3. 条件分布

3. 条件分布

知识要点

1. 条件分布律 设 $\left(X,Y\right)$ 是二维离散型随机变量,若 $p.j>0$,则称

$$p_{X\mid Y}\left(i\mid j\right)=P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}=\frac{p_{ij}}{p\cdot j}\left(i=1,2,\cdots \right)$$

为在 $\left\{Y=y_j\right\}$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布律.

若 $p_i$. > 0,则称

$$p_{Y\mid X}\left(j\mid i\right)=P\left\{Y=y_j\mid X=x_i\right\}=\frac{p_{ij}}{p_i}\left(j=1,2,\cdots \right)$$

为在 $\left\{X=x_i\right\}$ 条件下随机变量 $Y$ 的条件分布律.

1. 条件概率密度 设 $\left(X,Y\right)$ 是二维连续型随机变量,若 $f_Y\left(y\right)>0$,则称

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)}\left(-\infty <x<+\infty \right)$$

为在 $\{Y=y\}$ 条件下 $X$ 的条件概率密度.

若 $f_X\left(x\right)>0$,则称

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}\left(-\infty <y<+\infty \right)$$

为在 $\{X=x\}$ 条件下 $Y$ 的条件概率密度.

基本题型

题型 1. 求条件分布律

【3.1】求 $\S 2$ 例子【2.1】中的条件分布律: $P\{Y=k\mid X=i\}$

解 $P\{Y=k\mid X=i\}=\frac{P\{Y=k,X=i\}}{P\{X=i\}}$,而

$$P\{X=k,X=i\}=\frac{1}{i}\cdot \frac{1}{4},i=1,2,3,4,k\le i$$ $$P\{X=i\}=\frac{1}{4}$$

所以 $P\{Y=k\mid X=i\}=\frac{1}{i},i=1,2,3,4,k\le i$. 即概率论与数理统计习题精选精解

$k$	1
$P\{ Y = k \mid X = 1\}$	1

$k$	1	2
$P\{ Y = k \mid X = 3\}$	$\frac{1}{3}$

$k$1	2
$P\{ Y = k \mid X = 2\}$$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

$k$
$P\{ Y = k \mid X = 4\}$				$\begin{array}{lll} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}$

题型 2. 条件密度的计算及应用

【3.2】设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \left|y\right|<x,0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

求条件概率密度 $f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right),f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)$.

解 由于概率密度 $f\left(x,y\right)$ 仅在图 3-3.2 中阴影部分为非零值.

故 $f\left(x,y\right)$ 的边缘密度为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\int }_{-x}^{x}1\mathrm{d}y,& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}{\int }_{|y|}^{1}1\mathrm{d}x,& -1<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$=\{\begin{array}{ll}1-\left|y\right|,& -1<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

图 3-3.2

所以当 $0<x<1$ 时,

$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2x},& \left|y\right|<x\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

当 $\left|y\right|<1$ 时, $f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-|y|},& \left|y\right|<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

【3.3】设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 服从区域 $D:x^2+y^2\le 1$ 上的均匀分布,求条件密度函数和条件概率 $P\left\{X>\frac{1}{2}\mid Y=0\right\}$.

解 由于 $\left(X,Y\right)$ 服从均匀分布,易知

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

由 $f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}y$,求得

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi },& -1\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

同理可得

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi },& -1\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

当 $-1<y<1$ 时

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}},& -\sqrt{1-y^2}\le x\le \sqrt{1-y^2}\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

同理,当 $-1<x<1$ 时

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}},& -\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

当 $y=0$ 时, $f_{X\mid Y}\left(x\mid 0\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1\le x\le 1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

$$P\left\{X>\frac{1}{2}\mid Y=0\right\}={\int }_{\frac{1}{2}}^{+\infty }{f}_{X\mid Y}\left(x\mid 0\right)\mathrm{d}x={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{1}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}.$$

【3.4】设随机变量 $X$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上服从均匀分布,在 $X=x\left(0<x<1\right)$ 的条件下,随机变量 $Y$ 在区间 $\left(0,x\right)$ 上服从均匀分布,求:

(1)随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度； (2) $Y$ 的概率密度; (3)概率 $P\{X+Y>1\}$.

解 (1) $X$ 的概率密度为 $f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$

在 $X=x\left(0<x<1\right)$ 条件下, $Y$ 的条件密度为

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

当 $0<y<x<1$ 时,随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为

$$f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{1}{x}$$

在其他点 $\left(x,y\right)$ 处,有 $f\left(x,y\right)=0$,即

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$

(2)当 $0<y<1$ 时, $Y$ 的概率密度为

$$f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)\mathrm{d}x={\int }_y^1\frac{1}{x}\mathrm{d}x=-\ln y$$

当 $y\le 0$ 或 $y\ge 1$ 时, $f_Y\left(y\right)=0$,因此 $f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}-\ln y,& 0<y<1\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$

(3)所求概率

$$P\{X+Y>1\}={\iint }_{x+y>1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}x{\int }_{1-x}^x\frac{1}{x}\mathrm{d}y={\int }_{\frac{1}{2}}^1\left(2-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=1-\ln 2.$$