D.5 二项分布尾部下界

D.5 二项分布尾部:下界

设 $X$ 是服从二项分布 $B\left(m,p\right)$ 的随机变量，$k$ 是一个整数，使得 $p\le \frac{1}{4}$ 且 $k\ge mp$ 或者 $p\le \frac{1}{2}$ 且 $mp\le k\le m\left(1-p\right)$ 。那么，以下称为斯卢德不等式的不等式成立:

$$\mathbb{P}\left[X\ge k\right]\ge \mathbb{P}\left[N\ge \frac{k-mp}{\sqrt{mp\left(1-p\right)}}\right]\text{\hspace{1em}(D.8)}$$

其中 $N$ 是标准正态形式。

图 D.1 比较 $ϵ=.3$ 和 $p=.05$ (小方差)或 $p=.5$ (最大方差)的二项随机变量的尾部界限，作为样本量 $m$ 的函数。