题型 1. 关于数字特征的判断与选择

4.1

设随机变量 $X\sim N\left(0,1\right),Y\sim N\left(1,4\right)$ 且相关系数 ${\rho }_{XY}=1$,则( ).

(A) $P\{Y=-2X-1\}=1$ (B) $P\{Y=2X-1\}=1$

(C) $P\{Y=-2X+1\}=1$ (D) $P\{Y=2X+1\}=1$

解

由性质: ${\rho }_{XY}=1\Rightarrow P\{Y=aX+b\}=1,\left(a>0\right)$. 可排除 (A),(C).

因为 $X\sim N\left(0,1\right)$,所以

$$2X-1\sim N\left(-1,4\right),2X+1\sim N\left(1,4\right)$$

而 $Y\sim N\left(1,4\right)$.

故应选 (D).

4.2

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布,记 $U=X-Y,V=X+Y$,则随机变量 $U$ 与 $V$ 必然 ( ).

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零

解

$\mathrm{Cov}\left(U,V\right)=E\left(UV\right)-\left[E\left(U\right)E\left(V\right)\right]$

$$=E\left(X^2-Y^2\right)-{\left[E\left(X\right)\right]}^2+{\left[E\left(Y\right)\right]}^2$$ $$=E\left(X^2\right)-E\left(Y^2\right)-{\left[E\left(X\right)\right]}^2+{\left[E\left(Y\right)\right]}^2$$ $$=\left[E\left(X^2\right)-{\left(EX\right)}^2\right]-\left[E\left(Y^2\right)-{\left(EY\right)}^2\right]=D\left(X\right)-D\left(Y\right)=0\text{,}$$

所以

$${\rho }_{UV}=\frac{\mathrm{Cov}\left(U,V\right)}{\sqrt{D\left(U\right)}\cdot \sqrt{D\left(V\right)}}=0.$$

故应选(D).

点评

当随机变量是线性函数时, 求协方差用性质较为方便:

$\mathrm{Cov}\left(U,V\right)=\mathrm{Cov}\left(X-Y,X+Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X,X\right)+\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)-\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)-\mathrm{Cov}\left(Y,Y\right)$

$=DX-DY=0$.

4.3

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 服从二维正态分布,则随机变量 $\xi =X+Y$ 与 $\eta =X-Y$ 不相关的充分必要条件为 ( ).

(A) $E\left(X\right)=E\left(Y\right)$

(B) $E\left(X^2\right)-{\left[E\left(X\right)\right]}^2=E\left(Y^2\right)-{\left[E\left(Y\right)\right]}^2$

(C) $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$

(D) $E\left(X^2\right)+{\left[E\left(X\right)\right]}^2=E\left(Y^2\right)+{\left[E\left(Y\right)\right]}^2$

解

${\rho }_{\xi ,\eta }=0\iff \mathrm{Cov}\left(\xi ,\eta \right)=0$,即

$$\mathrm{Cov}\left(\xi ,\eta \right)=E\xi \eta -E\xi \cdot E\eta =E\left(X^2-Y^2\right)-\left(EX+EY\right)\left(EX-EY\right)$$ $$=E{X}^2-E{Y}^2-{\left[EX\right]}^2+{\left[EY\right]}^2=0\text{,}$$

也即 $E{X}^2-{\left[EX\right]}^2=E{Y}^2-{\left[EY\right]}^2$.

故应选 (B).

4.4

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在且不等于 0,则 $D\left(X+Y\right)=DX+DY$ 是 $X$ 和 $Y$ ( ).

(A) 不相关的充分条件, 但不是必要条件

(B) 独立的必要条件, 但不是充分条件

(C) 不相关的充分必要条件

(D) 独立的充分必要条件

解

由公式 $D\left(X+Y\right)=DX+DY+2\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)$

$D\left(X+Y\right)=DX+DY$ 的充分必要条件是 $\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=0$.

故应选(C).

4.5

设 $X$ 是一随机变量, $EX=\mu ,DX={\sigma }^2\left(\mu ,\sigma >0\text{常数}\right)$,则对任意常数 $c$,必有( ).

(A) $E{\left(X-c\right)}^2=E{X}^2-c^2$ (B) $E{\left(X-c\right)}^2=E{\left(X-\mu \right)}^2$

(C) $E{\left(X-c\right)}^2<E{\left(X-\mu \right)}^2$ (D) $E{\left(X-c\right)}^2\ge E{\left(X-\mu \right)}^2$

解

由于 $E{\left(X-c\right)}^2=E{\left(X-\mu +\mu -c\right)}^2=E{\left(X-\mu \right)}^2+E{\left(\mu -c\right)}^2+2\left(\mu -c\right)E\left(X-\mu \right)$

$=E{\left(X-\mu \right)}^2+{\left(\mu -c\right)}^2$

即有 $E{\left(X-c\right)}^2\ge E{\left(X-\mu \right)}^2$.

故应选(D).

点评

因为 $DX=E{\left(X-EX\right)}^2=E{\left(X-\mu \right)}^2$,所以如果考生对于常见不等式 $DX\le E{\left(X-c\right)}^2$ 比较熟悉的话可以直接选择(D).

4.6

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且 $EX$ 与 $EY$ 存在,记 $U=\max \{X,Y\},V=\min \{X,Y\}$,则 $E\left(UV\right)=$ _____.

(A) $E\mathrm{U}\cdot E\mathrm{V}$ (B) $EX\cdot EY$ (C) $EU\cdot EY$ (D) $EX\cdot EV$

解

由于 $UV=\max \{X,Y\}\min \{X,Y\}=XY,$

可知 $E\left(UV\right)=E\left(\max \{X,Y\}\min \{X,Y\}\right)=E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$.

故应选(B).