定理 3.13 Radon 定理

定理 3.13 Radon 定理

• 任何在 ${\mathbb{R}}^d$ 中的 $d+2$ 个点的集合 $\mathcal{X}$ 都可以被划分为两个子集 ${\mathcal{X}}_1$ 和 ${\mathcal{X}}_2$，
• 使得 ${\mathcal{X}}_1$ 和 ${\mathcal{X}}_2$ 的凸包相交。

\begin{proof}

• 设 $\mathcal{X}=\left\{{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{d+2}\right\}\subset {\mathbb{R}}^d$。

• 以下是关于 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{d+2}$ 的 $d+1$ 个线性方程组： \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{d + 2}}{\alpha }_{i}{\mathbf{x}}_{i} = 0\;\text{ and }\;\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{d + 2}}{\alpha }_{i} = 0, \tag{3.26}

• 由于第一个等式给出了 $d$ 个方程，每个方程对应一个分量。

• 未知数的数量为 $d+2$，比方程的数量 $d+1$ 多，因此系统存在一个非零解 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_{d+2}$。

• 由于 $\sum _{i=1}^{d+2}{\beta }_i=0$，所以

  • ${\mathcal{J}}_1=\left\{i\in \left[d+2\right]:{\beta }_i>0\right\}$
  • ${\mathcal{J}}_2=\left\{i\in \left[d+2\right]:{\beta }_i\le 0\right\}$
  • 是非空集合，

• 且 ${\mathcal{X}}_1=\left\{{\mathbf{x}}_i:i\in {\mathcal{J}}_1\right\}$ 和 ${\mathcal{X}}_2=\left\{{\mathbf{x}}_i:i\in {\mathcal{J}}_2\right\}$ 形成了 $\mathcal{X}$ 的划分。

• 根据方程 (3.26) 的最后一个方程， $\sum _{i\in {\mathcal{J}}_1}{\beta }_i=-\sum _{i\in {\mathcal{J}}_2}{\beta }_i.$

• 设 $\beta =\sum _{i\in {\mathcal{J}}_1}{\beta }_i$ .

• 那么，(3.26) 的第一部分可得 $\sum _{i\in {\mathcal{J}}_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }{\mathbf{x}}_i=\sum _{i\in {\mathcal{J}}_2}\frac{-{\beta }_i}{\beta }{\mathbf{x}}_i$

• 其中

  • $\sum _{i\in {\mathcal{J}}_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }=\sum _{i\in {\mathcal{J}}_2}\frac{-{\beta }_i}{\beta }=1$，
  • 对于 $i\in {\mathcal{J}}_1$，$\frac{{\beta }_i}{\beta }\ge 0$，
  • 对于 $i\in {\mathcal{J}}_2$，$\frac{-{\beta }_i}{\beta }\ge 0$。

• 根据凸包的定义，

  • 这意味着 $\sum _{i\in {\mathcal{J}}_1}\frac{{\beta }_i}{\beta }{\mathbf{x}}_i$ 同时属于 ${\mathcal{X}}_1$ 和 ${\mathcal{X}}_2$ 的凸包。 \end{proof}