定理 B.27 鞍点 — 充分条件

定理 B.27 鞍点 — 充分条件

取 $P$ 为 $\mathcal{X}={\mathbb{R}}^N$ 上的约束优化问题。 如果 $\left({\mathbf{x}}^{\ast },{\alpha }^{\ast }\right)$ 是相关拉格朗日的鞍点，即，

$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^N$, $\forall \alpha \ge 0$,

$$\mathcal{L}\left({\mathbf{x}}^{\ast },\alpha \right)\le \mathcal{L}\left({\mathbf{x}}^{\ast },{\alpha }^{\ast }\right)\le \mathcal{L}\left(\mathbf{x},{\alpha }^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(B.9)}$$

那么 ${\mathbf{x}}^{\ast }$ 是问题 $P$ 的解。

\begin{proof} 根据第一个不等式，以下成立:

$$\begin{array}{rl}& \forall \alpha \ge 0,\mathcal{L}\left({\mathbf{x}}^{\ast },\alpha \right)\le \mathcal{L}\left({\mathbf{x}}^{\ast },{\alpha }^{\ast }\right)\\ & \Rightarrow \forall \alpha \ge 0,\alpha \cdot g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\le {\alpha }^{\ast }\cdot g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\\ & \Rightarrow g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\le 0\wedge {\alpha }^{\ast }\cdot g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(B.10)}$$

其中

• $g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\le 0$ 在 (B.10) 中通过令 $\alpha \to +\infty$ 得出，
• ${\alpha }^{\ast }\cdot g\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)=0$ 通过令 $\alpha \to 0$ 得出。

鉴于 (B.10)，(B.9) 中的第二个不等式给出，

$$\begin{array}{rl}& \forall \mathbf{x},\mathcal{L}\left({\mathbf{x}}^{\ast },{\alpha }^{\ast }\right)\le \mathcal{L}\left(\mathbf{x},{\alpha }^{\ast }\right)\\ & \Rightarrow \forall \mathbf{x},f\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\le f\left(\mathbf{x}\right)+{\alpha }^{\ast }\cdot g\left(\mathbf{x}\right).\end{array}$$

因此，对于所有满足约束的 $\mathbf{x}$ ，即 $g\left(\mathbf{x}\right)\le 0$ ，我们有

$$f\left({\mathbf{x}}^{\ast }\right)\le f\left(\mathbf{x}\right)$$

这完成了证明。 \end{proof}