题型 5 证明题

6.38

设 $A,B$ 是两个事件.

(1)已知 $A\bar{B}=\bar{A}B$,验证 $A=B$.

(2)验证事件 $A$ 和事件 $B$ 恰有一个发生的概率为 $P\left(A\right)+P\left(B\right)-2P\left(AB\right)$.

证

(1) 假设 $A\bar{B}=\bar{A}B$,故有 $\left(A\bar{B}\right)\cup \left(AB\right)=\left(\bar{A}B\right)\cup \left(AB\right)$,

从而 $A\left(\bar{B}\cup B\right)=\left(\bar{A}\cup A\right)B$,即 $AS=SB$,故有 $A=B$.

( 2 ) $A,B$ 恰好有一个发生的事件为 $A\bar{B}\cup \bar{A}B$,其概率为

$$P\left(A\bar{B}\cup \bar{A}B\right)=P\left(A\bar{B}\right)+P\left(\bar{A}B\right)=P\left(A\left(S-B\right)\right)+P\left(B\left(S-A\right)\right)$$ $$=P\left(A-AB\right)+P\left(B-AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-2P\left(AB\right)\text{.}$$

6.39

设本题涉及的事件均有意义,设 $A,B$ 都是事件.

(1)已知 $P\left(A\right)>0$,证明 $P\left(AB\mid A\right)\ge P\left(AB\mid A\cup B\right)$.

(2)若 $P\left(A\mid B\right)=1$,证明 $P\left(\bar{B}\mid \bar{A}\right)=1$.

(3)若设 $C$ 也是事件,且有 $P\left(A\mid C\right)\ge P\left(B\mid C\right),P\left(A\mid \bar{C}\right)\ge P\left(B\mid \bar{C}\right)$,证明 $P\left(A\right)\ge P\left(B\right)$.

证

(1) 若 $P\left(A\right)>0$,要证 $P\left(AB\mid A\right)\ge P\left(AB\mid A\cup B\right)$.

上式左边等于 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$,上式右边等于 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\cup B\right)}$.

因为 $A\cup B\supset A,P\left(A\cup B\right)\ge P\left(A\right)$,故有 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}\ge \frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\cup B\right)}$,

即 $P\left(AB\mid A\right)\ge P\left(AB\mid A\cup B\right)$.

(2)由 $P\left(A\mid B\right)=1$ 得 $\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=1$,

即

$$P\left(AB\right)=P\left(B\right).$$

①

于是

$$P\left(\bar{B}\mid \bar{A}\right)=\frac{P\left(\bar{A}\bar{B}\right)}{P\left(\bar{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A\cup B}\right)}{P\left(\bar{A}\right)}=\frac{1-P\left(A\cup B\right)}{1-P\left(A\right)}=\frac{1-P\left(A\right)-P\left(B\right)+P\left(AB\right)}{1-P\left(A\right)}.$$

由 ① 式得到

$$P\left(\bar{B}\mid \bar{A}\right)=\frac{1-P\left(A\right)}{1-P\left(A\right)}=1.$$

(3)由假设 $P\left(A\mid C\right)\ge P\left(B\mid C\right)$,而

$$P\left(A\mid C\right)=\frac{P\left(AC\right)}{P\left(C\right)},P\left(B\mid C\right)=\frac{P\left(BC\right)}{P\left(C\right)},$$

因此

$$P\left(AC\right)\ge P\left(BC\right)\text{.}$$

②

同样由 $P\left(A\mid \bar{C}\right)\ge P\left(B\mid \bar{C}\right)$ 就有

$$P\left(A\bar{C}\right)\ge P\left(B\bar{C}\right).$$

③

由 ③ 式可知

$$P\left(A\left(S-C\right)\right)\ge P\left(B\left(S-C\right)\right),$$

得 $P\left(A\right)-P\left(AC\right)\ge P\left(B\right)-P\left(BC\right)$,

或 $P\left(A\right)-P\left(B\right)\ge P\left(AC\right)-P\left(BC\right)$,

由 ② 式, 得知

$$P\left(A\right)-P\left(B\right)\ge 0,\text{ 即 }P\left(A\right)\ge P\left(B\right).$$

6.40

设事件 $A,B,C$ 相互独立,证明:

(1) $C$ 与 $AB$ 相互独立.

(2) $C$ 与 $A\cup B$ 相互独立.

证

因 $A,B,C$ 相互独立,故

$$P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right),P\left(BC\right)=P\left(B\right)P\left(C\right),P\left(CA\right)=P\left(C\right)P\left(A\right),$$

$P\left(ABC\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)P\left(C\right),$

从而

(1) $P\left(C\left(AB\right)\right)=P\left(CAB\right)=P\left(C\right)P\left(A\right)P\left(B\right)=P\left(C\right)P\left(AB\right)$,

这表示 $C$ 与 $AB$ 相互独立.

(2) $P\left(C\left(A\cup B\right)\right)=P\left(CA\cup CB\right)=P\left(CA\right)+P\left(CB\right)-P\left(CAB\right)$

$$=P\left(C\right)P\left(A\right)+P\left(C\right)P\left(B\right)-P\left(C\right)P\left(A\right)P\left(B\right)$$ $$=P\left(C\right)\left[P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)\right]=P\left(C\right)P\left(A\cup B\right)\text{,}$$

故 $C$ 与 $A\cup B$ 相互独立.

6.41

设事件 $A$ 的概率 $P\left(A\right)=0$,证明对于任意另一事件 $B$,有 $A,B$ 相互独立.

证

因为 $AB\subset A$,故若 $P\left(A\right)=0$,则

$$0\le P\left(AB\right)\le P\left(A\right)=0,$$

从而

$$P\left(AB\right)=0=P\left(B\right)\cdot 0=P\left(B\right)P\left(A\right),$$

由独立性定义, $A$ 与 $B$ 相互独立.