题型 3 配对问题

2.12

为了试验两种不同谷物的种子的优劣, 选取了 10 块土质不同的土地, 并将每块土地分为面积相同的两部分,分别种植 $A\text{、}B$ 两种种子,设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样,下面给出各块土地上的单位面积产量.

土地编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
种子 $A\left( {x}_{i}\right)$	23	35	29	42	39	29	37	34	35	28
种子 $B\left( {y}_{i}\right)$	26	39	35	40	38	24	36	27	41	27

设 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,10\right)$ 是来自正态总体 $N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$ 的样本, ${\mu }_D,{\sigma }_D^2$ 均未知,问以这两种种子种植的谷物的产量是否有显著的差异 (取 $\alpha =0.05$ )?

解

设 $D=X-Y\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right),D_i=X_i-Y_i$.

检验假设 $H_0:{\mu }_D=0,H_1:{\mu }_D\ne 0$.

该检验的拒绝域为 $\left|t\right|=\left|\frac{\bar{D}-0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$,此处 $\alpha =0.05,\frac{\alpha }{2}=0.025,n=10$,

查表知 $t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)=2.2622$,计算得 $\bar{d}=-0.2,s^2=19.822,s=4.45$,

于是 $\left|t\right|=\left|\frac{-0.2-0}{\frac{4.45}{\sqrt{10}}}\right|=0.1424<2.2622$.

$t$ 没落在拒绝域,故接受 $H_0$,认为没有显著差异.

2.13

为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量,选取了 15 个男子(他们的生活条件各不相同),每个人穿一双新鞋,其中一只是以材料 $A$ 做后跟,另一只以材料 $B$ 做后跟,其厚度均为 $10\mathrm{mm}$,过了一个月再测量厚度,得到数据如下:

男子	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
材料 $A\left( {x}_{i}\right)$	6.6	7.0	8. 3	8. 2	5.2	9. 3	7.9	8. 5	7.8	7.5	6.1	8.9	6.1	9.4	9.1
材料 $B\left( {y}_{i}\right)$	7.4	5.4	8.8	8.0	6.8	9.1	6. 3	7. 5	7.0	6.5	4.4	7.7	4. 2	9.4	9.1

设 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,15\right)$ 是来自正态总体 $N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$ 的样本, ${\mu }_D,{\sigma }_D^2$ 均未知,问是否可以认为用材料 $A$ 制作的后跟比用材料 $B$ 制作的耐穿 $\left(\alpha =0.05\right)$ ?

解

成对试验 $D=X-Y\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right),D_i=X_i-Y_i$.

检验假设 $H_0:{\mu }_D\le 0,H_1:{\mu }_D>0$.

因 ${\sigma }_D^2$ 未知,拒绝域为 $t=\frac{\bar{D}-0}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}}\ge t_{\alpha }\left(n-1\right)$,这里 $n=15,\alpha =0.05,t_{0.05}\left(14\right)=1.7613$, 概率论与数理统计习题精选精解

计算得 $\bar{D}=0.553,S_D^2={\left(1.0225\right)}^2$,于是 $t=\frac{0.553-0}{\frac{1.0225}{\sqrt{15}}}=2.0958>1.7613$,

$t$ 落在拒绝域中,拒绝 $H_0$,认为 $A$ 比 $B$ 耐穿.