方法与技巧

对于全概率公式和贝叶斯公式, 我们可以按如下方式理解: 设 $A$ 是一个随机事件, 有 $n$ 个因素 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 导致它发生, 并假定 $P\left(B_i\right)$ 已知, $i=1,2,\cdots ,n$, 而且每个因素 $B_i$ 对 $A$ 的影响程度 $P\left(A\mid B_i\right)$ 也可知, $i=1,2,\cdots ,n$, 全概率公式是计算 “结果” $A$ 发生的概率 $P\left(A\right)$; 而贝叶斯公式则是已知 “结果” $A$ 发生了, 要计算这个“结果” 受“第 $i$ 个因素的影响” 的概率 $P\left(B_i\mid A\right),i=1,2,\cdots ,n$, 应用这两个公式的关键是找到一个完备事件组.

寻找完备事件组的两个常用方法:

1. 从第一个试验入手,分解其样本空间, 找出完备事件组.

如果所求概率的事件与前后两个试验(两个工序)有关, 且这两个试验(或工序)彼此关联, 第一个试验(工序)的各种结果直接对第二个试验产生影响, 而问第二个试验(工序)出现结果的概率. 这类问题是属于使用全概率公式的问题. 第一个试验的各种结果就是所求的一个完备事件组.

2. 从事件 $A$ 发生的两两互不相容的诸原因找完备事件组.

如果事件能且只能在 “原因” $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 下发生, 且 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 是两两互不相容, 那么这些“原因” $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 就是一个完备事件组.