题型 3. 关于重要结论及公式

题型 3. 关于重要结论及公式

【5.11】设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(0,1\right)$ 和 $N\left(1,1\right)$, 则 ( ).

(A) $P\{X+Y\le 0\}=\frac{1}{2}$ (B) $P\{X+Y\le 1\}=\frac{1}{2}$

(C) $P\{X-Y\le 0\}=\frac{1}{2}$ (D) $P\{X-Y\le 1\}=\frac{1}{2}$

解 因为 $X+Y\sim N\left(1,2\right),X-Y\sim N\left(-1,2\right)$,利用正态分布几何意义或者结论:

当 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 时, $P\{X\le \mu \}=\frac{1}{2}$. 则

$$P\{X+Y\le 1\}=\frac{1}{2}$$

故应选 (B).

【5.12】设系统 $L$ 由两个相互独立的子系统 $L_1$ 和 $L_2$ 连接而成,其连接的方式分别为 (1)串联,(2)并联,如图 3-5.12 所示.

设 $L_1$ 和 $L_2$ 的寿命分别为 $X$ 和 $Y$,已知它们的密度函数分别为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\alpha {\mathrm{e}}^{-\alpha x},& x>0\\ 0,& x\le 0,\end{array}$$ $$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\beta {\mathrm{e}}^{-\beta y},& y>0\\ 0,& y\le 0,\end{array}$$

图 3-5.12

其中 $\alpha >0,\beta >0$,试分别就以上两种连接方式写出系统 $L$ 的寿命 $Z$ 的密度函数.

解 (1) 串联的情况

因为当 $L_1$ 和 $L_2$ 中有一个损坏时,系统 $L$ 就停止工作,所以 $L$ 的寿命为 $Z=\min \left(X,Y\right)$

因 $X$ 和 $Y$ 的分布函数分别为

$$F_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\alpha x},& x>0\\ 0,& x\le 0,\end{array}{F}_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\beta y},& y>0\\ 0,& y\le 0,\end{array}$$

故 $Z$ 的分布函数

$$F_Z\left(z\right)=1-\left(1-F_X\left(z\right)\right)\left(1-F_Y\left(z\right)\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\left(\alpha +\beta \right)z},& z>0\\ 0,& z\le 0.\end{array}$$

于是,得 $Z$ 的密度函数

$$f_Z\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\left(\alpha +\beta \right){\mathrm{e}}^{-\left(\alpha +\beta \right)z},& z>0\\ 0,& z\le 0.\end{array}$$

(2)并联的情况

因为当且仅当 $L_1$ 和 $L_2$ 都损坏时,系统 $L$ 才停止工作,所以 $L$ 的寿命为 $Z=\max \left(X,Y\right)$,由此知, $Z$ 的分布函数

$$F_Z\left(z\right)=F_X\left(z\right)F_Y\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\alpha z}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-\beta z}\right),& z>0\\ 0,& z\le 0.\end{array}$$

于是 $Z$ 的密度函数

$$f_Z\left(z\right)=\{\begin{array}{ll}\alpha {\mathrm{e}}^{-\alpha z}+\beta {\mathrm{e}}^{-\beta z}-\left(\alpha +\beta \right){\mathrm{e}}^{-\left(\alpha +\beta \right)z},& z>0\\ 0,& z\le 0.\end{array}$$

【5.13】假设一电路装有 3 个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为 $\lambda >0$ 的指数分布. 当 3 个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作. 试求电路正常工作的时间 $T$ 的概率分布.

解法一 以 $X_i\left(i=1,2,3\right)$ 表示第 $i$ 个电气元件无故障工作的时间,则 $X_1,X_2,X_3$ 相互独立且同分布, 其分布函数为

$$F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

设 $G\left(t\right)$ 是 $T$ 的分布函数. 当 $t\le 0$ 时, $G\left(t\right)=0$. 当 $t>0$ 时,有

$$G\left(t\right)=P\{T\le t\}=1-P\{T>t\}=1-P\left\{X_1>t,X_2>t,X_3>t\right\}$$ $$=1-P\left\{X_1>t\right\}P\left\{X_2>t\right\}P\left\{X_3>t\right\}=1-{\left[1-F\left(t\right)\right]}^3$$ $$=1-{\mathrm{e}}^{-3\lambda t}$$

得 $G\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-3\lambda t},& t>0\\ 0,& t\le 0\end{array}$

于是, $T$ 服从参数为 $3\lambda$ 的指数分布.

解法二 本题也可直接利用公式计算: 因为 $X_1,X_2,X_3$ 独立同分布,而 $T=\min (X_1,X_2$, $X_3)$,故

$$G\left(t\right)=1-{\left[1-F\left(t\right)\right]}^3=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-3\lambda t},& t>0\\ 0,& t\le 0\end{array}$$

题型 4. 特殊类型的变量函数的分布

【5.14】设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立,其中 $X$ 的概率分布为

$$X\sim \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0.3& 0.7\end{array}\right)$$

而 $Y$ 的概率密度为 $f\left(y\right)$,求随机变量 $U=X+Y$ 的概率密度 $g\left(u\right)$.

解 设 $F\left(y\right)$ 是 $Y$ 的分布函数,则由全概率公式,知 $U=X+Y$ 的分布函数为

$$G\left(u\right)=P\{X+Y\le u\}$$ $$=P\{X=1\}P\{X+Y\le u\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{X+Y\le u\mid X=2\}$$ $$=0.3P\{X+Y\le u\mid X=1\}+0.7P\{X+Y\le u\mid X=2\}$$ $$=0.3P\{Y\le u-1\mid X=1\}+0.7P\{Y\le u-2\mid X=2\}\text{.}$$

由于 $X$ 和 $Y$ 独立,可见

$$G\left(u\right)=0.3P\{Y\le u-1\}+0.7P\{Y\le u-2\}$$ $$=0.3F\left(u-1\right)+0.7F\left(u-2\right)\text{.}$$

由此,得 $U$ 的概率密度

$$g\left(u\right)=G^{\prime }\left(u\right)=0.3F^{\prime }\left(u-1\right)+0.7F^{\prime }\left(u-2\right)$$ $$=0.3f\left(u-1\right)+0.7f\left(u-2\right)\text{.}$$

点评 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型,一个是离散型,需用全概率公式计算, 有一定难度.

另外,也可写成 $G\left(u\right)=0.3{\int }_{-\infty }^{u-1}f\left(y\right)\mathrm{d}y+0.7{\int }_{-\infty }^{u-2}f\left(y\right)\mathrm{d}y$,同样求出 $g\left(u\right)$.

【5.15】假设一设备开机后无故障工作的时间 $X$ 服从指数分布,平均无故障工作的时间 (EX) 为 5 小时. 设备定时开机. 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间 $Y$ 的分布函数 $F\left(y\right)$.

解 设 $X$ 的分布参数为 $\lambda$. 由于 $EX=\frac{1}{\lambda }=5$,可见 $\lambda =\frac{1}{5}$ (EX 结论见第四章),显然

$$Y=\min \{X,2\}.$$

对于 $y<0,F\left(y\right)=0$; 对于 $y\ge 2,F\left(y\right)=1$.

设 $0\le y<2$,有

$$F\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\{\min \left(X,2\right)\le y\}=P\{X\le y\}=1-{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{5}}.$$

于是, $Y$ 的分布函数为

$$F\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0\\ 1-{\mathrm{e}}^{-\frac{y}{5}},& 0\le y<2\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

点评 本题的关键在于: 一是指数分布的参数与数学期望的关系要熟悉; 二是能将 $Y$ 表示成 $\min \{X,2\}$.