题型 2. 关于大数定律

1.6

设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布, $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ 为来自总体的简单随机样本,则当 $n\to$ $\infty$ 时, $Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 ___.

解

因为 $X_i\sim E\left(2\right)$,所以 $E\left(X_i\right)=\frac{1}{2}$, $D\left(X_i\right)=\frac{1}{4}$.

由已知 $X_1^2,X_2^2,\cdots ,X_n^2$ 独立同分布, 且

$$E\left(X_i^2\right)=D{X}_i+{\left(E{X}_i\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},$$

由大数定律得: $Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$ 依概率收敛于 $\frac{1}{2}$.

故应填 $\frac{1}{2}$.

1.7

设随机变量 $X_1,\cdots ,X_n,\cdots$ 是独立同分布的随机变量, 其分布函数为 $F\left(x\right)=A+$ $\frac{1}{\pi }\arctan \frac{x}{B}$, 其中 $B\ne 0$, 则辛钦大数定律对此序列( ).

(A) 适用 (B) 当常数 $A$ 、 $B$ 取适当数值时适用 (C) 无法判断 (D) 不适用

分析

辛钦大数定律成立的条件有两条: (1) 随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 独立同分布; (2) 数学期望 $E{X}_n$, $n=1,2,\cdots$ 存在.

判断随机变量序列是否服从辛钦大数定律, 只要验证上述两个条件即可.

解

根据题意,只需判断 $E\left(X_n\right)$ 是否存在,即广义积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|x\frac{\mathrm{d}F\left(x\right)}{\mathrm{d}x}\right|\mathrm{d}x$ 是否收敛即可.

因为 $f\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}F\left(x\right)}{\mathrm{d}x}=\frac{B}{\pi \left(B^2+x^2\right)}$,那么

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|x\frac{\mathrm{d}F\left(x\right)}{\mathrm{d}x}\right|\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\left|B\right|\left|x\right|}{\pi \left(B^2+x^2\right)}\mathrm{d}x\\ & =\frac{2\left|B\right|}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{B^2+x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{\left|B\right|}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\left(B^2+x^2\right)}{B^2+x^2}\\ & =\frac{\left|B\right|}{\pi }\underset{a\to +\infty }{\lim }{\int }_0^a\frac{\mathrm{d}\left(B^2+x^2\right)}{B^2+x^2}\\ & =\frac{\left|B\right|}{\pi }\underset{a\to +\infty }{\lim }\ln \left(1+\frac{a^2}{B^2}\right)\\ & =+\infty .\end{array}$$

即辛钦大数定律不满足.

故应选(D).