知识要点 二维随机变量及其分布

知识要点

1. 二维随机变量 设 $E$ 是随机试验,样本空间 $\Omega =\{\omega \}$,由 $X=X\left(\omega \right),Y=Y\left(\omega \right)$ 构成的向量 $\left(X,Y\right)$ 称为二维随机变量.

2. 联合分布函数 设 $\left(X,Y\right)$ 是二维随机变量, $x,y$ 是两个任意实数,则称定义在平面上的二元函数 $P\{X\le x,Y\le y\}$ 为 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数,或称为 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数,记作 $F\left(x,y\right)$, 即

$$F\left(x,y\right)=P\{X\le x,Y\le y\}.$$

$F\left(x,y\right)$ 的性质:

(1) $0\le F\left(x,y\right)\le 1$,且 $F\left(-\infty ,y\right)=F\left(x,-\infty \right)=F\left(-\infty ,-\infty \right)=0,F\left(+\infty ,+\infty \right)$ $=1$.

(2) $F\left(x,y\right)$ 是变量 $x$ 或 $y$ 的单调不减函数.

(3) $F\left(x,y\right)=F\left(x+0,y\right),F\left(x,y\right)=F\left(x,y+0\right),F\left(x,y\right)$ 关于 $x$ 或 $y$ 都是右连续的.

(4) 对任意 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)$ : 当 $x_1<x_2,y_1<y_2$ 时有

$P\left\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\right\}=F\left(x_2,y_2\right)-F\left(x_1,y_2\right)-F\left(x_2,y_1\right)+F\left(x_1,y_1\right).$

1. 二维离散型随机变量 若 $\left(X,Y\right)$ 所有可能取值为 $\left(x_i,y_j\right),i,j=1,2,\cdots$,则 $P\{X=x_i$, $Y=y_j\}=p_{ij}$ 称为联合分布律,联合分布律可列表如下:

Y $X$	${y}_{1}$	...	${y}_{j}$	...
${x}_{1}$	${p}_{11}$	...	${p}_{1j}$	...
:	$\vdots$		$\vdots$
${x}_{i}$	${p}_{i1}$	...	${p}_{ij}$	...
$\vdots$	$\vdots$		$\vdots$

联合分布律的性质: $p_{ij}\ge 0,\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$.

1. 二维连续型随机变量 若分布函数 $F\left(x,y\right)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f\left(u,v\right)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$,则称 $\left(X,Y\right)$ 是连续型随机变量. $f\left(x,y\right)$ 称为 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度.

联合概率密度的性质:

(1) $f\left(x,y\right)\ge 0;{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$.

(2)若 $f\left(x,y\right)$ 在点 $\left(x,y\right)$ 处连续,则 $\frac{{\partial }^{2}F\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=f\left(x,y\right)$.

(3) 设 $G$ 是 $xOy$ 平面上一个区域,则 $P\{\left(X,Y\right)\in G\}={\iint }_{G}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.