题型 5. 数字特征应用题

4.43

设某企业生产线上产品合格率为 0.96,不合格产品中只有 $\frac{3}{4}$ 产品可进行再加工,且再加工的合格率为 0.8,其余均为废品,每件合格品获利 80 元,每件废品亏损 20 元,为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元, 问企业每天至少生产多少产品?

解法一

设每天至少生产 $x$ 件产品. 则合格产品为

$$0.96x+\left(1-0.96\right)x\cdot \frac{3}{4}\cdot 0.8=0.984x,$$

废品为 $x-0.984x=0.016x$,由题意知

$$80\times 0.984x-20\times 0.016x\ge 2\times {10}^4,$$

解得 $x\ge 255.10$, 概率论与数理统计习题精选精解

因为 $x$ 为整数,所以 $x=256$.

解法二

进行再加工后, 产品的合格率

$$p=0.96+0.04\times 0.75\times 0.8=0.984.$$

记 $X$ 为 $n$ 件产品中的合格产品数, $T\left(n\right)$ 为 $n$ 件产品的利润,则

$$X\sim B\left(n,p\right),$$ $$EX=np=0.984n,$$ $$T\left(n\right)=80X-20\left(n-X\right),$$ $$ET\left(n\right)=80\mathrm{EX}-20n+20\mathrm{EX}=100\mathrm{EX}-20n=78.4n\text{,}$$

要 $ET\left(n\right)\ge 20000$,则 $n\ge 256$,即该企业每天至少应生产 256 件产品.

4.44

一商店经销某种商品,每周进货的数量 $X$ 与顾客对该种商品的需求量 $Y$ 是相互独立的随机变量,且都服从区间 $\left[10,20\right]$ 上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润 1000 元; 若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润500元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

解

设 $Z$ 表示商店每周所得的利润,则

$$Z=\{\begin{array}{ll}1000Y,& Y\le X\\ 1000X+500\left(Y-X\right)=500\left(X+Y\right),& Y>X\end{array}$$

图 4-4.44

由于 $X$ 与 $Y$ 的联合概率密度为:

$$\phi \left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{100},& 10\le x\le 20,10\le y\le 20\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$ $$E\left(Z\right)={\iint }_{D_1}1000y\times \frac{1}{100}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+{\iint }_{D_2}500\left(x+y\right)\times \frac{1}{100}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ $$=10{\int }_{10}^{20}\mathrm{d}y{\int }_y^{20}y\mathrm{d}x+5{\int }_{10}^{20}\mathrm{d}y{\int }_{10}^y\left(x+y\right)\mathrm{d}x$$ $$=10{\int }_{10}^{20}y\left(20-y\right)\mathrm{d}y+5{\int }_{10}^{20}\left(\frac{3}{2}{y}^2-10y-50\right)\mathrm{d}y$$ $$=\frac{20000}{3}+5\times 1500\approx 14166.67\text{ (元). }$$

4.45

一工厂生产的某种设备的寿命 $X$ (以年计) 服从指数分布,概率密度为

$$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{4}}& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

工厂规定, 出售的设备若在一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利 100 元, 调换一台设备厂方需花费 300 元. 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

解

出售的设备在售出一年之内调换的概率为

$$p_1=P\{X\le 1\}={\int }_0^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{4}}\mathrm{d}x=1-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}$$

不需调换的概率为 $p_2=1-p_1={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}$

记 $Y$ 为工厂出售一台设备的净赢利,则 $Y$ 的分布律为

Y	100	-300 + 100
P	${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}$	$1-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}$

从而厂方出售一台设备净赢利的数学期望

$$E\left(Y\right)=100{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}-200\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{4}}\right)=33.64.$$

4.46

某流水生产线上每个产品不合格的概率为 $p\left(0<p<1\right)$,各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 $X$,求 $X$ 的数学期望 $E\left(X\right)$ 和方差 $D\left(X\right)$.

解

记 $q=1-p,X$ 的概率分布为

$$P\{X=i\}=q^{i-1}p,i=1,2,\cdots .$$

$X$ 的数学期望为

$$E\left(X\right)=\sum _{i=1}^{\infty }i{q}^{i-1}p=p\sum _{i=1}^{\infty }{\left(q^i\right)}^{\prime }=p{\left(\sum _{i=1}^{\infty }{q}^i\right)}^{\prime }=p{\left(\frac{q}{1-q}\right)}^{\prime }=\frac{1}{p}.$$

因为

$$E\left(X^2\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{i}^2{q}^{i-1}p=p{\left[q{\left(\sum _{i=1}^{\infty }{q}^i\right)}^{\prime }\right]}^{\prime }=p{\left[\frac{q}{{\left(1-q\right)}^2}\right]}^{\prime }=\frac{2-p}{p^2},$$

所以 $X$ 的方差为

$$D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left[E\left(X\right)\right]}^2=\frac{2-p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.$$

4.47

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后, 求

(1)乙箱中次品件数 $X$ 的数学期望；

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

解法一

(1) $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3,X$ 的概率分布为

$P\{X=k\}=\frac{C_3^k{C}_3^{3-k}}{C_6^3},k=0,1,2,3,$ 即

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$
因此

$$EX=0\times \frac{1}{20}+1\times \frac{9}{20}+2\times \frac{9}{20}+3\times \frac{1}{20}=\frac{3}{2}.$$

(2)设 $A$ 表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”,根据全概率公式,有

$P\left(A\right)=\sum _{k=0}^{3}P\{X=k\}P\{A\mid X=k\}=\frac{1}{20}\times 0+\frac{9}{20}\times \frac{1}{6}+\frac{9}{20}\times \frac{2}{6}+\frac{1}{20}\times \frac{3}{6}=\frac{1}{4}.$

解法二

(1) 设 $X_i=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ 从甲箱中取出的第 }i\text{ 件产品是合格品 }\\ 1,& \text{ 从甲箱中取出的第 }i\text{ 件产品是次品 }\end{array}$,则 $X$ 则 $X_i$ 的概率分布为

${X}_{i}$	0
$P$

且 $E{X}_i=\frac{1}{2}\left(i=1,2,3\right)$.

因为 $X=X_1+X_2+X_3$,所以

$$EX=E\left(X_1+X_2+X_3\right)=E{X}_1+E{X}_2+E{X}_3=\frac{3}{2}.$$

( 2 )设 $A$ 表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”,由于 $\{X=0\},\{X=1\},\{X=2\}$ 和 $\{X$ $=3\}$ 构成完全事件组,因此根据全概率公式,有

$$P\left(A\right)=\sum _{k=0}^{3}P\{X=k\}P\{A\mid X=k\}=\sum _{k=0}^{3}P\{X=k\}\cdot \frac{k}{6}=\frac{1}{6}\sum _{k=0}^{3}kP\{X=k\}$$ $$=\frac{1}{6}EX=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{4}\text{.}$$

4.48

假设由自动线加工的某种零件的内径 $X$ (毫米) 服从正态分布 $N\left(\mu ,1\right)$,内径小于 10 或大于 12 的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品亏损. 已知销售利润 $T$ (单位:元) 与销售零件的内径 $X$ 有如下关系:

$$T=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{ 若 }X<10\\ 20,& \text{ 若 }10\le X\le 12\\ -5,& \text{ 若 }X>12\end{array}$$

问平均内径 $\mu$ 取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

解

由条件知, 平均利润为

$$E\left(T\right)=20P\{10\le X\le 12\}-P\{X<10\}-5P\{X>12\}$$ $$=20\left[\Phi \left(12-\mu \right)-\Phi \left(10-\mu \right)\right]-\Phi \left(10-\mu \right)-5\left[1-\Phi \left(12-\mu \right)\right]$$ $$=25\Phi \left(12-\mu \right)-21\Phi \left(10-\mu \right)-5\text{,}$$

其中 $\Phi \left(x\right)$ 是标准正态分布函数,设 $\phi \left(x\right)$ 为标准正态密度,则有

$$\frac{\mathrm{d}E\left(T\right)}{\mathrm{d}\mu }=-25\phi \left(12-\mu \right)+21\phi \left(10-\mu \right)$$

令其等于 0,得

$$\frac{-25}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(12-\mu \right)}^2}{2}}+\frac{21}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(10-\mu \right)}^2}{2}}=0,$$

即 $25{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(12-\mu \right)}^2}{2}}=21{\mathrm{e}}^{\frac{{\left(10-\mu \right)}^2}{2}}$,

由此得 $\mu ={\mu }_0=11-\frac{1}{2}\ln \frac{25}{11}\approx 10.9$.

由题意知,当 $\mu ={\mu }_0\approx 10.9$ 毫米时,平均利润最大.

4.49

从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗, 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 $\frac{2}{5}$,设 $X$ 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 $X$ 的分布律、分布函数和数学期望.

解

$X$ 服从二项分布 $B\left(3,\frac{2}{5}\right),X$ 可能取值为0,1,2,3,从而

$$P\{X=0\}={\left(1-\frac{2}{5}\right)}^3=\frac{27}{125}$$ $$P\{X=1\}=C_3^1\cdot \frac{2}{5}\cdot {\left(1-\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{54}{125}$$ $$P\{X=2\}=C_3^2\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{36}{125}$$ $$P\{X=3\}={\left(\frac{2}{5}\right)}^3=\frac{8}{125}$$

即 $X$ 的分布律为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

因此, $X$ 的分布函数为

$$F\left(x\right)=P\{X\le x\}=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ \frac{27}{125},& 0\le x<1\\ \frac{81}{125},& 1\le x<2\\ \frac{117}{125},& 2\le x<3\\ 1,& x\ge 3\end{array}$$

$X$ 的数学期望为 $E\left(X\right)=3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$.

4.50

两台同样的自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自动开动,试求两台记录仪无故障工作的总时间 $T$ 的概率密度 $f\left(t\right)$,数学期望和方差.

解

以 $X_1$ 和 $X_2$ 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则 $T=X_1+X_2$,由条件知 $X_i(i=$ 1,2 ) 的概率密度为

$$p_i\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}5{\mathrm{e}}^{-5x},& \text{ 若 }x>0\\ 0,& \text{ 若 }x\le 0\end{array}$$

两台仪器无故障工作时间 $X_1$ 和 $X_2$ 显然相互独立.

利用二独立随机变量和的密度公式求 $T$ 的概率密度,对于 $t>0$,有

$$f\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_1\left(x\right)p_2\left(t-x\right)\mathrm{d}x=25{\int }_0^t{\mathrm{e}}^{-5x}{\mathrm{e}}^{-5\left(t-x\right)}\mathrm{d}x=25{\mathrm{e}}^{-5t}{\int }_0^t\mathrm{d}x$$ $$=25t{\mathrm{e}}^{-5t}$$

当 $t\le 0$ 时,显然 $f\left(t\right)=0$,于是,得

$$f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}25t{\mathrm{e}}^{-5t},& \text{ 若 }t>0\\ 0,& \text{ 若 }t\le 0\end{array}$$

由于 $X_i$ 服从参数为 $\lambda =5$ 的指数分布,知

$$E{X}_i=\frac{1}{5};D{X}_i=\frac{1}{25}\left(i=1,2\right)$$

因此, 有

$$ET=E\left(X_1+X_2\right)=E{X}_1+E{X}_2=\frac{2}{5}$$

由于 $X_1$ 和 $X_2$ 独立,可见

$$DT=D\left(X_1+X_2\right)=D{X}_1+D{X}_2=\frac{2}{25}.$$

点评

$ET$ 和 $DT$ 也可由 $T$ 的密度 $f\left(t\right)$ 求得:

$$ET={\int }_{-\infty }^{+\infty }tf\left(t\right)\mathrm{d}t$$ $$E\left(T^2\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{t}^{2}f\left(t\right)\mathrm{d}t$$ $$DT=E\left(T^2\right)-{\left(ET\right)}^2$$