示例 3.16 正弦函数

• 之前的例子可能表明 $\mathcal{H}$ 的 VC 维度与定义 $\mathcal{H}$ 的自由参数的数量一致。
  • 例如，定义超平面的参数数量与它们的 VC 维度相匹配。
  • 然而，这种情况并不总是成立。
• 本章中的若干练习展示了这一事实。
• 接下来给出一个从这个角度出发的显著例子。
• 考虑以下正弦函数族: $\{t\mapsto \sin \left(\omega t\right):\omega \in \mathbb{R}\}.$
• 该函数类的一个实例如图 3.5 所示。

Figure 3.5 用于分类的正弦函数示例（$\omega =50$）。

• 可以使用这些正弦函数来对实线上点进行分类：
  • 如果一个点位于曲线上方，则标记为正，
  • 否则标记为负。
• 尽管这一族正弦函数通过单个参数 $\omega$ 定义，但可以证明 $\mathrm{VCdim}\left(\text{sine functions}\right)=+\infty$ (exercise 3.20).