题型 3. 利用随机变量的分布求概率

6.19

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且都服从区间 $\left(0,1\right)$ 上的均匀分布,则 $P\left\{X^2+Y^2\le 1\right\}=$ _____.

(A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{\pi }{8}$ (D) $\frac{\pi }{4}$

解

本题求随机事件的概率. 由于给出了边缘分布,结合随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立的条件可直接得到 $\left(X,Y\right)$ 的联合概率密度 $f\left(x,y\right)$,然后计算二重积分

$$P\left\{X^2+Y^2\le 1\right\}={\iint }_{x^2+y^2\le 1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

即可. 但本题联合分布为均匀分布, 属几何概型, 利用图示法, 即利用面积计算会更简便 (参见图 3-6.19).

图 3-6.19

随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且都服从区间 $\left[0,1\right]$ 上的均匀分布,所以 $X$ 与 $Y$ 的联合分布为区域

$$D=\{\left(x,y\right)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$$

上的均匀分布, 于是

$$P\left\{X^2+Y^2\le 1\right\}=\frac{S}{S_D}=\frac{\frac{\pi }{4}}{1}=\frac{\pi }{4}.$$

故应选(D).

6.20

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布律为

$X$ $Y$	0	1	2	3	4	5
0	0	0.01	0.03	0.05	0.07	0.09
1	0.01	0.02	0.04	0.05	0.06	0.08
2	0.01	0.03	0.05	0.05	0.05	0.06
3	0.01	0.02	0.04	0.06	0.06	0.05

求 $P\{X=2\mid Y=2\},P\{Y=3\mid X=0\}$.

解

因为 $P\{X=2\mid Y=2\}=\frac{P\{X=2,Y=2\}}{P\{Y=2\}}$,由上表可知

$$P\{X=2,Y=2\}=0.05$$ $$P\{Y=2\}=0.01+0.03+0.05+0.05+0.05+0.06=0.25$$

所以 $P\{X=2\mid Y=2\}=\frac{0.05}{0.25}=\frac{1}{5}=0.2$

同理 $P\{X=0,Y=3\}=0.01$

$P\{X=0\}=0.01+0.01+0.01=0.03$

故 $P\{Y=3\mid X=0\}=\frac{P\{X=0,Y=3\}}{P\{X=0\}}=\frac{0.01}{0.03}=\frac{1}{3}$.

6.21

设随机变量 $\left(X,Y\right)\sim N\left(0,2^2;1,3^2;0\right)$,则 $P\{\left|2X-Y\right|\ge 1\}=$ _____.

解

因为 $\rho =0$,所以 $X$, $Y$ 独立,且 $X\sim N\left(0,2^2\right),Y\sim N\left(1,3^2\right)$,则 $2X-Y\sim N\left(-1,5^2\right)$.

故 $P\{\left|2X-Y\right|\ge 1\}=1-P\{-1\le 2X-Y\le 1\}=1-\Phi \left(\frac{2}{5}\right)+\Phi \left(0\right)$

$$=1-0.6554+0.5=0.8446$$

故应填 0.8446.

6.22

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}k\left(6-x-y\right),& 0<x<2,2<y<4\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(1) 确定常数 $k$;

(2) 求 $P\{X<1,Y<3\}$;

(3) 求 $P\{X<1.5\}$;

(4) 求 $P\{X+Y\le 4\}$.

解

(1) 因为

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy& ={\int }_0^2{\int }_2^{4}k(6-x-y)dydx\\ & =k{\int }_0^2(6-2x)dx\\ & =k(12-4)\\ & =8k=1.\end{array}$$

所以 $k=\frac{1}{8}$.

(2)

$$\begin{array}{rl}P\{X<1,Y<3\}& ={\int }_0^1{\int }_2^3\frac{1}{8}(6-x-y)dydx\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^1\left[(6-x)-\frac{5}{2}\right]dx\\ & =\frac{1}{8}\left(\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{3}{8}.\end{array}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}P\{X<1.5\}& ={\int }_{-\infty }^{1.5}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dydx\\ & ={\int }_0^{1.5}\left[{\int }_2^4\frac{1}{8}(6-x-y)dy\right]dx\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^{1.5}\left[2(6-x)-6\right]dx\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^{1.5}(6-2x)dx\\ & =\frac{1}{8}\left[6(1.5)-(1.5{)}^2\right]\\ & =\frac{1}{8}\left[9-\frac{9}{4}\right]\\ & =\frac{27}{32}.\end{array}$$

(4) 将 $\left(X,Y\right)$ 看作是平面上随机点的坐标,即有 $\{X+Y\le 4\}=\{\left(X,Y\right)\in G\}$,其中 $G$ 为 $XOY$ 平面上直线 $x+y=4$ 下方的部分 (参阅图 3-6.22).

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y\le 4\}& =P\{(X,Y)\in G\}={\iint }_{G}f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_0^{2}dx{\int }_2^{4-x}\frac{1}{8}(6-x-y)dy\\ & =\frac{1}{8}{\int }_0^2\left[(6-x)(2-x)-\frac{(6-x)(2-x)}{2}\right]dx\\ & =\frac{1}{16}{\int }_0^2\left(12-8x+x^2\right)dx\\ & =\frac{1}{16}\left[24-16-\frac{8}{3}\right]\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{2}{3}.\end{array}$$

图 3-6.22

6.23

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}2-x-y,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1) 求 $P\{X>2Y\}$;

(2) 求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_Z\left(z\right)$.

解

(1)

$$\begin{array}{rl}P\{X>2Y\}& ={\iint }_{x>2y}f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{\frac{x}{2}}\left(2-x-y\right)dy\\ & ={\int }_0^1\left(x-\frac{5}{8}{x}^2\right)dx\\ & =\frac{7}{24}.\end{array}$$

(2) $f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,z-x\right)\mathrm{d}x$, 其中

$$\begin{array}{rl}f\left(x,z-x\right)& =\{\begin{array}{ll}2-x-\left(z-x\right),& 0<x<1,0<z-x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}2-z,& 0<x<1,0<z-x<1\\ 0,& \text{ 其他,}\end{array}\end{array}$$

• 当 $z\le 0$ 或 $z\ge 2$ 时, $f_Z\left(z\right)=0$
• 当 $0<z<1$ 时, $f_Z\left(z\right)={\int }_0^z\left(2-z\right)\mathrm{d}x=z\left(2-z\right)$
• 当 $1\le z<2$ 时, $f_Z\left(z\right)={\int }_{z-1}^1\left(2-z\right)\mathrm{d}x={\left(2-z\right)}^2$ 即 $Z$ 的概率密度为 $f_Z\left(z\right)=\{\begin{array}{cc}z\left(2-z\right),& 0<z<1\\ {\left(2-z\right)}^2,& 1\le z<2\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$