题型 5. 与独立性有关的题目

6.28

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立,均服从相同的 $\left(0-1\right)$ 分布:

$$P\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1-p.$$

又设 $Z=\{\begin{array}{ll}0,& X+Y=偶数\\ 1,& X+Y=奇数\end{array}$, 则 $p\left(0<p<1\right)$ 为 ___ 时, 能使 $Z$ 和 $X$ 相互独立.

解

由 $X$ 和 $Y$ 独立,易知

$$P\{Z=0\}={\left(1-p\right)}^2+p^2,P\{Z=1\}=2p\left(1-p\right).$$

要使 $Z$ 与 $X$ 独立,必须 $P\{X=i,Z=j\}=P\{X=i\}P\{Z=j\},i=0,1;j=0,1$,即

$$\{\begin{array}{l}\left[{\left(1-p\right)}^2+p^2\right]\left(1-p\right)={\left(1-p\right)}^2\\ 2p\left(1-p\right)\left(1-p\right)=p\left(1-p\right)\\ \left[{\left(1-p\right)}^2+p^2\right]p=p^2\\ 2p\left(1-p\right)p=p\left(1-p\right)\end{array}$$

解得 $p=\frac{1}{2}$.

6.29

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布,则 $P\{X$ $<Y\}=$ _____.

(A) $\frac{1}{5}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{4}{5}$

解

因为 $X,Y$ 分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布,

故 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}{f}_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}4{\mathrm{e}}^{-4y},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$.

因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立,所以 $f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}4{\mathrm{e}}^{-x}{\mathrm{e}}^{-4y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$,

从而 $P\{X<Y\}={\iint }_{x<y}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}x{\int }_0^{x}4{\mathrm{e}}^{-x-4y}\mathrm{d}y=\frac{1}{5}$.

故应选 (A).

6.30

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 服从正态分布 $N\left(1,0;1,1;0\right)$,则 $P\{XY-Y<0\}=$ _____.

解

由于相关系数为 0,所以 $X,Y$ 都服从正态分布,即

$$X\sim N\left(1,1\right),Y\sim N\left(0,1\right),$$

且 $X$ 和 $Y$ 相互独立.

由 $X\sim N\left(1,1\right)$,可得 $X-1\sim N\left(0,1\right)$,所以

$$P\{XY-Y<0\}=P\{\left(X-1\right)Y<0\}$$ $$=P\{X-1<0,Y>0\}+P\{X-1>0,Y<0\}$$ $$=P\{X-1<0\}P\{Y>0\}+P\{X-1>0\}P\{Y<0\}$$ $$=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\text{.}$$

点评

本题考查了二维正态分布与一维正态分布的重要结论:

① 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布,即当 $\left(X,Y\right)\sim N\left({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho \right)$ 时,

$$X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right).$$

② 二维正态分布独立 $\iff$ 不相关,即 $\rho =0\iff X$ 与 $Y$ 相互独立.

③ 若 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,则 $P\{X\le \mu \}=P\{X>\mu \}=\frac{1}{2}$. 本题中 $X\sim N\left(1,1\right),Y\sim N\left(0,1\right)$. 则

$$P\{X<1\}=P\{X>1\}=\frac{1}{2},P\{Y<0\}=P\{Y>0\}=\frac{1}{2}.$$

6.31

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 具有分布函数

$$F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\alpha x}\right)y,& x\ge 0,0\le y\le 1\\ 1-{\mathrm{e}}^{-\alpha x},& x\ge 0,y>1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array},\alpha >0$$

证明 $X,Y$ 相互独立.

解

$F_X\left(x\right)=F\left(x,\infty \right)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-ax},& x\ge 0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$

$$F_Y\left(y\right)=F\left(\infty ,y\right)=\{\begin{array}{ll}y,& 0\le y\le 1\\ 1,& y>1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

因为对于所有的 $x,y$ 都有 $F\left(x,y\right)=F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right)$,故 $X,Y$ 相互独立.

6.32

设 $\left(X,Y\right)$ 的联合密度函数为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}A{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

(1) 确定 $A$;

(2)求 $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)$ 及 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)$,并判断 $X,Y$ 的独立性；

(3) 求 $P\{X\le 2\mid Y\le 1\}$;

(4) 求 $P\{X\le 2\mid Y=1\}$.

解

(1) 因为 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$,所以在这里应有

$${\int }_0^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }A{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{A}{2}=1$$

故 $A=2$.

(2)据公式有

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)},f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}.$$

由于 $y\le 0$ 时, $f_Y\left(y\right)=0,y>0$ 时, $f_Y\left(y\right)={\int }_0^{+\infty }2{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)}\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{-y}$,所以

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y}& y>0\\ 0,& y\le 0.\end{array}$$

因此, $x>0,y>0$ 时, $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{2{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)}}{{\mathrm{e}}^{-y}}=2{\mathrm{e}}^{-2x}$,所以

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

又由于 $x\le 0$ 时, $f_X\left(x\right)=0,x>0$ 时, $f_X\left(x\right)={\int }_0^{+\infty }2{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)}\mathrm{d}y=2{\mathrm{e}}^{-2x}$,所以

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2{\mathrm{e}}^{-2x},& x>0\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

因此, $x>0,y>0$ 时, $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{2{\mathrm{e}}^{-\left(2x+y\right)}}{2{\mathrm{e}}^{-2x}}={\mathrm{e}}^{-y}$,所以

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

从以上所解的结果看出, $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=f_X\left(x\right),f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=f_Y\left(y\right)$,这说明 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的.

(3) 求 $P\{X\le 2\mid Y\le 1\}$.

由 (2) 中已判断出 $X,Y$ 相互独立,则

$$P\{X\le 2\mid Y\le 1\}=P\{X\le 2\}=F_X\left(2\right)={\int }_{-\infty }^2{f}_X\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{2}2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$$ $$=1-{\mathrm{e}}^{-4}\approx 0.9817\text{.}$$

(4) 求 $P\{X\le 2\mid Y=1\}$.

因为 $X,Y$ 相互独立,这个概率与条件 $Y=1$ 无关.

$$P\{X\le 2\mid Y=1\}=P\{X\le 2\mid Y\le 1\}=P\{X\le 2\}\approx 0.9817.$$

点评

对于 (2),可以先由 $f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)$ 判断出 $X$ 与 $Y$ 相互独立,因此 $f_{X\mid Y}(x\mid$ $y)=f_X\left(x\right),f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=f_Y\left(y\right)$,计算更加简便.

6.33

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(x+y\right){\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

问 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立?

解

$\left(X,Y\right)$ 关于 $X$ 的边缘概率密度为

$$f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{2}\left(x+y\right){\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}y,& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(x+1\right){\mathrm{e}}^{-x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

$\left(X,Y\right)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度为

$$f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}{\int }_0^{+\infty }\frac{1}{2}\left(x+y\right){\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)}\mathrm{d}x,& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left(y+1\right){\mathrm{e}}^{-y},& y>0\\ 0,& y\le 0\end{array}$$

而 $f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}\left(x+1\right)\left(y+1\right){\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x>0,y>0\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

显然 $f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)\ne f\left(x,y\right)$,故 $X$ 和 $Y$ 不独立.