学习界限 -- H 有限一致情况.sync-conflict-20240913-134725-3GMNY6D

定理 2.5 (学习界限 — $\mathcal{H}$ 有限一致情况)

设

• $\mathcal{H}$ 为从 $\mathcal{X}$ 到 $\mathcal{Y}$ 的函数的有限集合
• $\mathcal{A}$ 为一个算法：
  • 对于任何
    • 目标概念 $c\in \mathcal{H}$
    • 独立同分布样本 $S$
  • 它返回一个一致假设 $h_S:{\hat{R}}_S\left(h_S\right)=0$

那么，对于任何 $ϵ,\delta >0$ ，如果

$$m\ge \frac{1}{ϵ}\left(\log \left|\mathcal{H}\right|+\log \frac{1}{\delta }\right)\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

我们有

$${\mathbb{P}}_{S\sim {\mathcal{D}}^m}\left[R(h_S)\le ϵ\right]\ge 1-\delta .$$

等价描述

样本复杂性结果允许以下等价陈述作为一般化界限：对于任何 $ϵ,\delta >0$ ，以至少 $1-\delta$ 的概率，

$$R\left(h_S\right)\le \frac{1}{m}\left(\log \left|\mathcal{H}\right|+\log \frac{1}{\delta }\right)\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

\begin{proof}

• 固定 $ϵ>0$ 。
• 我们不知道算法 $\mathcal{A}$ 选择了哪个一致假设 $h_S\in \mathcal{H}$ 。
  • 这个假设依赖于训练样本 $S$ 。
• 我们需要给出一个统一的收敛界限，即对所有一致假设集都成立的界限，这自然包含 $h_S$ 。
• 我们将界定某些 $h\in \mathcal{H}$ 的一致性概率及其误差超过 $ϵ$ 的可能性。

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• 对于任意 $ϵ>0$ ，
• 通过 ${\mathcal{H}}_{ϵ}=\{h\in \mathcal{H}:R\left(h\right)>ϵ\}$ 定义 ${\mathcal{H}}_{ϵ}$ 。
• 王剑每曰观察在从 $S$ 中独立同分布地抽取的训练样本上， 一个假设 $h$ 在 ${\mathcal{H}}_{ϵ}$ 中的一致性可以被如下界定：

$$\mathbb{P}\left[{\hat{R}}_S\left(h\right)=0\right]\le {\left(1-ϵ\right)}^m$$

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因此，根据并集界定，以下成立：

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}\left[\exists h\in {\mathcal{H}}_{ϵ}:{\hat{R}}_S\left(h\right)=0\right]\\ =& \mathbb{P}\left[{\hat{R}}_S\left(h_1\right)=0\vee \cdots \vee {\hat{R}}_S\left(h_{|{\mathcal{H}}_{ϵ}|}\right)=0\right]\\ \le & \sum _{h\in {\mathcal{H}}_{ϵ}}\mathbb{P}\left[{\hat{R}}_S\left(h\right)=0\right]\\ \le & \sum _{h\in {\mathcal{H}}_{ϵ}}{\left(1-ϵ\right)}^m\\ \le & \left|{\mathcal{H}}_{ϵ}\right|{\left(1-ϵ\right)}^m\\ \le & \left|\mathcal{H}\right|e^{-mϵ}.\end{array}$$

将右侧设置为等于 $\delta$ 并求解 $ϵ$，证明结束。 \end{proof}

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样本大小对学习界的影响

定理表明，

• 当假设集 $\mathcal{H}$ 是有限的时候，
• 一个一致算法 $\mathcal{A}$ 是一个PAC学习算法，
  • 因为由 (2.8) 给出的样本复杂度被 $1/ϵ$ 和 $1/\delta$ 的多项式主导。

如 (2.9) 所示，一致假设的泛化误差被一个随样本大小 $m$ 减小的项界定。

这是一个普遍的事实：

• 如预期的那样，学习算法从更大的标记训练样本中获益。
• 然而，本定理保证的 $O\left(1/m\right)$ 的减少率特别有利。

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代价

为提出一个一致算法所付出的代价是

• 使用一个包含目标概念的更大假设集 $\mathcal{H}$ 。
• 上界 (2.9) 随着 $\left|\mathcal{H}\right|$ 的增加而增加。
  • 然而，这种依赖关系是对数级别的。
  • $\log \left|\mathcal{H}\right|$ 可以解释为表示 $\mathcal{H}$ 所需的位数。
• 因此，定理的泛化保证由这个位数 ${\log }_2\left|\mathcal{H}\right|$ 与样本大小 $m$ 的比例控制。