知识要点 离散型随机变量及其分布

1. 一维离散型随机变量

若随机变量 $X$ 的全部可能取值是有限个或可列个,则称 $X$ 为离散型随机变量.

2. 分布律

离散型随机变量 $X$ 所有可能取值为 $x_k\left(k=1,2,\cdots \right)$,事件 $\left\{X=x_k\right\}$ 的概率为 $P\left\{X=x_k\right\}=$ $p_k\left(k=1,2,\cdots \right)$,则称 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k\left(k=1,2,\cdots \right)$ 为 $X$ 的分布律或分布列. 分布律也可以写成表格形式:

$X$	${x}_{1}$	${x}_{2}$	...	${x}_{k}$	...
$P$	${p}_{1}$	${p}_{2}$	...	${p}_{k}$	...

离散型随机变量的分布律的性质:

(1) $P\left\{X=x_k\right\}=p_k\ge 0,k=1,2,\cdots$;

(2) $\sum _{k}P\left\{X=x_k\right\}=\sum _k{p}_k=1$.

3. 离散型随机变量 $X$ 的分布律与分布函数以及事件概率的关系

(1)如果已知 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k\left(k=1,2,\cdots \right)$,则 $X$ 的分布函数

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\sum _{x_k\le x}{p}_k$$

而事件 $\{a<X\le b\}$ 的概率为

$$P\{a<X\le b\}=\sum _{a<x_k\le b}{p}_k.$$

(2)如果已知 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)$,则 $X$ 的分布律为

$$P\left\{X=x_k\right\}=F\left(x_k\right)-F\left(x_k-0\right),k=1,2,\cdots .$$

概率论与数理统计习题精选精解

4. 重要分布

(1) (0-1)分布: 其分布律为

$X$	1	0
$P$	$p$	$1 - p$

其中 $p$ 为事件 $A$ 出现的概率, $0<p<1$.

(2)二项分布:设在 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数为 $X$,则

$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=0,1,2,\cdots \cdots ,n$$

其中 $p$ 为事件 $A$ 在每次试验中出现的概率, $q=1-p$,称随机变量 $X$ 服从二项分布,记为

$$X\sim B\left(n,p\right).$$

(3)泊松分布:设随机变量 $X$ 的分布律为:

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{k!}\left(k=0,1,2,\cdots \right)$$

其中 $\lambda >0$ 是常数,则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,记为 $X\sim \pi \left(\lambda \right)$ 或 $P\left(\lambda \right)$.

泊松定理: 设随机变量 $X_n\sim B\left(n,p_n\right)$,若 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n=\lambda >0$,则有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^i{p}_n^i{\left(1-p_n\right)}^{n-i}=\frac{{\lambda }^i}{i!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\left(i=1,2,\cdots \right)$$

由泊松定理, 二项分布可以用泊松分布作为近似.

(4)超几何分布:设随机变量 $X$ 的分布列是

$$P\{X=i\}=\frac{C_M^i{C}_{N-M}^{n-i}}{C_N^n},\left(i=0,1,2,\cdots ,l;l=\min \{n,M\}\right).$$

其中 $M\text{、}N\text{、}n$ 都是自然数,且 $n<N,M<N$,则称 $X$ 服从参数为 $N\text{、}M\text{、}n$ 的超几何分布,记作 $X$ $\sim H\left(N,M,n\right)$.

(5)几何分布: 设随机变量 $X$ 的分布列为

$$P\{X=i\}={\left(1-p\right)}^{i-1}p,i=1,2,3,\cdots ,$$

其中 $0<p<1$,则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布,记为 $X\sim G\left(p\right)$.