1. 随机变量与分布函数

知识要点

1. 随机变量

设 $E$ 是一个随机试验,其样本空间为 $\Omega =\{\omega \}$,如果对于每一个样本点 $\omega \in$ $\Omega$,都有唯一的一个实数 $X\left(\omega \right)$ 与之对应,则称 $X\left(\omega \right)$ 为一维随机变量. 通常用 $X,Y,Z,\cdots$ 表示随机变量.

2. 分布函数

设 $X$ 是一个随机变量, $x$ 是任意实数,则函数 $F\left(x\right)=P\{X\le x\}$ 称为 $X$ 的分布函数.

基本性质

(1) 单调性: $F\left(x\right)$ 是一个单调不减的函数,即当 $x_1<x_2$ 时, $F\left(x_1\right)\le F\left(x_2\right)$

(2) 有界性: $0\le F\left(x\right)\le 1$,且

$$F\left(+\infty \right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)=1$$ $$F\left(-\infty \right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }F\left(x\right)=0$$

(3) 连续性: $F\left(x+0\right)=F\left(x\right)$,即 $F\left(x\right)$ 是右连续函数.

3. 由分布函数求概率

$$P\{a<X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X\le a\}=F\left(b\right)-F\left(a\right).$$

基本题型

• 题型 关于分布函数