1. 二维随机变量函数的分布

1. 二维随机变量函数的分布

(1)已知离散型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布律 $P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}=p_{ij}$,则 $Z=g\left(X,Y\right)$ 的分布为

$$P\left\{Z=z_k\right\}=P\left\{g\left(X,Y\right)=z_k\right\}=\sum _{g\left(x_i,y_j\right)=z_k}{p}_{ij}$$

(2)设连续型随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为 $f\left(x,y\right)$,则 $Z=g\left(X,Y\right)$ 的分布函数为

$$F_Z\left(z\right)=P\{Z\le z\}={\iint }_{g\left(x,y\right)\le z}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

概率密度 $f_Z\left(z\right)=F_Z{}^{\prime }\left(z\right)$.

特殊类型:

① $Z=X+Y$ 密度函数为

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,z-x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(z-y,y\right)\mathrm{d}y,$$

特别,当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时

$$f_Z\left(z\right)=f_X\ast f_Y={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X\left(x\right)f_Y\left(z-x\right)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X\left(z-y\right)f_Y\left(y\right)\mathrm{d}y.$$

概率论与数理统计习题精选精解

② 设 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,且 $X,Y$ 相互独立,则

$$aX+bY\sim N\left(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2\right).$$

③ 设 $X,Y$ 相互独立,分布函数分别为 $F_X\left(x\right)$ 和 $F_Y\left(y\right),M=\max \left(X,Y\right),N=\min \left(X,Y\right)$, 则

$$F_M\left(z\right)=F_X\left(z\right)F_Y\left(z\right),$$ $$F_N\left(z\right)=1-\left[1-F_X\left(z\right)\right]\left[1-F_Y\left(z\right)\right].$$

④ $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数为

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|y\right|f\left(yz,y\right)\mathrm{d}y,$$

当 $X,Y$ 相互独立时,

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|y\right|f_X\left(yz\right)f_Y\left(y\right)\mathrm{d}y.$$

⑤ $Z=\frac{Y}{X}$ 的密度函数为

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|x\right|f\left(x,xz\right)\mathrm{d}x,$$

当 $X,Y$ 相互独立时,

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|x\right|f_X\left(x\right)f_Y\left(xz\right)\mathrm{d}x.$$

⑥ $Z=XY$ 的密度函数为

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left|x\right|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x,$$

当 $X,Y$ 相互独立时,

$$f_Z\left(z\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left|x\right|}{f}_X\left(x\right)f_Y\left(\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x.$$