题型 关于分布函数

1.1

设 $F_1\left(x\right)$ 与 $F_2\left(x\right)$ 分别为随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数. 为使 $F\left(x\right)=a{F}_1\left(x\right)-$ $b{F}_2\left(x\right)$ 是某一随机变量的分布函数,下列给定各组数值中应取 ( ).

(A) $a=\frac{3}{5},b=-\frac{2}{5}$ (B) $a=\frac{2}{3},b=\frac{2}{3}$

(C) $a=-\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}$ (D) $a=\frac{1}{2},b=-\frac{3}{2}$

分析

本题是考查对分布函数性质 $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)=1$ 的掌握.

解

由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)=1$,结合已知条件得

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)=F\left(+\infty \right)=a{F}_1\left(+\infty \right)-b{F}_2\left(+\infty \right)$$

因为 $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)=F\left(+\infty \right)=a{F}_1\left(+\infty \right)-b{F}_2\left(+\infty \right)=1$,且分布函数非负不减,则必有

$$a>0,b<0,a-b=1.$$

经验证, 答案为 (A), 故选 (A).

1.2

下列函数中,可以做随机变量的分布函数的是( ).

(A) $F\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}$ (B) $F\left(x\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2\pi }\arctan x$

(C) $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ \frac{x}{1+x},& x>0\end{array}$ (D) $F\left(x\right)=\frac{2}{\pi }\arctan x+1$

解

(A) $F\left(+\infty \right)=0$,(B) $F\left(-\infty \right)\ne 0,\left(D\right)F\left(+\infty \right)\ne 1$,

对于(C) 满足:

(1) $0\le F\left(x\right)\le 1,F\left(-\infty \right)=0,F\left(+\infty \right)=1$ (2) $F^{\prime }\left(x\right)>0$ (3) $F\left(x\right)$ 连续.

故应选(C).

1.3

设随机变量 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \frac{x}{3},& 0\le x<1\\ \frac{x}{2},& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$$

求: (1) $P\left\{\frac{1}{2}<X\le \frac{3}{2}\right\}$; (2) $P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}$; (3) $P\left\{X>\frac{3}{2}\right\}$.

解

(1) $P\left\{\frac{1}{2}<X\le \frac{3}{2}\right\}=F\left(\frac{3}{2}\right)-F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}$;

(2) $P\left\{X>\frac{1}{2}\right\}=1-P\left\{X\le \frac{1}{2}\right\}=1-F\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$;

(3) $P\left\{X>\frac{3}{2}\right\}=1-F\left(\frac{3}{2}\right)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.

点评

分布函数可以完整、准确地描述随机变量的取值规律. 利用 $X$ 的分布函数可求如下概率:

$1^{\circ }P\{X\le b\}=F\left(b\right)$

$2^{\circ }P\{X>b\}=1-F\left(b\right)$

$3^{\circ }P\{a<X\le b\}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

其他情形的概率需根据随机变量的类型——离散型或连续型分别讨论归纳.

1.4

一个靶子是半径为 2 米的圆盘, 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 $X$ 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 $X$ 的分布函数.

解

若 $x<0$,则 $\{X\le x\}$ 是不可能事件,于是

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=0.$$

若 $0\le x\le 2$,由题意, $P\{0\le X\le x\}=k{x}^2,k$ 是某一常数,为了确定 $k$ 的值,取 $x=2$,有 $P\{0\le X\le 2\}=2^{2}k$,但已知 $P\{0\le X\le 2\}=1$,故得 $k=\frac{1}{4}$,即

$$P\{0\le X\le x\}=\frac{x^2}{4}$$

于是

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=P\{X<0\}+P\{0\le X\le x\}=\frac{x^2}{4}$$

若 $x>2$,由题意 $\{X\le x\}$ 是必然事件,于是

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=1$$

图 2-1.4

综合上述,即得 $X$ 的分布函数

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \frac{x^2}{4},& 0\le x\le 2\\ 1,& x>2\end{array}$$

它的图形是一条连续曲线如图 2-1.4 所示.