,则 $\left|\mathbf{A}+4{\mathbf{I}}_3\right|=\left(\right)$ .

7. 设 $\mathbf{A}$ 是三阶矩阵, $1,2,3$ 是它的特征值,则 $2{\mathbf{A}}^2{\mathbf{A}}^{\ast }+{\mathbf{I}}_3$ 的特征值是 $\left(\right)$ .

8. 设 $\mathbf{A}$ 是三阶矩阵, $1,-1,2$ 是它的特征值,则 $2{\mathbf{A}}^2+2{\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值是 ( ).

9. 已知 12 是矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}7& 4& -1\\ 4& 7& -1\\ -4& a& 4\end{array}\right)$ 的一个特征值,求 $a$ 和另外两个特征值.

10. 求极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& 1\\ 0& \frac{1}{3}& 2\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)}^n$$

三、解答题

1. 矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵,它的特征值为 $1,-1,0$ ,对应的特征向量依次为 ${\left(1,2,1\right)}^{\prime },{\left(0,-2,1\right)}^{\prime }$ , ${\left(1,1,2\right)}^{\prime }$ ,求矩阵 $\mathbf{A}$ .

2. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶实矩阵,若对任意的非零 $n$ 维实列向量 $\alpha$ ,总有 ${\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha >0$ . 求证: $\mathbf{A}$ 的特征值的实部都大于零.

3. 设矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& -1& c\\ 5& b& 3\\ 1-c& 0& -a\end{array}\right)$$

又 $\left|\mathbf{A}\right|=-1,{\mathbf{A}}^{\star }$ 有一个特征值 ${\lambda }_0$ ,且属于 ${\lambda }_0$ 的一个特征向量为 ${\left(-1,-1,1\right)}^{\prime }$ ,求 $a,b,c,{\lambda }_0$ 的值.

4. 有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},a_1=1,b_1=-1,a_n=a_{n-1}+2b_{n-1},b_n=-a_{n-1}+4b_{n-1}$ . 求证: $a_n=2^{n+1}-3^n,b_n=2^n-3^n.$

5. 设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征向量 $\alpha ={\left(1,k,1\right)}^{\prime }$ ,求 $k$ .

6. 若 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相似,求证 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 和 ${\mathbf{B}}^{\ast }$ 也相似.

7. 设 $\mathbf{A}$ 是三阶矩阵, $\mathbf{A}{\alpha }_j=j{\alpha }_j\left(j=1,2,3\right),{\alpha }_1={\left(1,2,2\right)}^{\prime },{\alpha }_2={\left(2,-2,1\right)}^{\prime },{\alpha }_3=$ ${\left(-2,-1,2\right)}^{\prime }$ ,求 $\mathbf{A}$ .

8. 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩 $r<n$ ,求证: $\mathbf{A}$ 至少有 $n-r$ 重零特征值.

9. 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵,求证: $\mathbf{AB}+\mathbf{B},\mathbf{BA}+\mathbf{B}$ 有相同的特征值.

10. 设 $\alpha ,\beta$ 是两个 $n$ 维非零列向量,求矩阵 ${\mathbf{I}}_n-\alpha {\beta }^{\prime }$ 的特征值.

11. 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵且 ${\mathbf{A}}^m={\mathbf{I}}_n$ ,又

$${\mathbf{A}}^{m-1}{\mathbf{B}}^{m-1}+{\mathbf{A}}^{m-2}{\mathbf{B}}^{m-2}+\cdots +\mathbf{AB}+{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O},$$

求证: $\mathbf{B}$ 的特征值为 1 的 $m$ 次单位根.

12. 证明: 秩为 1 的 $n\left(n>1\right)$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的极小多项式是 ${\lambda }^2-\left(\mathrm{tr}\mathbf{A}\right)\lambda$ .

13. 设 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{A}$ 有一个特征值是 1 的三次虚根,若 $\mathbf{A}$ 的极小多项式的次数等于 2,求证: $\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n$ 是可逆矩阵.

14. 设 $n$ 阶实矩阵 $\mathbf{A}$ 的主对角线上的元素全是 1,且 $\mathbf{A}$ 的特征值全是非负实数,求证: $\left|A\right|\le 1$ .

15. 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,特征多项式为 $f\left(\lambda \right)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$ . 设 $\alpha$ 是 $n$ 维列向量且 $\left({\mathbf{A}}^{n-1}\alpha ,{\mathbf{A}}^{n-2}\alpha ,\cdots ,\mathbf{A}\alpha ,\alpha \right)$ 是可逆矩阵,求证:

$${\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\prime }=-{\left({\mathbf{A}}^{n-1}\alpha ,{\mathbf{A}}^{n-2}\alpha ,\cdots ,\mathbf{A}\alpha ,\alpha \right)}^{-1}{\mathbf{A}}^n\alpha .$$

6.3.2 训练题答案

一、单选题

1. 应选择 (D).

2. $\mathbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 适合 ${\lambda }^2=1$ ,因此可能的取值为 $-1,1$ ,应选 (D).

3. 经计算可知应选 (A).

4. 应选择 $\left(\mathrm{C}\right)$ .

5. 若 ${\mathbf{e}}_i$ 是标准基,则 $\mathbf{A}{\mathbf{e}}_i={\lambda }_i{\mathbf{e}}_i,\mathbf{A}$ 是对角矩阵. 另一方面, $\mathbf{A}\left({\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j\right)=\lambda \left({\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j\right)$ ,可得 ${\lambda }_i={\lambda }_j$ . 由此可知 $\mathbf{A}$ 必是数量矩阵 $k{\mathbf{I}}_n$ . 选 (B).

6. 由计算可知 (C) 中矩阵有两个不同的特征值, 必相似于对角矩阵, 选 (C).

7. 应选 (B). 如 ${\mathbf{I}}_n$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量都属于特征值 1 .

8. 得到的矩阵为 $P_{12}A{P}_{12}=P_{12}^{-1}A{P}_{12}$ ,和 $A$ 相似,因此特征值相同. 选 (A).

9. 应选择 (D). 只需计算二者之迹即可.

10. 和任一可逆矩阵乘法可交换的矩阵必是数量矩阵, 因此选 (C).

二、填空题

1. 按定义计算 $A\alpha =\lambda \alpha$ 可得线性方程组,解之得: $s=6,t=-2$ .

2. 因为 $\mathbf{A}\ne \mathbf{I},\mathrm{r}\left(\mathbf{A}-\mathbf{I}\right)\ne 0,\mathrm{r}\left(\mathbf{A}+\mathbf{I}\right)<n$ ,即 $\left|\mathbf{I}+\mathbf{A}\right|=0,\mathbf{A}$ 有特征值 -1 .

3. 经计算可知属于二重特征值 1 的线性无关的特征向量只有一个,因此 $\mathbf{A}$ 不能对角化.

4. 相似.

5. 计算 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的迹及行列式可算出 $x=0,y=1$ .

6. 根据已知,矩阵 $\mathbf{A}$ 有特征值 $-1,-2,-3$ ,因此矩阵 $\mathbf{A}+4{\mathbf{I}}_3$ 有特征值 $3,2,1,\left|\mathbf{A}+4{\mathbf{I}}_3\right|$ 等于其特征值之积, 值为 6 .

7. 先计算得 $\left|\mathbf{A}\right|=6$ ,又由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=\left|\mathbf{A}\right|{\mathbf{I}}_3$ 可得 $2{\mathbf{A}}^2{\mathbf{A}}^{\ast }+{\mathbf{I}}_3=12\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_3$ ,因此其特征值为 $13,25,37$ .

8. 经计算得答案为 $4,0,9$ .

9. 由 $\left|12{\mathbf{I}}_4-\mathbf{A}\right|=0$ 求出 $a=-4$ . 由此即可求出另外两个特征值为 $3,3$ .

10. 记矩阵为 $\mathbf{A}$ . 显然 $\mathbf{A}$ 有 3 个不同的特征值 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}$ ,因此存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ,使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}=$ $\mathrm{diag}\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{5}\right\}=\mathbf{B},{\mathbf{B}}^n={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^n\mathbf{P}$ ,而 ${\mathbf{B}}^n$ 的极限为零矩阵. 因此 ${\mathbf{A}}^n$ 的极限也是零矩阵.

三、解答题

1. 答案是

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& -2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& -2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& -2\\ 16& -4& -6\\ 2& 0& -1\end{array}\right).$$

2. 设 $\lambda =a+b\mathrm{i}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值, $\eta ={\left(u_1+v_1\mathrm{i},u_2+v_2\mathrm{i},\cdots ,u_n+v_n\mathrm{i}\right)}^{\prime }$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量. 将 $\eta$ 的实部和虚部分开,记为 $\eta =\alpha +\mathrm{i}\beta$ ,则 $A\left(\alpha +\mathrm{i}\beta \right)=\left(a+b\mathrm{i}\right)\left(\alpha +\mathrm{i}\beta \right)$ . 分开实部和虚部得 $A\alpha =a\alpha -b\beta ,A\beta =b\alpha +a\beta$ . 于是 ${\alpha }^{\prime }A\alpha =a{\alpha }^{\prime }\alpha -b{\alpha }^{\prime }\beta ,{\beta }^{\prime }A\beta =b{\beta }^{\prime }\alpha +a{\beta }^{\prime }\beta$ . 因此 ${\alpha }^{\prime }\mathbf{A}\alpha +{\beta }^{\prime }\mathbf{A}\beta =a\left({\alpha }^{\prime }\alpha +{\beta }^{\prime }\beta \right)$ . 因为 $\alpha ,\beta$ 中至少有一个是非零列向量,故由已知,上式左边大于零,而 ${\alpha }^{\prime }\alpha +{\beta }^{\prime }\beta >0$ ,因此 $a>0$ .

3. $A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}=-A^{-1}$ ,又 $A^{-1}$ 的特征向量也是 $A$ 的特征向量,因此 $A$ 有特征值 $\lambda =-\frac{1}{{\lambda }_0}$ ,特征向量 $\alpha ={\left(-1,-1,1\right)}^{\prime }$ . 由 $\mathbf{A}\alpha =\lambda \alpha$ 可得方程组,再加上 $\left|\mathbf{A}\right|=-1$ ,解之可求得 ${\lambda }_0=1,a=c=2,b=-3$ .

4. 将数列化为矩阵形式:

$$\left(\begin{array}{l}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{a}_{n-1}\\ b_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)}^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),$$

计算出矩阵 ${\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)}^{n-1}$ 即可得到结论 (参见例 6.52).

5. 注意到逆矩阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 和 $\mathbf{A}$ 有相同的特征向量,不必求出 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 即可求出 $k=1$ 或 $k=-2$ .

6. 设 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}$ ,则 ${\mathbf{B}}^{\ast }={\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{AP}\right)}^{\ast }={\mathbf{P}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }{\left({\mathbf{P}}^{-1}\right)}^{\ast }={\mathbf{P}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }{\left({\mathbf{P}}^{\ast }\right)}^{-1}$ .

7. 类似解答题 1 , 得

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{3}& 0& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{5}{3}& -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}& -\frac{2}{3}& 2\end{array}\right)$$

8. 由已知,0 是 $\mathbf{A}$ 的特征值并且其几何重数为 $n-r$ ,故其代数重数大于等于 $n-r$ .

9. 注意到 $\mathbf{AB}+\mathbf{B}=\left(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n\right)\mathbf{B},\mathbf{BA}+\mathbf{B}=\mathbf{B}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n\right)$ ,由例 6.19 即得结论.

10. 由例 6.19 中式子 $\left|\lambda {\mathbf{I}}_m-\mathbf{AB}\right|={\lambda }^{m-n}\left|\lambda {\mathbf{I}}_n-\mathbf{BA}\right|$ 可得 $\left|\left(\lambda -1\right){\mathbf{I}}_n+\alpha {\beta }^{\prime }\right|=(\lambda -$ $1{)}^{n-1}\left(\lambda -1+{\beta }^{\prime }\alpha \right)$ ,因此 ${\mathbf{I}}_n-\alpha {\beta }^{\prime }$ 有特征值 $1\left(n-1\text{重}\right),1-{\beta }^{\prime }\alpha$ .

11. 将 $\mathbf{B}$ 右乘以上式,再将 $\mathbf{A}$ 左乘以得到的等式,注意到 ${\mathbf{A}}^m={\mathbf{I}}_n$ ,故可得

$${\mathbf{B}}^m+{\mathbf{A}}^{m-1}{\mathbf{B}}^{m-1}+\cdots +\mathbf{AB}=\mathbf{O}.$$

将上式和原式相减得到 ${\mathbf{B}}^m={\mathbf{I}}_n$ . 因此 $\mathbf{B}$ 的特征值为 1 的 $m$ 次单位根.

12. 秩等于 1 的矩阵 $\mathbf{A}$ 可以化为 $\mathbf{A}=\alpha {\beta }^{\prime }$ 的形状,其中 $\alpha ,\beta$ 是 $n$ 维非零列向量. 经计算容易得到 ${\mathbf{A}}^2=\left(\mathrm{tr}\mathbf{A}\right)\mathbf{A}$ ,即 $\mathbf{A}$ 适合多项式 ${\lambda }^2-\left(\mathrm{tr}\mathbf{A}\right)\lambda$ . 注意到 $\mathbf{A}\ne \mathbf{O},\mathbf{A}\ne \left(\mathrm{tr}\mathbf{A}\right){\mathbf{I}}_n$ ,因此结论成立.

13. $\mathbf{A}$ 是实矩阵,因此 1 的另外一个三次虚根也是 $\mathbf{A}$ 的特征值. 而 $\mathbf{A}$ 的极小多项式含有 $\mathbf{A}$ 的所有特征值,故必为 $x^2+x+1$ . 由 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n=\mathbf{O}$ 可知 $\mathbf{A}+{\mathbf{I}}_n$ 可逆.

14. 令 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,则 $\mathrm{tr}\mathbf{A}=n={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$ . 而 $\left|\mathbf{A}\right|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ . 由几何平均不超过算术平均即得 $\left|\mathbf{A}\right|\le 1$ .

15. 只需证明 $-\left({\mathbf{A}}^{n-1}\alpha ,{\mathbf{A}}^{n-2}\alpha ,\cdots ,\mathbf{A}\alpha ,\alpha \right){\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)}^{\prime }={\mathbf{A}}^n\alpha$ ,而这由 Cayley-Hamilton 定理即得.