定义 B.21 约束优化问题

定义B.21 约束优化问题

令 $\mathcal{X}\subseteq {\mathbb{R}}^N$ 和 $f,g_i:\mathcal{X}\to \mathbb{R}$，对于所有 $i\in \left[m\right]$。 那么，一个约束优化问题具有以下形式:

$$\underset{\mathbf{x}\in \mathcal{X}}{\min }f\left(\mathbf{x}\right)$$

subject to:

$$g_i\left(\mathbf{x}\right)\le 0,\forall i\in \{1,\dots ,m\}\text{.}$$

这个一般公式没有做任何凸性假设，并且可以增加等式约束。 它与稍后引入的相关问题相对，被称为 原问题。 我们将用 $p^{\ast }$ 表示目标函数的最优值。

对于任意 $\mathbf{x}\in \mathcal{X}$，我们用 $g\left(\mathbf{x}\right)$ 表示向量 ${\left(g_1\left(\mathbf{x}\right),\dots ,g_m\left(\mathbf{x}\right)\right)}^{\top }$ 因此，约束条件可以写作 $\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)\le 0.$