要定义假设集 的 VC 维度，我们首先引入打碎 (shattering) 的概念。 回顾上一节，
- 给定一个假设集 ，
- 集合 的一个 二分法 是使用 中的假设对 的点进行标记的所有可能方式。
打碎
- 一个 的点集合 被称为 被假设集 打碎，
- 当且仅当 实现了 的所有可能的二分法，
- i.e.
定义 3.10（VC 维度）
- 假设集 的 VC 维度 是 可以打碎的最大集合的大小： \operatorname{VCdim}\left( \mathcal{H}\right) = \max \left\{ {m : {\Pi }_{\mathcal{H}}\left( m\right) = {2}^{m}}\right\} . \tag{3.24}
Remark
请注意，根据定义，
- 如果 ，
- 则 存在 一个大小为 的集合可以被打碎。
- 然而，这并不意味着 所有 大小为 或更小的集合都被打碎，
- 实际上，通常并非如此。