题型 3 非正态总体参数的假设检验

方法与技巧

若总体非正态或者总体分布未知时,可采用大样本 (样本容量一般大于 50), 利用中心极限定理, 按照正态近似对参数进行假设检验.

3.26

某车间承担了生产额定抗拉强度为 105 的合金线的任务,从该车间生产出的合金线产品中随机地抽出 100 根,测得抗拉强度均值 $\bar{x}=104.5$,标准差 $s=1.8$,问这批产品是否符合标准? $\left(\alpha =0.05\right)$

解

$H_0:\mu \ge 105,H_1:\mu <105$.

选统计量 $T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,因为 $n=100$ 属于大样本,所以近似地 $T\sim N\left(0,1\right)$.

对 $\alpha =0.05$,拒绝域为 $T<-u_{\alpha }$,查得 $u_{\alpha }=u_{0.05}=1.645$,

求出 $t=\frac{104.5-105}{\frac{1.8}{10}}=-2.778<-1.645$,

故拒绝 $H_0$,接受 $H_1$,即认为这批产品不符合标准.

3.27

设有一大批产品,从中任取 100 件,经检验有正品 92 件,问能不能说这批产品的正品率高于 90%? $\left(\alpha =0.05\right)$

解

这是 $\left(0-1\right)$ 分布总体的参数 $p$ 的假设检验问题.

因为 $X_i\sim \left(0-1\right)$ 分布, $i=1,2,\cdots ,100$,由中心极限定理

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{\text{ 近似 }}{\sim }N\left(p,\frac{p\left(1-p\right)}{n}\right).$$

提出假设 $H_0:p\le p_0=0.9,H_1:p>p_0$.

选统计量

$$U=\frac{\bar{X}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0\left(1-p_0\right)}{n}}}\stackrel{\text{近似}}{\sim }N\left(0,1\right)$$

拒绝域为 $U>u_{\alpha }$.

查得 $u_{\alpha }=u_{0.05}=1.645$,算出 $u=\frac{\bar{x}-0.9}{\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{100}}}=\frac{\frac{92}{100}-0.9}{\sqrt{\frac{0.9\times 0.1}{100}}}\approx 0.6667$.

因为 $0.6667<1.645$,即 $u<u_a$,

故接受 $H_0$,拒绝 $H_1$,不能说正品率高于 $90\%$.