2. 大数定律

2. 大数定律

(1)切比雪夫大数定律

如果随机变量序列 $\left\{X_n\right\}$ 相互独立,各随机变量的期望和方差都有限,而且方差有公共上界,即 $D{X}_i\le l,i=1,2,\cdots$,其中 $l$ 是与 $i$ 无关的常数,则对任意的 $\epsilon >0$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E{X}_i\right|<\epsilon \right\}=1.$$

切比雪夫大数定律的特例: 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立,且 $E\left(X_i\right)=\mu ,D\left(X_i\right)={\sigma }^2$ $\left(i=1,2,\cdots \right)$,则对任意的 $\epsilon >0$,总有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<\epsilon \right\}=1.$$

该定律说明: 在定律的条件下,当 $n$ 充分大时, $n$ 个独立随机变量的平均数的离散程度很小.

(2)伯努利大数定律

如果 $u_n$ 是 $n$ 次重复独立试验中事件 $A$ 发生的次数, $p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率,则对任意给定的 $\epsilon >0$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{u_n}{n}-p\right|<\epsilon \right\}=1.$$

该定律说明: 在试验条件不改变的情况下, 将试验重复进行多次, 则随机事件的频率在它发生的概率附近摆动.

(3)辛钦大数定律

如果 $\left\{X_n\right\}$ 是相互独立同分布的随机变量序列,其数学期望 $E{X}_i=\mu ,i=1,2,\cdots$,则对任意给定的 $\epsilon >0$,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<\epsilon \right\}=1.$$

该定律说明: 对独立同分布的随机变量序列, 只要验证数学期望是否存在, 就可判定其是否服从大数定律.