1.12

已知离散型随机变量 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布, 即

P {X = k} = \frac{2 ^{k} e ^{- 2}}{k !}, k = 0, 1, 2, \dots,

则随机变量 $Z = 3 X - 2$ 的数学期望 $EZ =$ _____.

解

本题要求读者熟悉泊松分布的数字特征, 并会利用数学期望的性质求随机变量线性函数的数学期望.

由于 $X$ 服从参数为 2 的泊松分布,则 $EX = 2$ , 所以

EZ = E (3 X - 2) = 3 EX - 2 = 4.

设随机变量 $X_{ij} (i, j = 1, 2, \dots, n; n \geq 2)$ 独立同分布, $E X_{ij} = 2$ ,则行列式

Y = X_{11} X_{21} \dots X_{n 1} X_{12} X_{22} \dots X_{n 2} \dots \dots \dots \dots X_{1 n} X_{2 n} \dots X_{nn}

的数学期望 $E Y =$ _____.

由 $Y = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} X_{1 j_{1}} X_{2 j_{2}} \dots X_{n j_{n}}$

且随机变量 $X_{ij} (i, j = 1, 2, \dots, n)$ 相互独立同分布, $E X_{ij} = 2$ ,有

E Y = E j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} X_{1 j_{1}} X_{2 j_{2}} \dots X_{n j_{n}} = j_{1} j_{2} \dots j_{n} \sum (- 1)^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} E X_{1 j_{1}} E X_{2 j_{2}} \dots E X_{n j_{n}} = E X_{11} E X_{21} \dots E X_{n 1} E X_{12} E X_{22} \dots E X_{n 2} \dots \dots \dots \dots E X_{1 n} E X_{2 n} \dots E X_{nn} = 22 \dots 2 22 \dots 2 \dots \dots \dots \dots 22 \dots 2 = 0.

故应填 0.

从甲地到乙地的旅游车上载 20 位旅客自由地进出, 沿途有 10 个车站,如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以 $X$ 表示停车次数, 求 $E (X)$ (设每位旅客在各个车站下车是等可能的).

引进随机变量 $X_{i} = {0, 1, 第 i 站没有人下车; 第 i 站有人下车 .$

则

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{10} .

根据题意任一旅客在第 $i$ 站不下车的概率为 $\frac{9}{10}$ , 因此 20 位旅客在第 $i$ 站不下车的概率为 $(\frac{9}{10})^{20}$ , 在第 $i$ 站有人下车的概率为 $1 - (\frac{9}{10})^{20}$ . 即

P {X_{i} = 0} = (\frac{9}{10})^{20}, P {X_{i} = 1} = 1 - (\frac{9}{10})^{20} . (i = 1, 2, \dots, 10)

由此

E (X_{i}) = 0 \times (\frac{9}{10})^{20} + 1 \times [1 - (\frac{9}{10})^{20}] = 1 - (\frac{9}{10})^{20}

EX = i = 1 \sum 10 [1 - (\frac{9}{10})^{20}] \approx 8.8 .

故平均停车 9 次.

将 $X$ 分解成数个随机变量之和,然后利用数学期望的性质求 $EX$ ,这种方法对于不易求分布律的随机变量计算数学期望有很大作用.

设 $X, Y$ 相互独立,其密度函数分别为

f_{X} (x) = {2 x, 0, 0 \leq x \leq 1, 其他, f_{Y} (y) = {e^{- (y - 5)}, 0, y > 5, 其他

求 $E (X Y)$ .

因为 $X, Y$ 相互独立,故利用期望性质

E (X Y) = E (X) \cdot E (Y) = \int_{0}^{1} x 2 x d x \int_{5}^{+ \infty} y e^{- (y - 5)} d y = \frac{2}{3} \times 6 = 4.

E (X Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int_{0}^{1} \int_{5}^{+ \infty} x y 2 x e^{- (y - 5)} d x d y = 4.