知识要点 随机变量函数的分布

知识要点

1. 离散型随机变量函数的分布

设随机变量 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_k\right\}=p_k,k=1,2,3\cdots$,则当 $Y=g\left(X\right)$ 的所有取值为 $y_j$ $\left(j=1,2,\cdots \right)$ 时,随机变量 $Y$ 有分布律

$$P\left\{Y=y_j\right\}=\sum _{g\left(x_k\right)=y_j}P\left\{X=x_k\right\}.$$

2. 连续型随机变量函数的分布

方法一: 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X\left(x\right)\left(-\infty <x<+\infty \right)$,那么 $Y=g\left(X\right)$ 的分布函数为

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{g\left(X\right)\le y\}={\int }_{g\left(x\right)\le y}{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x,$$

其概率密度为 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)$.

方法二: 设随机变量 $X$ 具有概率密度函数 $f_X\left(x\right)\left(-\infty <x<+\infty \right),g\left(x\right)$ 为 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 内的严格单调的可导函数,则随机变量 $Y=g\left(X\right)$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{f}_X\left[h\left(y\right)\right]\left|h^{\prime }\left(y\right)\right|,& \alpha <y<\beta \\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

其中 $h\left(y\right)$ 是 $g\left(x\right)$ 的反函数, $\alpha =\min \{g\left(-\infty \right),g\left(+\infty \right)\},\beta =\max \{g\left(-\infty \right),g\left(+\infty \right)\}$.