知识要点 3. 区间估计

1. 区间估计

设 $\theta$ 为总体的未知参数, ${\hat{\theta }}_1$ 和 ${\hat{\theta }}_2$ 均为估计量,若对于给定的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$,满足 $P\{{\hat{\theta }}_1\le \theta$ $\le {\hat{\theta }}_2\}=1-\alpha$,则称 $\left[{\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2\right]$ 为 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间. 通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计.

2. 单个正态总体的区间估计

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为来自 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的样本,则

(1) 当 ${\sigma }^2$ 已知时, $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$\left[\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha }{2}},\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{u}_{\frac{\alpha }{2}}\right].$$

(2) 当 ${\sigma }^2$ 未知时, $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$\left[\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)\right].$$

(3) 当 $\mu$ 已知时, ${\sigma }^2$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$\left[\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)},\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}\right].$$

(4) 当 $\mu$ 未知时, ${\sigma }^2$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$\left[\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)},\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)}\right].$$

3. 双正态总体的区间估计

设 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),X_1,X_2,\cdots ,X_{n_1}$ 为其样本, $Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{n_2}$ 为其样本,且 $X$ 与 $Y$ 独立.

(1) ${\sigma }_1^2$, ${\sigma }_2^2$ 都为已知: ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-\bar{Y}-u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}},\bar{X}-\bar{Y}+u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}\right].$$

(2) ${\sigma }_1^2$, ${\sigma }_2^2$ 都未知: ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-\bar{Y}-t_{\frac{\alpha }{2}}\left(\gamma \right)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}},\bar{X}-\bar{Y}+t_{\frac{\alpha }{2}}\left(\gamma \right)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}\right].$$

其中 $\gamma =\left[\frac{{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)}^2}{\frac{{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)}^2}{n_1-1}+\frac{{\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)}^2}{n_2-1}}\right]$ (取整).

特殊情形:

① ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,但 $n_1,n_2$ 较大时: ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-\bar{Y}-u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}},\bar{X}-\bar{Y}+u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}\right].$$

② ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2$ 未知: ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-\bar{Y}-t_{\frac{\alpha }{2}}{S}_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}},\bar{X}-\bar{Y}+t_{\frac{\alpha }{2}}{S}_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right],$$

其中 $S_w^2=\frac{\left(n_1-1\right)S_1^2+\left(n_2-1\right)S_2^2}{n_1+n_2-2},t$ 分布为 $t\left(n_1+n_2-2\right)$.

(3) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 已知: $\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\frac{\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{\frac{1}{n_2}\sum _{j=1}^{n_2}{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}{F}_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_2,n_1\right),\frac{\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{\frac{1}{n_2}\sum _{j=1}^{n_2}{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}{F}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_2,n_1\right)\right].$$

(4) ${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知: $\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\frac{S_1^2}{S_2^2}{F}_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(i_2-1,n_1-1\right),\frac{S_1^2}{S_2^2}{F}_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_2-1,n_1-1\right)\right].$$

4. (0-1) 分布参数的区间估计

设总体 $X\sim \left(0-1\right)$ 分布, $P\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1-p,X_1,X_2,\cdots ,X_n\left(n\ge 50\right)$ 为其样本,则 $p$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为

$$\left[\bar{X}-u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)}{n}},\bar{X}+u_{\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{\bar{X}\left(1-\bar{X}\right)}{n}}\right].$$

5. 单侧置信区间

设 $\theta$ 为总体的未知参数,对于给定值 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$,若 $P\{\theta \ge \underline{\theta }\}=1-\alpha$,则称 $[\underline{\theta },+\infty )$ 为 $\theta$ 的满足置信度 $1-\alpha$ 的单侧置信区间, $\theta$ 称为单侧置信下限. 若 $P\{\theta \le \bar{\theta }\}=1-\alpha$,则称 $(-\infty ,\bar{\theta }]$ 为 $\theta$ 的满足置信度 $1-\alpha$ 的单侧置信区间, $\bar{\theta }$ 称为单侧置信上限.

例如,对于正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),{\sigma }^2$ 未知,可得 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间为

① $\left(-\infty ,\bar{X}+t_{\alpha }\left(n-1\right)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$,单侧置信上限为 $\bar{\mu }=\bar{X}+t_{\alpha }\left(n-1\right)\frac{S}{\sqrt{n}}$.

② $\left(\bar{X}-t_{\alpha }\left(n-1\right)\frac{S}{\sqrt{n}},+\infty \right)$,单侧置信下限为 $\underline{\mu }=\bar{X}-t_{\alpha }\left(n-1\right)\frac{S}{\sqrt{n}}$.

也即只需将双侧置信区间的上下限中的“ $\frac{\alpha }{2}$ ” 改成“ $\alpha$ ”,就得到相应的单侧置信上下限了.