基本题型4

基本题型

题型 1:离散型随机变量函数的分布

【4.1】已知 $X$ 的分布律如下表所示

$X$	0	1	2	3	4	5
$P\{ X = x\}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

则 $Y={\left(X-2\right)}^2$ 的分布律为_____.

解 记 $g\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2$. 由于 $g\left(0\right)=g\left(4\right)=4,g\left(1\right)=g\left(3\right)=1,g\left(2\right)=0,g\left(5\right)=$ 9,因此

$$P\{Y=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{3}$$ $$P\{Y=1\}=P\{X=1\}+P\{X=3\}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$$ $$P\{Y=4\}=P\{X=0\}+P\{X=4\}=\frac{1}{12}+\frac{2}{9}=\frac{11}{36}$$ $$P\{Y=9\}=P\{X=5\}=\frac{1}{9}$$

故应填

$Y$	0	1	4	9
$P\{ Y = y\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{9}$

点评 求离散型随机变量函数的分布律时, 要注意两种情形:

设 $X$ 为离散型随机变量,其分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$,则 $Y=g\left(X\right)$ 的分布律为:

(1) 当 $y_k$ 各不相同时, $P\left\{Y=y_k\right\}=P\left\{g\left(X\right)=y_k\right\}=p_k,k=1,2,\cdots$

(2)当 $y_k$ 有重复时, $P\left\{Y=y_k\right\}=P\left\{g\left(X\right)=y_k\right\}=\sum _{g\left(x_i\right)=y_k}{p}_i$.

【4.2】设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k},k=1,2,3,\cdots$. 试求随机变量 $Y=$ $\sin \left(\frac{\pi }{2}X\right)$ 的分布律.

解 $P\{Y=0\}=P\{X=2\}+P\{X=4\}+P\{X=6\}+\cdots =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}+\cdots =\frac{1}{3}$.

$P\{Y=-1\}=P\{X=3\}+P\{X=7\}+P\{X=11\}+\cdots =\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^{11}}+\cdots =$

$\frac{2}{15}$.

$P\{Y=1\}=1-P\{Y=0\}-P\{Y=-1\}=\frac{8}{15}.$

故 $Y=\sin \left(\frac{\pi }{2}X\right)$ 的分布律为:

$Y$-1 0 $\frac{1}{3}$	1
$P$$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$

【4.3】设离散型随机变量 $X$ 服从泊松分布,参数 $\lambda =4$,则 $3X-2$ 的分布律为_____.

解 $P\{Y=k\}=P\{3X-2=k\}=P\left\{X=\frac{k+2}{3}\right\}=\frac{4^{\frac{k+2}{3}}{\mathrm{e}}^{-4}}{\left(\frac{k+2}{3}\right)!}(k=3n-2,n=0$, $1,2,\cdots )$

故应填 $\frac{4^{\frac{k+2}{3}}{\mathrm{e}}^{-4}}{\left(\frac{k+2}{3}\right)!}$.

点评 本题中 $X$ 和 $Y=g\left(X\right)$ 均为无限可列的离散型随机变量,对于此类题型只需注意函数关系的转化即可求出分布律.

【4.4】已知 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ \frac{1}{3},& -1\le x<0\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1\\ \frac{2}{3},& 1\le x<2\\ 1,& 2\le x\end{array}$$

求 $Y={\left(\sin \frac{\pi }{6}X\right)}^2$ 的分布函数.

解 直接求 $Y$ 的分布函数 $F_Y\left(y\right)$ 较为困难,可先利用 $X$ 与 $Y$ 分布律之间的关系求出 $Y$ 的分布律.

由题意可得 $X$ 的分布律

$X$	-1	0	1	2
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

则 $Y={\left(\sin \frac{\pi }{6}X\right)}^2$ 的分布律为即

$Y$	$\frac{1}{4}$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

$Y$	0	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

故 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ \frac{1}{6},& 0\le y<\frac{1}{4}\\ \frac{2}{3},& \frac{1}{4}\le y<\frac{3}{4}\\ 1,& y\ge \frac{3}{4}\end{array}$$

题型 2:连续型随机变量函数的分布

【4.5】设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F\left(x\right)$,则随机变量 $Y=2X+1$ 的分布函数 $G\left(y\right)=$ ( ).

(A) $F\left(\frac{1}{2}y+1\right)$ (B) $2F\left(y\right)+1$ (C) $\frac{1}{2}F\left(y\right)-\frac{1}{2}$ (D) $F\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)$

解 $G\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{2X+1\le y\}=P\left\{X\le \frac{y-1}{2}\right\}=F\left(\frac{y-1}{2}\right)$

故应选(D).

【4.6】设随机变量 $X$ 服从 $\left(0,2\right)$ 上的均匀分布,则随机变量 $Y=X^2$ 的概率密度 $f_Y\left(y\right)=$ _____. 解法一 分布函数法(或定义法)

由已知条件可知,

① 当 $y\le 0$ 时, $F_Y\left(y\right)=0$

② 当 $y\ge 4$ 时, $F_Y\left(y\right)=1$

③ 当 $0<y<4$ 时, $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{X^2\le y\right\}=P\{X\le \sqrt{y}\}=F_X\left(\sqrt{y}\right)$.

由于 $X$ 服从 $\left(0,2\right)$ 上的均匀分布,所以

$$F_Y\left(y\right)=F_X\left(\sqrt{y}\right)=\frac{\sqrt{y}}{2}.$$

因此 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\sqrt{y}},& 0<y<4\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

解法二 公式法 (或复合函数求导法)

因为 $y=x^2$ 在 $\left(0,4\right)$ 内单调,其反函数 $x=\sqrt{y}$ 在 $\left(0,2\right)$ 内可导,那么

$$f_Y\left(y\right)=f_X\left(\sqrt{y}\right){\left(\sqrt{y}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{y}}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4\sqrt{y}},\left(0<y<4\right)$$

此处对 $\sqrt{y}$ 求导得 $\frac{1}{2\sqrt{y}}>0$,因 $f_Y\left(y\right)\ge 0$,从而符合概率密度非负的性质. 若对反函数求导为负值时,需要取其绝对值. 因此随机变量 $Y$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4\sqrt{y}},& 0<y<4\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

点评 连续型随机变量函数的分布有两种求法,一是先通过随机变量的概率密度或分布函数求出随机变量函数的分布函数, 再求其概率密度. 二是如果随机变量函数是严格单调可导函数. 先求其反函数, 再根据公式算出其概率密度.

【4.7】设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 0;\\ 0,& x<0.\end{array}$ 试求随机变量 $Y={\mathrm{e}}^X$ 的概率密度 $f_Y\left(y\right)$.

解法一 分段考查 $Y$ 的分布函数.

① 当 $y\le 1$ 时, $f_X\left(x\right)=0,F_Y\left(y\right)=0$

② 当 $y>1$ 时, $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{{\mathrm{e}}^X\le y\right\}=P\{X\le \ln y\}={\int }_0^{\ln y}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1-y^{-1}$

则 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y^2},& y>1\\ 0,& y\le 1\end{array}$

解法二 因为 $y={\mathrm{e}}^x$ 在 $\left(0,+\infty \right)$ 内是单调的,其反函数 $x=\ln y$ 在 $\left(1,+\infty \right)$ 内是可导的,

且 $x^{\prime }=\frac{1}{y}>0$,所以根据复合函数求导公式有, $f_Y\left(y\right)=\frac{1}{y^2}$.

所以 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y^2},& y>1\\ 0,& y\le 1\end{array}$

【4.8】设 $X\sim N\left(0,1\right)$

(1)求 $Y={\mathrm{e}}^X$ 的概率密度；

(2)求 $Y=2X^2+1$ 的概率密度；

(3)求 $Y=\left|X\right|$ 的概率密度.

解 (1) $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<+\infty$.

因为 $Y={\mathrm{e}}^X$,故 $Y>0$,所以当 $y\le 0$ 时, $\{Y\le y\}$ 为不可能事件,

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=0,f_Y\left(y\right)=F_Y^{\prime }\left(y\right)=0.$$

当 $y>0$ 时,由 $y={\mathrm{e}}^x$ 得 $x=\ln y=h\left(y\right),h^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{y}$,由定理得 $Y={\mathrm{e}}^x$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\ln y\right)}^2}\cdot \frac{1}{y}$$

故 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2\pi }y}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\ln y\right)}^2},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$

或

$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{{\mathrm{e}}^X\le y\right\}=P\{X\le \ln y\}={\int }_{-\infty }^{\ln y}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\ln y}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$

从而 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(\ln y\right)}^2}{2}}\cdot \frac{1}{y},\left(y>0\right)$.

(2) 由 $Y=2X^2+1$ 知 $Y\ge 1$,故当 $y<1$ 时, $\{Y\le y\}$ 是不可能事件,所以 $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le$ $y\}=0$,从而 $f_Y\left(y\right)=0$.

当 $y\ge 1$ 时,

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{2X^2+1\le y\right\}=P\left\{-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\le X\le \sqrt{\frac{y-1}{2}}\right\}$$ $$={\int }_{-\sqrt{\frac{y-1}{2}}}^{\sqrt{\frac{y-1}{2}}}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\sqrt{\frac{y-1}{2}}}^{\sqrt{\frac{y-1}{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$$ $$f_Y\left(y\right)=F_Y^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot \frac{y-1}{2}}\times {\left(\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)}^{\prime }-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot \frac{y-1}{2}}\times {\left(-\sqrt{\frac{y-1}{2}}\right)}^{\prime }$$ $$=\frac{1}{2\sqrt{\pi \left(y-1\right)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{y-1}{4}}$$

即 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sqrt{\pi \left(y-1\right)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{y-1}{4}},& y>1\\ 0,& y\le 1\end{array}$

(3) 由 $Y=\left|X\right|$ 知 $Y\ge 0$,所以当 $y<0$ 时, $\{Y\le y\}$ 为不可能事件, $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=$ 0,故 $f_Y\left(y\right)=0$.

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{\left|X\right|\le y\}=P\{-y\le X\le y\}$$ $$={\int }_{-y}^{y}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-y}^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x=2{\int }_0^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$$ $$f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{2}}$$

所以 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{2}},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$

点评 本题 (1) 既可用分布函数法,也可用公式法; (2)、(3) 中 $y=g\left(x\right)$ 不是单调函数,故只能用分布函数法.