题型 5 综合应用题

题型 5 : 综合应用题

【5.44】设一大型设备在任何长为 $t$ 的时间内发生故障的次数 $N\left(t\right)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布.

(1)求在相继两次故障之间时间间隔 $T$ 的概率分布；

(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情况下,再无故障运行 8 小时的概率 $Q$.

解 (1) 由于 $T$ 是非负随机变量,可见

当 $t<0$ 时, $F\left(t\right)=P\{T\le t\}=0$

设 $t\ge 0$ 时,则事件 $\{T>t\}$ 与 $\{N\left(t\right)=0\}$ 等价. 因此,当 $t\ge 0$ 时,有

$$F\left(t\right)=P\{T\le t\}=1-P\{T>t\}=1-P\{N\left(t\right)=0\}=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$$

于是, $T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布.

$$\text{(2)}Q=P\{T\ge 16\mid T\ge 8\}=\frac{P\{T\ge 16,T\ge 8\}}{P\{T\ge 8\}}=\frac{P\{T\ge 16\}}{P\{T\ge 8\}}=\frac{{\mathrm{e}}^{-16\lambda }}{{\mathrm{e}}^{-8\lambda }}={\mathrm{e}}^{-8\lambda }$$

点评 本题第二问也可以利用指数分布的“无记忆性” 直接求 $Q$. 设 $X$ 服从指数分布,则 $P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}$,由此 $Q=P\{T\ge 8\}={\mathrm{e}}^{-8\lambda }$.

-【5.45】假设测量的随机误差 $X\sim N\left(0,{10}^2\right)$,试求在 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率 $\alpha$,并利用泊松分布求出 $\alpha$ 的近似值(要求小数点后取两位有效数字).

解 设在 100 次测量中,有 $Y$ 次的测量误差的绝对值大于 19.6,则 $Y\sim B\left(100,p\right)$. 其中

$$p=P\{\left|X\right|>19.6\}=1-P\{-19.6\le X\le 19.6\}$$ $$=1-\left[\Phi \left(1.96\right)-\Phi \left(-1.96\right)\right]=2-2\Phi \left(1.96\right)=2-2\times 0.975=0.05\text{.}$$

故

$$\alpha =P\{Y\ge 3\}=\sum _{k=3}^{100}{C}_{100}^k\times {0.05}^k\times {0.95}^{100-k}$$

若用泊松近似,则 $\lambda =100\times 0.05=5$,即 $Y\sim B\left(100,0.05\right)$ 近似于 $P\left(5\right)$,故 $\alpha \approx 0.88$.

【5.46】有一大批产品,其验收方案如下. 先作第一次检验:从中取 10 件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于 2 拒收；否则作第二次检验,其做法是从中再任取 5 件,仅当 5 件中无次品时接受这批产品. 若产品的次品率为 10%, 求

(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率；

(2)需作第二次检验的概率；

(3)这批产品按第二次检验的标准接受的概率；

(4)这批产品在第一次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率； 量 78

(5)这批产品被接受的概率.

解 第一次检验相当于 10 重伯努利试验. 设 $X$ 为第一次检验中次品数,则 $X\sim B(10$, 10%),第二次检验为 5 重伯努利试验. 设 $Y$ 为第二次检验中次品数,则 $Y\sim B\left(5,10\%\right)$.

(1) $P\{X=0\}=C_{10}^0{\left(0.1\right)}^0\times {\left(0.9\right)}^{10}={\left(0.9\right)}^{10}\approx 0.349$

(2) $P\{0<X\le 2\}=P\{X=1\}+P\{X=2\}=10\times 0.1\times {\left(0.9\right)}^9+\frac{10\times 9}{2}\times {0.1}^2\times {\left(0.9\right)}^8$

$$\approx 0.387+0.194=0.581$$

(3) $P\{Y=0\}=C_5^0{\left(0.1\right)}^0{\left(0.9\right)}^5={\left(0.9\right)}^5\approx 0.590$

(4) $P\{0<X\le 2,Y=0\}=P\{0<X\le 2\}\cdot P\{Y=0\}\approx 0.581\times 0.590\approx 0.343$

(5) $P\{X=0\}+P\{0<X\le 2,Y=0\}=0.349+0.343=0.692$.

【5.47】若每只母鸡产 $k$ 个蛋的概率服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,而每个蛋能孵化成小鸡的概率为 $p$. 试证: 每只母鸡有 $n$ 只小鸡的概率服从参数为 $\lambda p$ 的泊松分布.

证 设 $X=\{$ 蛋数 $\},Y=\{$ 鸡数 $\}$. 由全概率公式,

$P\{Y=n\}=P\{X=n\}P\{Y=n\mid X=n\}+P\{X=n+1\}P\{Y=n\mid X=n+1\}+\cdots \cdots$

$$=\frac{{\lambda }^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }{p}^n+\frac{{\lambda }^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }{C}_{n+1}^n{p}^{n}q+\cdots \cdots$$ $$=\frac{{\left(\lambda p\right)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-\lambda \left(1-q\right)}=\frac{{\left(\lambda p\right)}^n}{n!}{\mathrm{e}}^{-\lambda p}$$

所以 $Y\sim P\left(\lambda p\right)$.

【5.48】设电源电压 $U\sim N\left(220,{25}^2\right)$ (单位: $\mathrm{V}$ ). 通常有 3 种状态:① 不超过 $200\mathrm{V}$; ② 在 $200\mathrm{V}\sim 240\mathrm{V}$ 之间; ③ 超过 $240\mathrm{V}$. 在上述三种状态下,某电子元件损坏的概率分别为 0.1, 0.001, 0.2.

(1)求电子元件损坏的概率 $\alpha$;

(2)在电子元件已损坏的情况下,试分析电压所处的状态.

解 (1) 设事件 $A_1,A_2,A_3$ 分别顺序表示题中所述电压的 3 种状态, $B$ 表示电子元件损坏, 则 $\alpha =P\left(B\right)$. 根据全概率公式有

$$P\left(B\right)=\sum _{i=1}^{3}P\left(A_i\right)P\left(B\mid A_i\right)$$

据题意知, $P\left(B\mid A_1\right)=0.1,P\left(B\mid A_2\right)=0.001,P\left(B\mid A_3\right)=0.2$,下面求 $P\left(A_i\right)(i=1$, $2,3)$,已知 $U\sim N\left(220,{25}^2\right)$,

$$P\left(A_1\right)=P\{U\le 200\}\text{ 标准化 }P\left\{\frac{U-220}{25}\le \frac{200-220}{25}\right\}=P\left\{U^{\ast }\le -0.8\right\}$$

(其中 $U^{\ast }\sim N\left(0.1\right)$ )

$$=\Phi \left(-0.8\right)=1-\Phi \left(0.8\right)\text{(查表)}\approx 1-0.7881=0.2119\text{.}$$

考虑到正态分布的对称性, 有

$$P\left(A_3\right)=P\left(A_1\right)\approx 0.2119$$

由于 $\left(A_1,A_2,A_3\right)$ 是一个完备事件组,所以

$$P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)=1,$$ $$P\left(A_2\right)=1-P\left(A_1\right)-P\left(A_3\right)=1-2P\left(A_1\right)=1-2\times 0.2119=0.5762.$$

故

$$\alpha =P\left(B\right)=0.2119\times 0.1+0.5762\times 0.001+0.2119\times 0.2\approx 0.0642.$$

(2) 考虑 $P\left(A_i\mid B\right),i=1,2,3$.

由贝叶斯公式 $P\left(A_i\mid B\right)=\frac{P\left(A_i\right)P\left(B\mid A_i\right)}{P\left(B\right)}$,所以

$$P\left(A_1\mid B\right)=\frac{P\left(A_1\right)P\left(B\mid A_1\right)}{P\left(B\right)}\approx \frac{0.2119\times 0.1}{0.0642}\approx 0.330;$$ $$P\left(A_2\mid B\right)=\frac{P\left(A_2\right)P\left(B\mid A_2\right)}{P\left(B\right)}\approx \frac{0.5762\times 0.001}{0.0642}\approx 0.009;$$ $$P\left(A_3\mid B\right)=\frac{P\left(A_3\right)P\left(B\mid A_3\right)}{P\left(B\right)}\approx \frac{0.2119\times 0.2}{0.0642}\approx 0.660.$$

从上面的几个概率值看出, $P\left(A_3\mid B\right)\approx 0.660$ 是三者中的最大者,说明当电器损坏时,电压处在高压状态下的可能性最大; 而 $P\left(A_2\mid B\right)\approx 0.009$ 很小,说明当电器损坏时,电压处在中压 (200V 之间) 状态的可能性很小,几乎是不会的. 这符合实际.

【5.49】设某城市成年男子的身高 $X\sim N\left(170,6^2\right)$ (单位厘米).

(1)问应如何设计公共汽车车门的高度,使成年男子与车门顶碰头的机会小于 0.01？

(2)若车门设计高度为 182 厘米,求 10 个成年男子中与车门顶碰头的人数不多于 1 人的概率.

解 (1)设车门高度为 $l$ 厘米,按设计要求应有 $P\{X>l\}<0.01$. 由题设知 $X\sim N(170$, $6^2$ ),将其标准化后有

$$\frac{X-170}{6}\sim N\left(0,1\right),$$

因此, 按设计要求有

$$P\{X>l\}=1-P\{X\le l\}=1-P\left\{\frac{X-170}{6}\le \frac{l-170}{6}\right\}=1-\Phi \left(\frac{l-170}{6}\right)<0.$$

01,

即 $\Phi \left(\frac{l-170}{6}\right)>0.99$,查表得 $\frac{l-170}{6}>2.33$,故

$$l>183.98\text{(厘米).}$$

(2)因为任一男子其身高可能超过 182 厘米,也可能低于 182 厘米,一般来说,只有身高超过 182 厘米的才能与车门顶相碰, 因此, 我们将任一男子是否与车门顶碰头看成一个伯努利试验, 故问题转化为一个 10 重伯努利试验中的概率计算问题. 为此, 先求任一男子身高超过 182 厘米的概率 $p$,显然

$$p=P\{X>182\}=P\left\{\frac{X-170}{6}>\frac{182-170}{6}\right\}=1-\Phi \left(2\right)=0.0228.$$

设 $Y$ 为 10 个成年男子中身高超过 182 厘米的人数,故由以上分析知, $Y\sim B\left(10,0.0228\right)$,即

$$P\{Y=k\}=C_{10}^k{\left(0.0228\right)}^k{\left(0.9772\right)}^{10-k},k=0,1,\cdots ,10,$$

故所求概率为

$$P\{Y\le 1\}=P\{Y=0\}+P\{Y=1\}$$ $$={\left(0.9772\right)}^{10}+C_{10}^1\left(0.0228\right){\left(0.9772\right)}^9$$ $$\approx 0.9793\text{.}$$

甲 80