题型 4. 关于条件分布

6.24

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=A{\mathrm{e}}^{-2x^2+2xy-y^2},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty ,$$

求常数 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)$

解

因 $f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-2x^2+2xy-y^2}\mathrm{d}y=A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\left(y-x\right)}^2-x^2}\mathrm{d}y$

$=A{\mathrm{e}}^{-x^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\left(y-x\right)}^2}\mathrm{d}y=A\sqrt{\pi }{\mathrm{e}}^{-x^2},-\infty <x<+\infty .$

所以

$$1={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x=A\sqrt{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=A\pi ,$$

从而 $A=\frac{1}{\pi }$.

当 $x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$ 时,

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}=\frac{\frac{1}{\pi }{\mathrm{e}}^{-2x^2+2xy-y^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2+2xy-y^2}$$ $$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-{\left(x-y\right)}^2},-\infty <y<+\infty .$$

6.25

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& 0<y<x\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1)求条件概率密度 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)$;

(2)求条件概率 $P\{X\le 1\mid Y\le 1\}$.

解

(1) $X$ 的概率密度

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}y,& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

当 $x>0$ 时, $Y$ 的条件概率密度

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(2) $Y$ 的概率密度

$$f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& y>0\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$ $$P\{X\le 1\mid Y\le 1\}=\frac{P\{X\le 1,Y\le 1\}}{P\{Y\le 1\}}=\frac{{\int }_{-\infty }^1{\int }_{-\infty }^{1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y}$$ $$=\frac{{\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}y}{1-{\mathrm{e}}^{-1}}=\frac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}-1}.$$

6.26

设 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

( 1 )求条件概率密度 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)$,特别写出当 $X=\frac{1}{2}$ 时 $Y$ 的条件概率密度；

(2)求条件概率 $P\left\{Y\ge \frac{3}{4}\mid X=\frac{1}{2}\right\}$.

解

由

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他,}\end{array}$$

可得 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{8}{x}^2\left(1-x^4\right),& -1\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他,}\end{array}$

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{7}{2}{y}^{\frac{5}{2}},& 0\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(1) $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}=\{\begin{array}{cc}\frac{2y}{1-x^4},& x^2<y<1,-1<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x=\frac{1}{2}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{32}{15}y,& \frac{1}{4}<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(2) $P\left\{Y\ge \frac{3}{4}|X=\frac{1}{2}\right\}={\int }_{\frac{3}{4}}^{+\infty }{f}_{Y\mid X}\left(y\mid x=\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}y={\int }_{\frac{3}{4}}^1\frac{32}{15}y\mathrm{d}y=\frac{7}{15}$.

6.27

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布,且 $X$ 与 $Y$ 不相关, $f_X\left(x\right),f_Y\left(y\right)$ 分别表示 $X,Y$ 的概率密度,则在 $Y=y$ 的条件下, $X$ 的条件概率密度 $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)$ 为( ).

(A) $f_X\left(x\right)$ (B) $f_Y\left(y\right)$ (C) $f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)$ (D) $\frac{f_X\left(x\right)}{f_Y\left(y\right)}$

解法一

由于 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布,因此 $X$ 与 $Y$ 不相关可知 $X$ 与 $Y$ 相互独立. 于是有

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=f_X\left(x\right).$$

选项(A) 正确.

解法二

由于 $X$ 与 $Y$ 不相关,即 $\rho =0$,因此 $\left(X,Y\right)$ 的联合密度为

$$f\left(x,y\right)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]}.$$

而 $X,Y$ 的边缘概率密度分别为

$$f_X\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(x-{\mu }_1\right)}^2}{2{\sigma }_1^2}},$$ $$f_Y\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{\mathrm{e}}^{-\frac{{\left(y-{\mu }_2\right)}^2}{2{\sigma }_2^2}},$$ $$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(x-{\mu }_1\right)}^2}{2{\sigma }_1^2}}=f_X\left(x\right).$$

故应选 (A).

点评

本题主要考查二维正态分布的性质,我们知道对于任意两个随机变量 $X,Y$ 不相关仅仅是 $X$ 与 $Y$ 独立的必要条件. 但是对于二维正态分布, $X$ 与 $Y$ 不相关是 $X,Y$ 独立的充分必要条件.