题型 2. 多维随机变量的分布工具及工具的转换

6.10

设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda \left(\lambda >0\right)$ 的泊松分布, 每位乘客在中途下车的概率为 $p\left(0<p<1\right)$, 且中途下车与否相互独立. 以 $Y$ 表示在中途下车的人数, 求:

(1)在发车时有 $n$ 个乘客的条件下,中途有 $m$ 人下车的概率；

(2)二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率分布.

解

(1) $P\{Y=m\mid X=n\}=C_n^m{p}^m{\left(1-p\right)}^{n-m},0\le m\le n,n=0,1,2,\cdots$.

(2) $P\{X=n,Y=m\}=P\{Y=m\mid X=n\}P\{X=n\}=C_n^m{p}^m{\left(1-p\right)}^{n-m}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{n!}{\lambda }^n$

$$0\le m\le n,n=0,1,2,\cdots .$$

点评

本题将许多基本内容综合在一起:(1)二项分布；(2)泊松分布；(3)乘法公式；(4)二维离散型随机变量的分布律. 很有参考价值.

6.11

袋中有一个红色球,两个黑色球, 三个白球, 现有放回的从袋中取两次, 每次取一球, 以 $X,Y,Z$ 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数.

(1) 求 $P\{X=1\mid Z=0\}$;

(2) 求二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率分布.

解

(1) 在没有取白球的情况下取了一次红球, 利用样本空间的缩减法, 相当于只有 1 个红球, 2 个黑球有放回摸两次, 其中摸一个红球的概率, 所以

$$P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{C_2^1\times 2}{3^2}=\frac{4}{9}.$$

(2) $X,Y$ 取值范围为 0,1,2, 故

$$P\{X=0,Y=0\}=\frac{C_3^1\times C_3^2}{6^2}=\frac{1}{4},P\{X=1,Y=0\}=\frac{C_2^1\times C_3^1}{6^2}=\frac{1}{6},$$ $$P\{X=2,Y=0\}=\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36},P\{X=0,Y=1\}=\frac{C_2^1\times C_2^1\times C_3^1}{6^2}=\frac{1}{3},$$ $$P\{X=1,Y=1\}=\frac{C_2^1\times C_2^1}{6^2}=\frac{1}{9},P\{X=2,Y=1\}=0,$$

$P\{X=0,Y=2\}=\frac{C_2^1\times C_2^1}{6^2}=\frac{1}{9},P\{X=1,Y=2\}=0,$

$P\{X=2,Y=2\}=0.$

$XY$	0	1	2
0	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$
1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	0
2	$\frac{1}{9}$	0	0

6.12

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为

$X$	0	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

$Y$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$.

(1)求二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率分布；

(2)求 $Z=XY$ 的概率分布.

解

(1) 由 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$ 可知 $P\left\{X^2\ne Y^2\right\}=0$,

于是 $P\{X=0,Y=1\}=P\{X=0,Y=-1\}=P\{X=1,Y=0\}=0$,

则 $P\{X=1,Y=-1\}=P\{X=-1\}-P\{X=0,Y=-1\}=\frac{1}{3}$,

同理 $P\{X=1,Y=1\}=P\{X=0,Y=0\}=\frac{1}{3}$. 即概率分布如下

$Y$ $X$	-1	0	1
0	0	$\frac{1}{3}$	0
1	$\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$

(2) $Z=XY$ 可能的取值为-1,0,1.

$$P\{XY=-1\}=P\{X=1,Y=-1\}=\frac{1}{3},$$ $$P\{XY=1\}=P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{3},$$ $$P\{XY=0\}=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$

故 $Z$ 的分布律为

$Z$	-1	0	1
$P$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

6.13

将一枚硬币掷 3 次, 以 $X$ 表示前 2 次中出现 $H$ 的次数, 以 $Y$ 表示 3 次中出现 $H$ 的次数, 求 $X,Y$ 的联合分布律以及边缘分布律.

解

$\left(X,Y\right)$ 的所有情形为 $HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT$. (其中 $T$ 表示不出现 $H$ 面)

按古典概型,显然有

$$P\{X=0,Y=0\}=\frac{1}{8},P\{X=0,Y=1\}=\frac{1}{8},$$ $$P\{X=1,Y=1\}=\frac{2}{8},P\{X=1,Y=2\}=\frac{2}{8},$$ $$P\{X=2,Y=2\}=\frac{1}{8},P\{X=2,Y=3\}=\frac{1}{8}.$$

那么把 $\left(X,Y\right)$ 的联合分布律及边缘分布律列成表格:

$X$ $Y$	0	1	2	$p_{\cdot j}$
0	$\frac{1}{8}$	0	0	$\frac{1}{8}$
1	$\frac{1}{8}$	$\frac{2}{8}$	0	$\frac{3}{8}$
2	0	$\frac{2}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$
3	0	0	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
$p_{i\cdot }$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	1

6.14

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为

$$\phi \left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数 $F\left(x,y\right)$.

解

(1) 对于 $x<0$ 或 $y<0$,有 $F\left(x,y\right)=P\{X\le x,Y\le y\}=0$.

(2)对于 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$,有 $F\left(x,y\right)=4{\int }_0^x{\int }_0^{y}uv\mathrm{d}u\mathrm{d}v=x^2{y}^2$.

(3)对于 $x>1,y>1$,有 $F\left(x,y\right)=1$.

(4)对于 $x>1,0\le y\le 1$,有 $F\left(x,y\right)=P\{X\le 1,Y\le y\}=y^2$.

(5) 对于 $y>1,0\le x\le 1$,有 $F\left(x,y\right)=P\{X\le x,Y\le 1\}=x^2$.

故 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数

$$F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\text{ 或 }y<0\\ x^2{y}^2,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ x^2,& 0\le x\le 1,1<y\\ y^2,& 1<x,0\le y\le 1\\ 1,& 1<x,1<y\end{array}$$

6.15

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 在 $G$ 上服从均匀分布, $G$ 由 $x-y=0,x+y=2$ 与 $y=0$ 围成.

(1) 求边缘密度 $f_X\left(x\right)$;

(2) 求 $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)$.

解

(1) $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \left(x,y\right)\in G\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

$X$ 的概率密度

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1<x\le 2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(2) $f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{cc}2\left(1-y\right),& 0\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

当 $0<y<1$ 时, $X$ 的条件概率密度 $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\left(1-y\right)},& y<x<2-y\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

6. 16

设 $\left(X,Y\right)$ 是二维变量, $X$ 的边缘概率密度为 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}3x^2,& 0<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$ 在给定 $X=x\left(0<x<1\right)$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度为

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{3y^2}{x^3},& 0<y<x,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(1)求 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度 $f\left(x,y\right)$;

(2)求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y\left(y\right)$;

(3) 求 $P\{X>2Y\}$.

解

(1) 由题设得 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{9y^2}{x},& 0<y<x,0<x<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(2) $Y$ 的边缘概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{\int }_y^1\frac{9y^2}{x}\mathrm{d}x,& 0<y<1,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}=\{\begin{array}{ll}-9y^2\ln y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(3) $P\{X>2Y\}={\iint }_{x>2y}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{\frac{x}{2}}\frac{9y^2}{x}\mathrm{d}y=\frac{1}{8}$.

6.17

设随机变量 $\left(\xi ,\eta \right)$ 的联合分布为

$\eta$	-1	0
1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
2	$\frac{1}{6}$	$k$

求:(1)k 值；(2)联合分布函数 $F\left(x,y\right)$;(3)边缘分布函数 $F_{\xi }\left(x\right)$ 与 $F_{\eta }\left(y\right)$.

解

(1) 因为 $\sum _{i=1}^{+\infty }\sum _{j=1}^{+\infty }{p}_{ij}=1$

所以由已知条件得 $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+k=1$,那么 $k=\frac{1}{3}$

(2)由联合分布函数 $F\left(x,y\right)=P\{\xi \le x,\eta \le y\}$ 的定义知需对 $x,y$ 的取值范围分别讨论.

当 $x<1$ 或 $y<-1$ 时, $F\left(x,y\right)=P\left(\varnothing \right)=0$.

当 $1\le x<2,-1\le y<0$ 时, $F\left(x,y\right)=P\{\xi =1,\eta =-1\}=\frac{1}{4}$.

当 $x\ge 2,-1\le y<0$ 时, $F\left(x,y\right)=P\{\xi =1,\eta =-1\}+P\{\xi =2,\eta =-1\}$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$.

当 $1\le x<2,y\ge 0$ 时, $F\left(x,y\right)=P\{\xi =1,\eta =-1\}+P\{\xi =1,\eta =0\}$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

当 $x\ge 2,y\ge 0$ 时,

$F\left(x,y\right)=P\{\xi =1,\eta =-1\}+P\{\xi =2,\eta =-1\}+P\{\xi =1,\eta =0\}+P\{\xi =2,\eta =0\}$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=1$.

所以 $F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\text{ 或 }y<-1\\ \frac{1}{4},& 1\le x<2\text{ 且 }-1\le y<0\\ \frac{5}{12},& x\ge 2\text{ 且 }-1\le y<0\\ \frac{1}{2},& 1\le x<2\text{ 且 }y\ge 0\\ 1,& x\le 2\text{ 且 }y\ge 0\end{array}$

(3) $F_{\xi }\left(x\right)=F\left(x,+\infty \right)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1\\ \frac{1}{2}& 1\le x<2\\ 1,& x\ge 2\end{array}$

$$F_{\eta }\left(y\right)=F\left(+\infty ,y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<-1\\ \frac{5}{12}& -1\le y<0\\ 1,& y\ge 0\end{array}$$

6.18

设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

令 $Y=X^2,F\left(x,y\right)$ 为二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数. 求

(1) $Y$ 的概率密度 $f_Y\left(y\right)$;

(2) $F\left(-\frac{1}{2},4\right)$.

解

(1) $Y$ 的分布函数为 $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{X^2\le y\right\}$.

当 $y\le 0$ 时, $F_Y\left(y\right)=0,f_Y\left(y\right)=0$;

当 $0<y<1$ 时,

$F_Y\left(y\right)=P\{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}=P\{-\sqrt{y}\le X<0\}+P\{0\le X\le \sqrt{y}\}$

$$=\frac{1}{2}\sqrt{y}+\frac{1}{4}\sqrt{y}=\frac{3}{4}\sqrt{y},$$ $$f_Y\left(y\right)=\frac{3}{8\sqrt{y}}$$

当 $1\le y<4$ 时,

$$F_Y\left(y\right)=P\{-1\le X<0\}+P\{0\le X\le \sqrt{y}\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sqrt{y},$$ $$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{8\sqrt{y}}$$

当 $y\ge 4$ 时, $F_Y\left(y\right)=1,f_Y\left(y\right)=0$.

故 $Y$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8\sqrt{y}},& 0<y<1\\ \frac{1}{8\sqrt{y}},& 1\le y<4\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(2) $F\left(-\frac{1}{2},4\right)=P\left\{X\le -\frac{1}{2},Y\le 4\right\}=P\left\{X\le -\frac{1}{2},X^2\le 4\right\}$

$$=P\left\{X\le -\frac{1}{2},-2\le X\le 2\right\}=P\left\{-2\le X\le -\frac{1}{2}\right\}$$ $$=P\left\{-1<X\le -\frac{1}{2}\right\}=\frac{1}{4}.$$