题型3 求随机变量或随机变量函数的分布

题型3: 求随机变量或随机变量函数的分布

【5.18】假设随机变量 $X$ 的绝对值不大于 $1;P\{X=-1\}=\frac{1}{8},P\{X=1\}=\frac{1}{4}$; 在事件 $\{-1<X<1\}$ 出现的条件下, $X$ 在 $\left(-1,1\right)$ 内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比. 试求 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)=P\{X\le x\}$.

分析 本题是求随机变量的分布函数问题, 熟练掌握事件概率与分布函数的关系是关键, 首先要求出随机变量在 $\left(-1,1\right)$ 上的条件概率.

解 由已知条件,当 $x<-1$ 时, $F\left(x\right)=0$; 且有 $F\left(-1\right)=\frac{1}{8}$.

在 $x\ge 1$ 时, $F\left(x\right)=1$,且有

$$P\{-1<X<1\}=1-P\{X=-1\}-P\{X=1\}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$$

在 $-1<x<1$ 时, $F\left(x\right)=P\{X\le x\}=P\{X\le -1\}+P\{-1<X\le x\}$,因为,

$$P\{-1<X\le x\}=P\{-1<X\le x,-1<X<1\},$$

由条件概率运算得

$$P\{-1<X\le x\}=P\{-1<X<1\}P\{-1<X\le x\mid -1<X<1\}$$ $$=\frac{5}{8}\cdot \frac{x+1}{2}=\frac{5x+5}{16}$$

故 $F\left(x\right)=F\left(-1\right)+P\{-1<X\le x\}=\frac{5x+7}{16}$

从而得 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0,& x<-1\\ \frac{5x+7}{16},& -1\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$ 电 66

【5.19】测量一圆形物体的半径, 其分布列为

$R$	10	11	12	13
$P$	0.1	0.4	0.3	0.2

求圆周长 $X$ 和圆面积 $Y$ 的分布列.

解 显然周长 $X=2\pi R$ 和面积 $Y=\pi R^2$ 均为随机变量 $R$ 的函数,且易看出 $X,Y$ 的取值分别全不相等,因而其分布列分别为:

$X$	20π	22π	${24\pi }$	${26\pi }$
$P$	0.1	0.4	0.3	0.2
$Y$	${100\pi }$	121π	${144\pi }$	169π
$P$	0.1	0.4	0.3	0.2

【5.20】假设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& \text{ 若 }0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$,现在对 $X$ 进行 $n$ 次独立重复观测,以 $V_n$ 表示观测值不大于 0.1 的次数. 试求随机变量 $V_n$ 的概率分布.

解 事件“观测值不大于 0.1”,即事件 $\{X\le 0.1\}$ 的概率为

$$p=P\{X\le 0.1\}={\int }_{-\infty }^{0.1}f\left(x\right)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{0.1}x\mathrm{d}x=0.01$$

每次观测所得观测值不大于 0.1 为成功,则 $V_n$ 作为 $n$ 次独立重复试验成功的次数,服从参数为 $\left(n,0.01\right)$ 的二项分布

$$P\left\{V_n=m\right\}=C_n^m{\left(0.01\right)}^m{\left(0.99\right)}^{n-m}\left(m=0,1,2,\cdots ,n\right)$$

【5.21】已知随机变量 $X$ 的分布律如下:

$X$	-2	-1	0	1	2	3
$P$	${4a}$	$\frac{1}{12}$	${3a}$	$a$	10a	${4a}$

$Y=X^2$,则 $Y$ 的分布律为_____.

解 $Y$ 的分布律可表示为

Y	0	1	4	9
$P$	${3a}$	$\frac{1}{12} + a$	14a	${4a}$

由性质确定 $a=\frac{1}{24}$

则 $Y$ 的分布律为

Y	0	1	4	9
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{7}{12}$	$\frac{1}{6}$

【5.22】设有随机变量 $X\sim \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{6}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$,则 $X$ 的分布函数为_____.

解 当 $x<-1$ 时, $F\left(x\right)=P\{X\le x\}=0$

当 $-1\le x<0$ 时, $F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\frac{1}{3}$

当 $0\le x<1$ 时, $F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

当 $x\ge 1$ 时, $F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=1$

故 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ \frac{1}{3},& -1\le x<0\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1\\ 1,& x>1\end{array}$

【5.23】一房间有 3 扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的. 有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去. 鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间. 假定鸟是没有记忆的, 鸟飞向各扇窗子是随机的.

(1)以 $X$ 表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求 $X$ 的分布律.

(2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次. 以 $Y$ 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确定的,试求 $Y$ 的分布律.

解 (1) $X$ 的可能取值为 $1,2,3,\cdots ,X$ 服从几何分布,故 $X$ 的分布律为

$$P\{X=k\}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{k-1}\cdot \frac{1}{3},k=1,2,\cdots$$

或者

$X$	1	2	3	...
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}$	$\left( \frac{2}{3}\right)$$\times \frac{1}{3}$	...

(2) $Y$ 的可能取值为1,2,3.

则由题意有 $Y$ 的分布律为

Y1	2	3
$P$$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

【5.24】设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$. 在给定 $X=i$ 的条件下,随机变量 $Y$ 服从均匀分布 $U\left(0,i\right)\left(i=1,2\right)$. 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y\left(y\right)$ 和概率密度 $f_Y\left(y\right)$.

解 $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}$

$$=P\{X=1\}P\{Y\le y\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{Y\le y\mid X=2\}$$

$=\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=1\}+\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=2\}.$

当 $y<0$ 时, $F_Y\left(y\right)=0$;

当 $0\le y<1$ 时, $F_Y\left(y\right)=\frac{3y}{4}$;

当 $1\le y<2$ 时, $F_Y\left(y\right)=\frac{1}{2}+\frac{y}{4}$;

当 $y\ge 2$ 时, $F_Y\left(y\right)=1$.

所以 $Y$ 的分布函数为

$$F_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ \frac{3y}{4},& 0\le y<1,\\ \frac{1}{2}+\frac{y}{4},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

随机变量 $Y$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{4},& 0<y<1,\\ \frac{1}{4},& 1\le y<2,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

点评 本题方法不难但过程复杂,求 $F_Y\left(y\right)$ 的关键在于全概率公式的使用,另外各种情形的讨论力求全面细致, 利用均匀分布求概率时要注意范围.

【5.25】设随机变量 $X$ 的概率密度为

( 1 ) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2\left(1-\frac{1}{x^2}\right),& 1\le x\le 2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$ (2) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x<1\\ 2-x,& 1\le x<2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

求 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)$.

解 (1) 当 $x<1$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t=0$

当 $1\le x<2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_1^{x}2\left(1-\frac{1}{t^2}\right)\mathrm{d}t=2x+\frac{2}{x}-4$

当 $x\ge 2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_1^{2}2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x=1$

故 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ 2x+\frac{2}{x}-4,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$$

(2)当 $x<0$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t=0$

当 $0\le x<1$ 时, $F\left(x\right)={\int }_0^{x}t\mathrm{d}t=\frac{x^2}{2}$

当 $1\le x<2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}t\mathrm{d}t-{\int }_1^x\left(2-t\right)\mathrm{d}t=-\frac{x^2}{2}+2x-1$

当 $x\ge 2$ 时, $F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x+{\int }_1^2\left(2-x\right)\mathrm{d}x=1$

故得 $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \frac{x^2}{2},& 0\le x<1\\ -\frac{x^2}{2}+2x-1,& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$$

【5.26】设随机变量 $\xi$ 的分布函数为 $F\left(x\right)=A+B\arctan x\left(-\infty <x<\infty \right)$. 试求:

(1)系数 $A$ 与 $B$;(2) $\xi$ 落在 $\left(-1,1\right)$ 内的概率；(3) $\xi$ 的分布密度.

解 (1) 由于 $F\left(-\infty \right)=0,F\left(+\infty \right)=1$,可知

$$\{\begin{array}{l}A+B\left(-\frac{\pi }{2}\right)=0\\ A+B\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\end{array}\Rightarrow A=\frac{1}{2},B=\frac{1}{\pi }$$

于是 $F\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan x.\left(-\infty <x<+\infty \right)$

(2) $P\{-1<\xi <1\}=F\left(1\right)-F\left(-1\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan 1\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan \left(-1\right)\right)$

$$=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\times \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$$

(3) $\phi \left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{\pi \left(1+x^2\right)}.\left(-\infty <x<+\infty \right)$

【5.27】设随机变量 $X$ 在 $\left(0,1\right)$ 服从均匀分布.

(1)求 $Y={\mathrm{e}}^X$ 的概率密度； (2)求 $Y=-2\ln X$ 的概率密度.

解 由题设知, $X$ 的概率密度为 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

(1) $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{{\mathrm{e}}^X\le y\right\}=P\{X\le \ln y\}={\int }_0^{\ln y}{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{\ln y}\mathrm{d}x$

故 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{y},0<\ln y<1$,所以 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y},& 1<y<\mathrm{e}\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

( 2 )由 $y=-2\ln x$ 得 $x=h\left(y\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}},h^{\prime }\left(y\right)=-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}$,由定理得 $Y=-2\ln X$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

或由 $Y=-2\ln X$ 知, $Y$ 的取值必为非负,故当 $y\le 0$ 时, $\{Y\le y\}$ 是不可能事件,所以

$$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=0,f_Y\left(y\right)=0$$

当 $y>0$ 时,

$$F_Y\left(x\right)=P\{Y\le y\}=P\{-2\ln X\le y\}=P\left\{\ln X\ge -\frac{y}{2}\right\}=P\left\{X\ge {\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}\right\}$$ $$={\int }_{{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}}^1{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_{{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}}^1\mathrm{d}x=-{\int }_1^{{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}}\mathrm{d}x$$

从而 $f_Y\left(y\right)=F_Y{}^{\prime }\left(y\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}}$

故 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{2}},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$

【5.28】设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{9}{x}^2,& 0<x<3,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

令随机变量 $Y=\{\begin{array}{ll}2,& X\le 1,\\ X,& 1<X<2,\\ 1,& X\ge 2.\end{array}$

(1)求 $Y$ 的分布函数；

(2)求概率 $P\{X\le Y\}$.

解 (1) 因为 $1\le Y\le 2$,故

$F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}$

当 $y<1$ 时, $F_Y\left(y\right)=0$,

当 $y\ge 2$ 时, $F_Y\left(y\right)=1$,

当 $1\le y<2$ 时,

$F_Y\left(y\right)=P\{Y=1\}+P\{1<Y\le y\}=P\{X\ge 2\}+P\{1<X\le y\}$

$={\int }_2^3\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x+{\int }_1^y\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x$

$=\frac{y^3+18}{27}$.

所以 $F_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<1,\\ \frac{y^3+18}{27},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$

(2) $P\{X\le Y\}=P\{X<2\}={\int }_0^2\frac{1}{9}{x}^2\mathrm{d}x=\frac{8}{27}$.

【5.29】设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}},& \text{ 若 }x\in \left[1,8\right]\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$, $F\left(x\right)$ 是 $X$ 的分布函数. 求随机变量 $Y=F\left(X\right)$ 的分布函数.

分析 随机变量函数 $Y=F\left(X\right)$ 隐含的条件是: 因为 $F\left(x\right)$ 是 $X$ 的分布函数的表达式,故 $Y$ 的值域为 $\left[0,1\right]$.

解 当 $x<1$ 时, $F\left(x\right)=0$; 当 $x>8$ 时,有 $F\left(x\right)=1$; 当 $x\in \left[1,8\right]$ 时,

$$F\left(x\right)={\int }_1^x\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}\mathrm{d}t=\sqrt[3]{x}-1.$$

令 $G\left(y\right)$ 为 $Y=F\left(X\right)$ 的分布函数.

当 $y\le 0$ 时, $G\left(y\right)=0$; 当 $y\ge 1$ 时, $G\left(y\right)=1$; 当 $y\in \left(0,1\right)$ 时,

$$G\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{F\left(X\right)\le y\}=P\{\sqrt[3]{X}-1\le y\}$$ $$=P\left\{X\le {\left(y+1\right)}^3\right\}=F\left({\left(y+1\right)}^3\right)=y.$$

因此 $Y=F\left(X\right)$ 的分布函数为 $G\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ y,& 0\le y<1\\ 1,& y\ge 1\end{array}$

点评 本题也可以不求 $F\left(x\right)$ 的具体表达式.

因为 $Y=F\left(X\right)$ 的分布函数为 $G\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{F\left(X\right)\le y\}$,注意到 $F\left(x\right)$ 为分布函数,于是 $0\le F\left(x\right)\le 1$,因此当 $y<0$ 时, $G\left(y\right)=0$; 当 $y\ge 1$ 时, $G\left(y\right)=1$;

当 $0\le y<1$ 时,因为 $F\left(x\right)$ 为单调增加函数,故

$$G\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{F\left(X\right)\le y\}=P\left\{X\le F^{-1}\left(y\right)\right\}=F\left[F^{-1}\left(y\right)\right]=y.$$

则

$$G\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ y,& 0\le y<1\\ 1,& y\ge 1\end{array}$$

实际上, $Y=F\left(X\right)$ 的分布与 $X$ 服从什么分布无关.

结论: 若连续型随机变量 $X$ 的分布函数是 $F\left(x\right)$,则 $Y=F\left(X\right)$ 服从 $\left(0,1\right)$ 上的均匀分布.

【5.30】设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布,证明 $Y=1-{\mathrm{e}}^{-2X}$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上服从均匀分布.

证 $X$ 的分布函数 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-2x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array},y=1-{\mathrm{e}}^{-2x}$ 是单调增函数,其反函数为 $x=-\frac{\ln \left(1-y\right)}{2}$

设 $G\left(y\right)$ 是 $Y$ 的分布函数,则

$$G\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{1-{\mathrm{e}}^{-2X}\le y\right\}=\{\begin{array}{ll}0,& y\le 0\\ P\left\{X\le -\frac{1}{2}\ln \left(1-y\right)\right\},& 0<y<1\\ 1,& y\ge 1\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{ll}0,& y\le 0\\ y,& 0<y<1\\ 1,& y\ge 1\end{array}$$

于是, $Y$ 在 $\left(0,1\right)$ 服从均匀分布.