题型 2 利用贝叶斯公式求概率

4.3

对以往数据分析表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为 0.9, 否则,产品的合格率为 0.3, 每天早上机器开动前调整得良好的概率为 0.75. 若某日早上第一件产品是合格品, 试求机器调整得良好的概率.

解

设事件

• $B=$ “产品合格”,
• $A=$ “机器调整良好”.

则 $A,\bar{A}$ 是一完备事件组, 所需求的概率为 $P\left(A\mid B\right)$. 由贝叶斯公式知

$$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\right)P\left(B\mid A\right)}{P\left(A\right)P\left(B\mid A\right)+P\left(\bar{A}\right)P\left(B\mid \bar{A}\right)}$$

由题设条件得

$$P\left(A\right)=0.75,P\left(\bar{A}\right)=0.25,P\left(B\mid A\right)=0.9,P\left(B\mid \bar{A}\right)=0.3$$

所以

$$P\left(A\mid B\right)=\frac{0.75\times 0.9}{0.75\times 0.9+0.25\times 0.3}=0.9$$

4.4

设一个仓库里有十箱同样规格的产品, 已知其中的五箱, 三箱, 二箱依次是甲、乙、丙厂生产的, 且已知甲、乙、丙厂生产的该种产品的次品率依次为 $\frac{1}{10},\frac{1}{15},\frac{1}{20}$. 从这十箱产品中任取一箱, 再从中任取一件产品. 试求取得正品的概率.

如果已知取出的产品是正品,问它是甲厂生产的概率是多少?

解

设事件

• $A=$ “取得产品为正品”,
• $B_1=$ “取得产品是甲厂生产的”,
• $B_2=$ “取得产品是乙厂生产的”,
• $B_3=$ “取得产品是丙厂生产的”,

那么, 事件 $B_1,B_2,B_3$ 是一完备事件组. 所以

$$P\left(A\right)=P\left(B_1\right)P\left(A\mid B_1\right)+P\left(B_2\right)P\left(A\mid B_2\right)+P\left(B_3\right)P\left(A\mid B_3\right)$$

而

$$\begin{array}{rl}P(B_1)& =\frac{5}{10},P(B_2)=\frac{3}{10},P(B_3)=\frac{2}{10}\\ P(A\mid B_1)& =1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\\ P(A\mid B_2)& =1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}\\ P(A\mid B_3)& =1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}.\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{rl}P(A)& =\frac{5}{10}\cdot \frac{9}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{14}{15}+\frac{2}{10}\cdot \frac{19}{20}\\ & =\frac{92}{100}=\mathrm{0.92.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(B_1\mid A)& =\frac{P(A{B}_1)}{P(A)}\\ & =\frac{P(B_1)P(A\mid B_1)}{P(A)}\\ & =\frac{\frac{5}{10}\cdot \frac{9}{10}}{\frac{92}{100}}\\ & =\frac{45}{92}\\ & \approx \mathrm{0.4891.}\end{array}$$

4.5

玻璃杯成箱出售, 每箱 20 只, 假设各箱含 0,1,2 只残次品的概率相应为 0.8, 0.1 和 0.1, 一顾客欲购一箱玻璃杯, 在购买时售货员随意取一箱, 而顾客开箱随机地查看 4 只, 若无残次品, 则买下该箱玻璃杯, 否则退回. 试求:

1. 顾客买下该箱的概率 $\alpha$;
2. 在顾客买下的一箱中, 确实没有残次品的概率 $\beta$.

解

令

• $A$ 表示事件“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,
• $B_i$ 表示事件“箱中恰有 $i$ 件残次品”, $i=0,1,2$.

根据题意

• $P\left(B_0\right)=0.8,P\left(B_1\right)=P\left(B_2\right)=0.1$
• $P\left(A\mid B_0\right)=1$
• $P\left(A\mid B_1\right)=\frac{C_{19}^4}{C_{20}^4}=\frac{4}{5}$,
• $P\left(A\mid B_2\right)=\frac{C_{18}^4}{C_{20}^4}=\frac{12}{19}$

1

由全概率公式

$$\begin{array}{rl}\alpha =P(A)& =\sum _{i=0}^{2}P(A\mid B_i)P(B_i)\\ & =0.8\times 1+0.1\times \frac{4}{5}+0.1\times \frac{12}{19}\\ & =\mathrm{0.94.}\end{array}$$

2

由贝叶斯公式

$$\begin{array}{rl}\beta =P(B_0\mid A)& =\frac{P(A\mid B_0)P(B_0)}{P(A)}\\ & =\frac{1\times 0.8}{0.94}\\ & \approx \mathrm{0.85.}\end{array}$$