2. 多维随机变量函数的分布

2. 多维随机变量函数的分布

对于相互独立的多维随机变量所构成的简单函数, 可利用二维随机变量的结果加以推广. 常用结论及公式如下:

(1)设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立,且 $X_i\sim N\left({\mu }_i,{\sigma }_i^2\right),k_i$ 为任意常数, $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,则

$$Z=\sum _{i=1}^n{k}_i{X}_i\sim N\left(\sum _{i=1}^n{k}_i{\mu }_i,\sum _{i=1}^n{k}_i^2{\sigma }_i^2\right).$$

(2) 设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立,且 $X_i$ 的分布函数为 $F_{X_i}\left(x_i\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$,则 $Z=$ $\max \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ 的分布函数为

$$F_{\max }\left(z\right)=F_{X_1}\left(z\right)F_{X_2}\left(z\right)\cdots F_{X_n}\left(z\right),$$

$Z=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ 的分布函数为

$$F_{\min }\left(z\right)=1-\left[1-F_{X_1}\left(z\right)\right]\left[1-F_{X_2}\left(z\right)\right]\cdots \left[1-F_{X_n}\left(z\right)\right].$$